chapitre 7 : Trigonalisation et diagonalisation des matrices PDF

CORRECTION DU TD 3 Exercice 1

Par conséquent on a : avec donc étant de dimension 1

Walanta

Espaces vectoriels. Applications linéaires. Matrices. Diagonalisation et trigonalisation. Objectifs : Savoir chercher une base d'un espace vectoriel d

chapitre 7 : Trigonalisation et diagonalisation des matrices

7.1.11 Exercice. — Montrer qu'une matrice de Mn(R) est inversible si et seulement si

Exercices de mathématiques - Exo7

1. La matrice A est-elle diagonalisable ? 2. Calculer (A?2I3)2 puis (A?2I3)n pour tout n ? N. En déduire An. Correction ?. [002592]. Exercice 3.

Partiel Corrigé

7 nov. 2015 Exercice I. On considère les matrices A := (1 1. 0 1. ) et B := ( 0 1. ?1 0. ) . 1) La matrice A est-elle diagonalisable ?

Exercices de mathématiques - Exo7

Expliquer sans calcul pourquoi la matrice. A n'est pas diagonalisable. Correction ?. [002583]. Exercice 7. Soit A une matrice 2×2 à coefficients réels.

Feuille dexercices n 6 : Diagonalisation et trigonalisation de

L'endomorphisme f est-il diagonalisable sur R? 2. Trouver une matrice inversible P et une matrice triangulaire supérieure T telles que A = PTP?1. supérieure. 3

ALG`EBRE PAD - Exercices

30 oct. 2008 1-1 Exercices corrigés . ... 1-1.3 Exercice 3a - Matrice d'une application linéaire . ... 3 Diagonalisation des endomorphismes.

ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE

Nous abordons dans ce chapitre les problèmes de trigonalisation et diagonalisation des matrices. Nous montrons que toute matrice à coefficients complexes

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2.1 Objectifs de la réduction des matrices. 2.2 Eléments propres. •. 2.3 Diagonalisation trigonalisation. 2.4 Exercices. 3 Polynômes et endomorphismes.

Feuille d’exercices n 6 : Diagonalisation et trigonalisation

Diagonalisation et trigonalisation Exercice 1 Soit A la matrice carr´ee d’ordre 3 telle que 4A = ?3 4 3 1 0 3 ?1 4 1 1) D´eterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A 2) En d´eduire le calcul de An 3) D´eterminer les vecteurs x ? R 3tels que la suite de vecteurs (Anx) n>1 converge dans R Quelle est alors la

Feuille d’exercices 7 - Université Sorbonne Paris Nord

Feuille d’exercices 7 Diagonalisation Exercice 1 On consid ere l’endomorphisme fde R3 d e ni par f: (x;y;z) 7!(3x z;2x+4y+2z; x+3z) 1 D eterminer la matrice A= Mat(f) Bde fdans la base canonique de R3 2 D eterminer le polyn^ome caract eristique de f En d eduire les valeurs propres de f 3 D eterminer une base pour chaque espace propre

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Exercice 1 1) Pour savoir si cette matrice est diagonalisable dans on détermine son polynôme caractéristique : Ainsi on a : Pour conclure on étudie le sous -espace propre associé à la valeur propre en résolvant l’équation matri ielle : On a : Par conséquent on a : avec donc

CHAPITRE

7Trigonalisation et diagonalisation

des matrices Sommaire1 Trigonalisation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

2 Diagonalisation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Une obstruction au caract

`ere diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . .11

4 Caract

´erisation des matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . .12

5 Matrices diagonalisables : premi

`eres applications . . . . . . . . . . . . .15

6 Trigonalisation et diagonalisation des endomorphismes . . . . . . . . . .

7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20 Nous abordons dans ce chapitre les probl

`emes de trigonalisation et diagonalisation des ma- trices. Nous montrons que toute matrice `a coefficients complexes est trigonalisable, c"est-`a-dire semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure. On pr´esente quelques cons´equences th´eoriques importantes de ce r

´esultat.

Le probl

`eme de la diagonalisation est plus´epineux. Une matrice n"est pas en g´en´eral dia- gonalisable, c"est- `a-dire semblable`a une matrice diagonale. Dans ce chapitre, on s"int´eressera aux obstructions au caract `ere diagonalisable. En particulier, nous donnerons une caract´erisation de nature g

´eom´etrique des matrices diagonalisables.

