Equations différentielles non linéaires
1 Equation différentielle non linéaire scalaire Définition 4 On appelle probl`eme de Cauchy une équation différentielle normalisée avec une condition ...
Systèmes déquations différentielles linéaires et non linéaires
4.4 Remarque Un noeud est aussi appelé une source ou un puits dépendant si toutes les trajectoires s'en approchent ou s'éloignent. 4.5 Définitions Un point
Equations différentielles non linéaires
1 févr. 2013 b) Etudier le comportement d'une solution maximale aux bornes de son intervalle de définition. Exercice 7 Centrale MP [ 02456 ] [correction]. On ...
Méthodes numériques de résolution déquations différentielles
ª équation différentielle d'ordre 2 non linéaire équa diff d'ordre 1 non linéaire mais `a variables séparables ... Définition de la convergence.
Chapitre 22 :Equations et systèmes différentiels non linéaires
Chapitre 22 : Equations et systèmes différentiels non linéaires. Equations différentielles. Page 1 sur 19 (2) Son domaine de définition est 0.
Table des matières
3 Dérivée Optimale d'une Equation Différentielle Ordinaire Non Linéaire souvent la principale source pour la définition de nouvelles fonctions dont les ...
SYSTEMES NON LINEAIRES
Cette définition explique la complexité et la diversité des systèmes non par une équation différentielle non linéaire libre) est stable en un point.
Les notions qui seront abordées ont fait déjà lobjet de séances de
mathématiques sur l'unité d'enseignement équations différentielles partielles Une EDP semi-linéaire est une EDP non linéaire mais elle est linéaire par ...
Equations Différentielles Ordinaires et Partielles
Définition 4 (EQUATION DIFFERENTIELLE LINEAIRE). Exemple. Dire si les équations différentielles suivantes sont linéaires ou non linéaires
Introduction à la Physique Non Linéaire
30 nov. 2016 Nous allons étudier un oscillateur non linéaire et non conservatif décrit par l'équation différentielle. ¨x ?.
[PDF] Equations différentielles non linéaires
1 fév 2013 · b) Etudier le comportement d'une solution maximale aux bornes de son intervalle de définition Exercice 7 Centrale MP [ 02456 ] [correction] On
[PDF] Chapitre 22 :Equations et systèmes différentiels non linéaires
Chapitre 22 : Equations et systèmes différentiels non linéaires Equations différentielles Page 1 sur 19 On considère un espace de Banach E I Généralités
[PDF] Systèmes déquations différentielles linéaires et non linéaires
4- Systèmes d'équations différentielles linéaires et non linéaires Plan de phase points critiques et stabilité 4 1 Contexte et définitions Un système
[PDF] Équations différentielles non linéaires - Michel Quercia
Équations différentielles non linéaires Exercice 1 Équations à variables séparables 1) y = y(1 + y) 2) y = sin x cos y
[PDF] Equations Diff´erentielles
A la différence des équations linéaires il n'existe pas de méthodes analytiques systématiques pour résoudre les équations différentielles non linéaires La
[PDF] ED1 - Equation Différentielle
9 jan 2017 · On appelle équation différentielle de 1er ordre linéaire non homogène toute équation différentielle de la forme : y +g(x)y = h(x) ?x ? I 2
[PDF] Introduction aux équations différentielles et aux dérivées partielles
Exemple 2 Dire si les équations différentielles suivantes sont linéaires ou non linéaires et donner leur ordre (on justifiera les réponses)
[PDF] ´EQUATIONS DIFF´ERENTIELLES NON LIN´EAIRES MAT 6115
La solution est unique au sens suivant : si on a deux solutions de de l'équation différentielle ordinaire ?X = v(X) sous la même condition initiale alors elles
[PDF] Equations différentielles linéaires et non linéaires
22 jui 2016 · Définition 1 1 3 [1] : On dit qu'une solution ? de (E) vérifie la condition de Cauchy (ou la condition initiale) (t0x0) ? I × E si on a : ?(t0)
[PDF] Introduction Système Non linéaire - chaotique
Ecrire les équations différentielles régissant l'état de la bille à partir du premier principe de la dynamique (ma= ?F a est l'accélération F les forces
Qu'est-ce qu'une équation différentielle non linéaire ?
