[PDF] SUR LE TÉTRAÈDRE DONT LES ARÊTES OPPOSÉES SONT

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SUR LE TÉTRAÈDRE DONT LES ARÊTES

OPPOSÉES SONT DEUX A DEUX ÉGALES

Autor(en):

Thébault, V.

Objekttyp:

Article

Zeitschrift:

L'Enseignement Mathématique

Band (Jahr):

39 (1942-1950)

Heft 1:

L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE

Persistenter Link:

https://doi.org/10.5169/seals-515797

PDF erstellt am:

20.10.2023

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SONTDEUXADEUXÉGALES

PAR

V.Thébault,Tennie(Sarthe).

1. - Lapropriétéfondamentaled'untétraèdreABCDdont

iVoiciunebibliographiepeut-êtreincomplète:AnnalesdeGergonne,vers1810. - •E.Lemoine,A.F.A.S.,1875;N.A.,1880,133et403. - J.Neuberg,N.C.,t.II,144; B.B.,1884(Mémoiresurletétraèdre). - ArchivesdeGrünert,t.LVII;N.A.,1880,403; GrENTY,N.A.,1878,223. - A.Vacquant,J.V.,22meannée,pp.29et49. - A.Durand etA.Vacquant,J.V.,35meannée,p.152. - J.Lemaire,N.A.,1914,pp.502à505. - Abréviations. - N.A.:NouvellesAnnalesdeMathématiques;N.C.:Nouvelle royaledeBelgique.

SURLETÉTRAÈDRE51

jsontégaux. j2. - ThéorèmeI. - LetétraèdreA'B'C'D'dontlessommets |centreducercleDAB. queceluidutétraèdreABCD. jRemarque. - Lamêmepropriétéalieupourtouttétraèdre ;3. - ThéorèmeII. - Dansuntétraèdreisocèle,lasommedes Premièredémonstration2. - Siaeta\betb\cetc'désignent

1Cf.V.Thébault,loc.cit.

2E.Lemoixe,N.A.,1880,loc.cit.

fi

52V.THÉBAULT

ona

1cosa'+cosV-fcosc'

1cosa+cosb4-cosc'

(1)

1cosb-fcosc-f-cosa'

1cosc-fcosa+cosb'

l'unedel'autre,etdivisonspar2,ilvient

0cosc' - •cosc;

Secondedémonstration. - Lessupplémentsdesdièdresaeta',

A'OB'.Ilenrésulteque,etparanalogie,

D'A'^OA'-f-OD' - 20A'.OD'cos(k - a)2r2(1+cosa)

D'B'2r2(1+cosb)D'G2c2(14cosc);(2)

d'où (cosa+cosb+cosc) - 3+'(b'A'+D'B'4-D'C')(3) /22\/222\

S\B'C'+D'A'j2\D'A'+D'B'+D'G'j

4(oA'+OB2'+OC'+OD2)16r2(4)

cosa-f-cosb-}-cosc - 1 5 ouentotalitépara',b\cf.

SURLETÉTRAÈDRE53

1cosa+cosb+cosccosa+cosV+cosc'

cosb-f-cosc'+cosa' - cosc+cosa'.+cosb'

S(B'C'+D'A')16/'2

ABCD\ Troisièmedémonstration. - SoientSetS'lespiedsdelahauteur dansletriangleABCsont

2R(cosA - cosBcosG)2R(cosB - cosGcosA)

2R(cosG - cosAcosB)

ona oacosDS'Scosa-SS/:DS'[2R(cosA - cosBcosG)]: -

2R2-g-sinA(cosA - cosBcosC)

2R2cosa+cosb+cosc-g-2sinA(cosA - cosBcosG)

2R2 -g-sinAsinBsinG1

Lethéorèmeestdoncdémontré.

1V.Thébault,N.A.,1919,426.

54V.THÉBAULT

Remarques. - 1°Lesconditions(1),parexemple,exigentque ou.deuxdièdresobtus. circonscrit,soitsurBC.