Nous pr

´esentons deux applications imm´ediates de la diagonalisation des matrices avec le calcul des puissances d"une matrice diagonalisable et la r

´esolution des syst`emes diff´erentiels

lin ´eaires d´efinis par une matrice diagonalisable. Nous reviendrons sur ces deux applications dans les prochains chapitres, notamment dans le cas o `u ils mettent en jeu des matrices non diagonalisables. x1 Trigonalisation des matrices

7.1.1. D

´efinition.-Une matriceAdeMn(K)est ditetrigonalisabledansMn(K), siAest semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure deMn(K). C"est-`a-dire, s"il existe une matrice 1 2

CHAPITRE 7. TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION

DES MATRICES

inversiblePdeMn(K)et une matrice triangulaire sup´erieureT`a coefficients dansKtelles que

A=PTP1:(7.1)

On notera que toute matrice triangulaire sup

´erieure´etant semblable`a une matrice triangu- laireinf a une matrice triangulaire inf´erieure.

7.1.2 Exercice.-SoitAune matrice deMn(K)et soitune valeur propre deA. Montrer

que la matriceAest semblable`a une matrice de la forme 2 6 664
0...B 03 7 775
o `uBest une matrice deMn1(K).

7.1.3. Caract

´erisation des matrices trigonalisables.-Le r´esultat suivant fournit une ca- ract ´erisation des matrices trigonalisables.7.1.4 Th ´eor`eme (Th´eor`eme de trigonalisation).-Une matriceAdeMn(K)est trigonalisable dansMn(K)si, et seulement si, son polynˆome caract´eristiquepAest scind´e

surK.Preuve.La condition est n ´ecessaire. SiAest une matrice trigonalisable, par d´efinition, elle est

semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure : t=2 6 664
1

02...............

00n3 7 775

Le polyn

ˆome caract´eristique de la matriceTest scind´e : p

T= (1)n(x1):::(xn):

D"apr `es la proposition 6.3.3, deux matrices semblables ont mˆeme polynˆome caract´eristique. Ainsi,pA=pTet par suite le polynˆome caract´eristique deAest scind´e surK.

La condition est suffisante. On proc

`ede par r´ecurrence surn. Toute matrice deM1(K)est trigonalisable. On suppose que tout matrice deMn1(K), dont le polynˆome caract´eristique est scind ´e, est trigonalisable, montrons que cela est vrai pour toute matrice deMn(K). SoitA2 Mn(K), telle que le polynˆomepAsoit scind´e surK. Le polynˆomepAadmet donc au moins une racinedansK. Consid´erons un vecteur propreedansKnassoci´e`a la valeur propre. Compl´etons le vecteureen une baseB= (e;e2;:::;en)deKn. SoituA l"endomorphisme deKnassoci´e`a la matriceA,i.e., l"endomorphisme d´efini, pour tout vecteur xdeKn, paruA(x) =Ax. On a u

A(e) =Ae=e;

CHAPITRE 7. TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION

DES MATRICES3

par suite, la matrice de l"endomorphismeuAexprim´e dans la baseBest [uA]B=2 6 664
0...B 03 7 775;
o `uBest une matrice deMn1(K). La matriceA´etant semblable`a la matrice[uA]B, il existe une matrice inversiblePdeMn(C), telle que P 1AP=2 6 664
0...B 03 7 775:

De plus, d"apr

`es 6.3.8, le polynˆome caract´eristique du blocBdivise le polynˆome caract´eristique

de la matriceA, il est donc scind´e comme ce dernier. Par hypoth`ese de r´ecurrence, la matriceB

est semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure, il existe une matrice inversibleQdans M n1(K), telle quet0=Q1BQsoit triangulaire sup´erieure. En multipliant par blocs, on a : 2 6

6641 00

0...Qquotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

[PDF] chapitre 7 : Trigonalisation et diagonalisation des matrices

CHAPITRE

7Trigonalisation et diagonalisation

2 Diagonalisation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Une obstruction au caract

4 Caract

5 Matrices diagonalisables : premi

6 Trigonalisation et diagonalisation des endomorphismes . . . . . . . . . .

7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20 Nous abordons dans ce chapitre les probl

´esultat.

Le probl

´eom´etrique des matrices diagonalisables.

Nous pr

´esolution des syst`emes diff´erentiels

7.1.1. D

CHAPITRE 7. TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION

DES MATRICES

A=PTP1:(7.1)

On notera que toute matrice triangulaire sup

7.1.2 Exercice.-SoitAune matrice deMn(K)et soitune valeur propre deA. Montrer

7.1.3. Caract

02...............

Le polyn

T= (1)n(x1):::(xn):

La condition est suffisante. On proc

A(e) =Ae=e;

CHAPITRE 7. TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION

DES MATRICES3

De plus, d"apr

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