Définition. Une équation différentielle à variables séparables d'ordre est une équation de la forme : où et sont des fonctions continues. Méthode : On intègre séparément chaque terme. On obtient une équation cartésienne des courbes intégrales.C'est quoi une équation non linéaire ?
Ce terme décrit une fonction qui ne peut être représentée par une ligne droite sur un graphique, mais qui a plutôt une forme courbe ou angulaire. L'expression implique généralement que la relation donnera des résultats surprenants.Comment savoir si un système est non linéaire ?
Par définition, un système non linéaire est un système qui n'est pas linéaire, c'est-à-dire (au sens physique) qui ne peut pas être décrit par des équations différentielles linéaires à coefficients constants.- Plus formellement, on peut dire qu'une équation différentielle est linéaire si elle peut être exprimée sous la forme montrée sur l'écran. Chaque dérivée d'ordre de et la fonction elle-même est multipliée par un polynôme dans uniquement.
1 Motivation
1.1 Quelques exemples de problemes dierentiels
Modele malthusien de croissance de population
Modelisation de l'evolution d'une population \fermee" {P(t) : taille de la population a l'instant tt {P0(t) : variations de la taille de la populationOn supp oseque les nom bresde naissances et de d ecesson tprop ortionnels ala taille de la p opulation,
avec un taux de nataliteet un taux de mortalite. P0(t) =P(t)P(t) = ()P(t)
T ailleinitiale de la p opulation: P(t0) =P0
Solution
P(t) =P0exp(()(tt0)):
Modele dit \de croissance logistique"
Ajout d'un terme de competition entre les individus (P0(t) =aP(t)bP(t)2P(0) =P0
ßEquation dierentielle non lineaire
Calcul de la solution par separation des variables P0(t)aP(t)bP(t)2= 1
1aPbP2=1=aP
+b=aabP=)P0aPbP2=1a P0P +bP0abP Z P0P =h lnjPji etZbP0abP=h lnjabPjiSolution obtenue
P(t) =aP0bP
0+ (abP0)ea(tt0)
1Pendule pesant non amorti
O l(t)M{P endulede masse m, suspendu enOFil ( OM) non pesant et de longueurl.
(t) : position par rapport a la position d'equilibre (angle signe).Mouvement du pendule gouverne par la
loi fondamentale de la dynamique.Equation du mouvement :
(t) est solution du probleme dierentiel : 8<00(t) =gl
sin((t)) (0) =0; 0(0) = 0 (par exemple)ßequation dierentielle d'ordre 2 non lineaire
Pendule pesant non amorti : transformation
(t) est solution du probleme dierentiel : (00(t) =!2sin((t)) (0) =0; 0(0) = 0 par exemplePosons :x(t) =(t),y(t) =0(t) etY(t) = x(t)
y(t)!On a alors
Y0(t) = x0(t)
y 0(t)! = 0(t)00(t)!