élémentshabituels:

cosAcosBcosG~sinBsinCtgB-ftgC2; tgAtgB-ftgC;2a2r2+ra+r\+r"cb2+c2a2-fh\ mentàAA1enunpointA2telqueA2A1AAX pourlongueurcommuneAH - ha.Enfin,lesarêtesBCet sinco2a/2cotA

4. - ThéorèmeIII. - Dansuntétraèdreisocèle,letétraèdre

SURLETÉTRAÈDRE55

BcX2rdt1+cos'DdAd2rdt1+cos'

BdGd+BdAd4rdGdAd+BdBdAdBdABdGd*

Deplus,envertude(i'),

B^Cd+^Xf^X-+DÄ'

AdBdDdAd+DdBd'

Icar j2/;d(1+cosa')2rd(1 - cosè)+2r\(1 - cosc) j jenraisondeceque j1 - cosbH-coscHrcosa1 'jexinscriteconsidérée. Remarques. - LetétraèdreAdBdCdDdesttrirectangleau

5. - ThéorèmeIV. - Lesdroitesquijoignentlessommets

56V.THÉBAULT

Gxyz. droitesAAX,BBX,CCX,DDjsontconcourantes.

SURLETÉTRAÈDRE57

connue).

SiA2mA1?B2Bj,C2Cl7D2Dl7letétraèdre

ABCDquiestisocèle.

Ipent Ile lemilieudeCD.CommelespointsA2Ax,B2B1sont cettehypothèseestrégulier.

6. - DansuntétraèdrequelconqueABCDoùl'ondésigne

Ides

58V.THÉBAULT

successivement (Hj)S(yzcosa+xwcosa!)(cosbcosb' - cosccosc')0 (H2)2(yzCOS2~+XWCOS2^COS2y

COS2~ - COS2y

COS20 (Ha)2^yzsin2^+xwsin2y^(^in2ysin2y - sin2ysin2y^0

Envertudeceséquations,sil'ona:

chacundeshyperboloïdes(HJ,(H2),(H3).

2°cosa-|-cosa'

cosb-fcosV - cosc-fcosc' - -(cosb+COSV) - - (cosc+coscf) - (cosa-f*cosa')~ - •(cosc-fcosc') - (cosa+cosa')(6) - (cosb+cosb') surVhyperboloide(H1).

3°cosa - cosa' - (cosb - cosb') - (cosc - cosc')

cosb - •cosô' - (cosc - cosc')» - (cosa - •cosa') cosc - coscf - (cosa - cosa') - (cosb - •cosb') cosa - cosa'cosb - •cosVcosc - •cosc' (7) (Hl),(Hjj),(Hg). Remarques. - 1°Lesquadriques(H2)et(H3)nepassent surlasphèrecirconscrite).

SURLETÉTRAÈDRE59

7. - Sil'ondésigneparrlerayondelasphèreinscriteau

D'A'2r2(1+cosa)B'C'2r2(1+cosa')

jdesorteque 2 jD'A'+B'C'2r2(2+cosa+cosa')2r2(2+cos+cos j2r2(2+cosc+cosc')D'B'-j"C'A'D'C'-FA'B' 1 |etréciproquement. jauxquatreplansdesfaces. Remarques. - 1°Lesplansmenésparlecentredelasphère hauteurs.

I(M.,t.54,supplément,p.25).

|2R.Goormaghtigii,M.,1936,263. i i

60V.THÉBAULT

8. - Lapremièreremarquedusecondparagraphenousa

estvraie. Théorème. - Lasommedesdièdresd'untétraèdreestcomprise entrequatredroitsetsixdroits. maislasecondeestsansdoutepeuconnue. inégalités a+a'-f*b-}-b'<4db+b'+c-j-c'<4d c-fc'+a+a'<; desorteque a+o!+b+b'+c-f-c'<6d (Décembre1942)quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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