= 0(t) !2sin((t))! = y(t) !2sin(x(t))!Pendule pesant non amorti : transformation
Y(t) = (t)
0(t)! est solution du probleme dierentiel :Y0(t) =F(t;Y(t))
Y(0) =Y0
avec F t; x y! = y !2sin(x)! et Y 0= 0 0! 21.2 Forme generale d'une equation dierentielle
Equation dierentielle, probleme de Cauchy
On s'in teresseaux equationsdi erentiellesdu premier ordre de la forme y0(t) =F(t;y(t))
avecF:IRp!Rp(I, intervalle deR) une fonction continue. Si p >1, il s'agit en pratique d'un systeme dierentiel.Le probl emea vecconditi oninitiale est app ele
pr oblemede Cauc hy (y0(t) =F(t;y(t)) y(t0) =y0; t02I,y02Rp;Notion de solution
Probleme de Cauchy
(y0(t) =F(t;y(t)) y(t0) =y0; t02I,y02Rp;Solution
Une solution du p roblemede Cauc hy est la donn eed'un in tervalle ~Iet d'une fonction'2 C1(~I;Rp) tels que {t02~I,~II, {'0(t) =F(t;'(t))8t2~I, {'(t0) =y0.Remarque
On utilise souvent la m^eme notation pour l'inconnue dans l'equationyet la solution', noteey...1.3 Un resultat theorique fondamental
Le theoreme de Cauchy-LipschitzTheoreme
Considerons le probleme de Cauchy :
()(y0(t) =F(t;y(t)) y(t0) =y0; t02I,y02Rp; avecF: (t;y)2IRp!F(t;y)2Rp. Supposons que {Fest continue surIRp, {Fest lipschitzienne eny, uniformement ent: il existeL >0 telle que8t2I;8y1;y22 VRpy0jjF(t;y1)F(t;y2)jj Ljjy1y2jj:
Alors, le probleme de Cauchy () possede une unique solution. Cette solution est denie sur un intervalle
contenantt0.3Et le calcul eectif de la solution?
Mo delemalth usien: OK
equa di lineaire d'ordre 1 a coes constantsMo delede c roissancelogistique : OK
equa di d'ordre 1, non lineaire mais a variables separablesP endulep esant?
(Y0(t) =F(t;Y(t))Y(0) =Y0avecF(t; x
y! ) = y !2sin(x)!ßIl s'agit d'un systeme dierentiel 22.
ßLe systeme est bien d'ordre 1... mais il est non lineaire.Calcul numerique d'une solution approchee
Pas d'expression explicite de la solution
Calcul numerique d'une solution approchee0123456-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 temps t q(t)2 Mise au point de methodes numeriques et convergence2.1 Principe
ButOn suppose que le probleme de Cauchy
(y0(t) =F(t;y(t)) y(t0) =y0; t02R,y02Rp; admet une unique solutionydenie surI= [t0;t0+T]. 4Subdivision de l'intervalle de temps
t 0t 1t nt n+1tN=t0+Ttn=tn+1tn;t= max0nNtn:
L'objectif est de calculer des valeurs (Yn)0nN, qui soient de \bonnes" approximations de (y(tn))0nN.Lien avec l'integration numerique
Integration de l'equation
Z tn+1 t ny0(t)= F(t;y(t)) y(tn+1)y(tn) =Z tn+1 t nF(t;y(t))dtApproximation
{y(tn+1)y(tn)ßYn+1Yn {Z tn+1 t nF(t;y(t))dtßFormule de quadrature :RAG(tn+1tn)F(tn;y(tn))
RAD(tn+1tn)F(tn+1;y(tn+1))
Trapezes(tn+1tn)F(tn;y(tn)) +F(tn+1;y(tn+1))2
Methodes numeriques correspondantes
Methode d'Euler expliciteÞschema explicite
Yn+1=Yn+ (tn+1tn)F(tn;Yn)
Y 0=y0Methode d'Euler impliciteÞschema implicite
Yn+1=Yn+ (tn+1tn)F(tn+1;Yn+1)
Y 0=y0Methode de Crank-NicolsonÞschema implicite
Y n+1=Yn+ (tn+1tn)F(tn;Yn) +F(tn+1;Yn+1)2 Y0=y0 52.2 Notion de convergence
Introduction des notions d'erreur locale/erreur globale{y(t) solution exacte de l'equation dierentielle,
( Yn)0nNvaleurs donnees par le schema numerique Þyappreconstruction d'une solution approchee ane par mxErreur localeen=y(tn)Yn
Erreur globaleE(t) = max0nNjenj(!:Ndepend de t)
Denition de la convergenceLa methode numerique est ditecon vergentesiE(t) = max0nNjenj !0:
t!0 62.3 Convergence de la methode d'Euler explicite
Erreur de consistance
Probleme de Cauchy
y0(t) =F(t;y(t)) y(t0) =y0ßsolution exacte :yMethode d'Euler explicite
Yn+1=Yn+ tF(tn;Yn)
Y 0=y0ßschema numerique : (Yn)
Denition
L' erreur de consistance (locale) al'instan tnest denie comme l'erreur commise par la solution exacte dans le schema numerique : n=y(tn+1)y(tn)tF(tn;y(tn)):Estimation de l'erreur de consistance
Probleme de Cauchy
y0(t) =F(t;y(t)) y(t0) =y0Methode d'Euler expliciteYn+1=Yn+ tF(tn;Yn)
Y 0=y0 ßon suppose que la solution exacte veriey2 C2([t0;t0+T]|{z} I;R) n=y(tn+1)y(tn)tF(tn;y(tn)) Mais, {y(tn+1) =y(tn) + ty0(tn) +t22 y00(n) {y0(tn) =F(tn;y(tn)) D'ou, n=t22 y00(n):Majoration de l'erreur de consistance
n=t22 y00(n):Majoration
M2= sup
[t0;t0+T]jy00(t)j=) j"nj M22 t2:Remarque : lien entrey00andF
y0(t) =F(t;y(t));
y00(t) =@F@t
(t;y(t)) +@F@y (t;y(t))y0(t) @F@t (t;y(t)) +@F@y (t;y(t))F(t;y(t)): 7Erreur due au schema numerique
La solution exacte et le sc heman umeriquev erient: y(tn+1) =y(tn) + t F(tn;y(tn)) +"n Y n+1=Yn+ t F(tn;Yn)Alors, comme en=y(tn)Yn, on obtient
e n+1=en+ tF(tn;y(tn))F(tn;Yn)+"n: Si Fest localement lipschitzienne enyuniformement ent(hypothese du thm de Cauchy-Lipschitz), on aF(tn;y(tn))F(tn;Yn)Ljenj
et jen+1j jenj(1 +Lt) +j"nj:Deux lemmes intermediaires
Lemme 1
Soit (n)n0une suite positive veriant
80nN; n+1an+;aveca0 et0:
Alors,81nN+ 1,
nan0+n1X i=0a i=an0+1an1aLemme 2
De plus, sia= 1 +avec >0, comme (1 +)nen, on a
nen0+ (en1);81nN+ 1:Fin de la preuve de convergence
On a, p ourtout 0 nN1
jen+1j jenj(1 +Lt) +j"nj; jenj(1 +Lt) +M22 t2:On applique le Lemme 2 a vec=Ltet=M22
t2: jenj enLtje0j+M22Lt(enLt1);81nN:Mais, p our1 nN,ntNt=Tet
jenj eLTje0j+M22 e LT1L t;81nN:Ainsi, si e0= 0,E(t)M22
e LT1L tet lim t!0E(t) = 0: 8Convergence du schema d'Euler explicite
Theoreme
Soit F2 C1(IR),t0,Ttels que [t0;t0+T]2I,y02R.
On supp osequ'il existe L >0 tel que
jF(t;z1)F(t;z2)j Ljz1z2j 8t2[t0;t0+T];8z1;z22R: {yest la solution exacte du probleme de Cauchy et (Yn)0nNla suite obtenue par le schema d'Euler explicite.Alors, l'erreur locale denie paren=y(tn)Ynverie
jenj eLTje0j+M22 e LT1L t;81nN: sie0= 0, le schema est convergent : lim t!0E(t) = 0 (E(t) = max0nNjenj):2.4 Cadre general des methodes a un pasDenition
On limite la pr esentationau cas o ula sub division( tn)0nNest reguliere : t n=t0+ntavec t=TN Une m ethode aun pas , pour l'approximation du probleme de Cauchy sur une subdivision reguliere, est de la forme : (Yn+1=Yn+ tF(tn;Yn;t);80nN1 Y0=y0(ou une valeur approchee ~y0dey0)
avecF: [t0;t0+T]Rp[0;k]!Rpune fonction continue.
Exemple :
F(t;Y;k) =F(t;Y)ßmethode d'Euler explicite.
Notion de consistance
Probleme de Cauchy
y0(t) =F(t;y(t)) y(t0) =y0ßhyp :y2 C2Methode a un pas
Yn+1=Yn+ tF(tn;Yn;t)
Y 0=y0ßhypothese : F2 C1
L' erreur de consistance de la m ethode aun pas est d eniep ar n=y(tn+1)y(tn)tF(tn;y(tn);t)La methode est dite
consistan te si p ourtoute solution du probl emede Cauc hyon a lim t!0N X n=0j"nj= 0: 9Consistance et ordre
La methode est dite
d'ordre psi, pour toute solution du probleme de Cauchy, il existe un reelK independant de ttel que NX n=0j"nj Ktp:En pratique, on obtien tl'ordre pen montrant :
j"nj Ktp+180nN: {p1 =)consistance.Condition necessaire et susante de consistance
Developpement de"nen puissances det
{y(tn+1) =y(tn) + ty0(tn) +t22 y00(n) {y0(tn) =F(tn;y(tn))F(tn;y(tn);t) = F(tn;y(tn);0) + t@F@k
(tn;y(tn);) n= tF(tn;y(tn))F(tn;y(tn);0)
+t2y00(n)2 @F@k (tn;y(tn);)Theoreme Une methode a un pas est consistante si et seulement si8(t;z)2[t0;t0+T]RF(t;z;0) =F(t;z):()En eet, si () est satisfaite, on a"n=O(t2).
Erreur due au schema numerique
La solution exacte et le sc heman umeriquev erient: y(tn+1) =y(tn) + tF(tn;y(tn);t) +"n Y n+1=Yn+ tF(tn;Yn;t)Alors, comme en=y(tn)Yn, on obtient :
e n+1=en+ tF(tn;y(tn);t)F(tn;Yn;t)+"n:Si on a
F(tn;y(tn);t)F(tn;Yn;t)jy(tn)Ynj;
alors jen+1j jenj(1 + t) +j"nj:ßidem schema d'Euler explicite
10Stabilite d'une methode a un pas
Denition
S'il existe >0 tel que8t2[t0;t0+T],8z1;z22R,8k2[0;k], jF(t;z1;k)F(t;z2;k)j jz1z2j alors la methode a un pas est dite s tablePar consequent,
si la m ethode aun pas est stable, on a jen+1j jenj(1 + t) +j"nj:si elle est egalementconsistan te,on prouv esa con vergencede la m ^emefa conque p ourle sc hemad'Euler
explicite.ßstabilite + consistance =)convergence
Ordre et vitesse de convergence
La stabilit enous donne :
jen+1j jenj(1 + t) +j"nj:Si j"nj Ktp+1, on obtient gr^ace au Lemme 2 :
jenj eTje0j+KeT1 tp80nN:Si je0j= 0, on a donc
E(t)Ctp:
ßla methode numerique est d'autant plus precise qu'elle est d'ordre eleve.3 Les methodes de Runge-Kutta
Premiers exemples
Les m ethodesde Runge-Kutta son tdes m ethodes aun pas o ula fonction Fest evaluee plusieurs fois par intervalle de la subdivision. L'objectif est bien s^ur de gagner en precision (en ordre...).Avec la methode des trapezes
y(tn+1)y(tn) =Z tn+1 t nF(t;y(t))dt t2F(tn;y(tn)) +F(tn+1;y(tn+1))
Methode de Heun
8>>>< Y n;1=Yn Y n;2=Yn+ tF(tn;Yn;1) Y n+1=Yn+t2F(tn;Yn;1) +F(tn+1;Yn;2)
11Premiers exemples
Avec les rectangles aux points milieux
y(tn+1)y(tn) =Z tn+1 t nF(t;y(t))dt tF(tn+t2 y(tn+t2Methode d'Euler modiee
8 >>>:8 :Y n;1=Yn Y n;2=Yn+t2F(tn;Yn;1)
Y n+1=Yn+ tF(tn+t2 ;Yn;2):Methodes de Runge-Kutta explicites
Forme generalet
nt n+1t n;i8 >>>>>>:81is;8 >:t n;i=tn+cit; Y n;i=Yn+ ti1X j=1a ijF(tn;j;Yn;j);quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] hautot père et fils personnages
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