Exercices de mathématiques

CORRECTION DU TD 3 Exercice 1

Par conséquent on a : avec donc étant de dimension 1

Walanta

Espaces vectoriels. Applications linéaires. Matrices. Diagonalisation et trigonalisation. Objectifs : Savoir chercher une base d'un espace vectoriel d

chapitre 7 : Trigonalisation et diagonalisation des matrices

7.1.11 Exercice. — Montrer qu'une matrice de Mn(R) est inversible si et seulement si

Exercices de mathématiques - Exo7

1. La matrice A est-elle diagonalisable ? 2. Calculer (A?2I3)2 puis (A?2I3)n pour tout n ? N. En déduire An. Correction ?. [002592]. Exercice 3.

Partiel Corrigé

7 nov. 2015 Exercice I. On considère les matrices A := (1 1. 0 1. ) et B := ( 0 1. ?1 0. ) . 1) La matrice A est-elle diagonalisable ?

Exercices de mathématiques - Exo7

Expliquer sans calcul pourquoi la matrice. A n'est pas diagonalisable. Correction ?. [002583]. Exercice 7. Soit A une matrice 2×2 à coefficients réels.

Feuille dexercices n 6 : Diagonalisation et trigonalisation de

L'endomorphisme f est-il diagonalisable sur R? 2. Trouver une matrice inversible P et une matrice triangulaire supérieure T telles que A = PTP?1. supérieure. 3

ALG`EBRE PAD - Exercices

30 oct. 2008 1-1 Exercices corrigés . ... 1-1.3 Exercice 3a - Matrice d'une application linéaire . ... 3 Diagonalisation des endomorphismes.

ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE

Nous abordons dans ce chapitre les problèmes de trigonalisation et diagonalisation des matrices. Nous montrons que toute matrice à coefficients complexes

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2.1 Objectifs de la réduction des matrices. 2.2 Eléments propres. •. 2.3 Diagonalisation trigonalisation. 2.4 Exercices. 3 Polynômes et endomorphismes.

Feuille d’exercices n 6 : Diagonalisation et trigonalisation

Diagonalisation et trigonalisation Exercice 1 Soit A la matrice carr´ee d’ordre 3 telle que 4A = ?3 4 3 1 0 3 ?1 4 1 1) D´eterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A 2) En d´eduire le calcul de An 3) D´eterminer les vecteurs x ? R 3tels que la suite de vecteurs (Anx) n>1 converge dans R Quelle est alors la

Feuille d’exercices 7 - Université Sorbonne Paris Nord

Feuille d’exercices 7 Diagonalisation Exercice 1 On consid ere l’endomorphisme fde R3 d e ni par f: (x;y;z) 7!(3x z;2x+4y+2z; x+3z) 1 D eterminer la matrice A= Mat(f) Bde fdans la base canonique de R3 2 D eterminer le polyn^ome caract eristique de f En d eduire les valeurs propres de f 3 D eterminer une base pour chaque espace propre

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Exercice 1 1) Pour savoir si cette matrice est diagonalisable dans on détermine son polynôme caractéristique : Ainsi on a : Pour conclure on étudie le sous -espace propre associé à la valeur propre en résolvant l’équation matri ielle : On a : Par conséquent on a : avec donc

Enoncés et corrections : Sandra Delaunay

Exo7

Sujets de l"année 2006-2007

1 Devoir à la maison

Exercice 1Soita2R, notonsAla matrice suivante

A=0 1 a1+a

On définit une suite(un)n2N, par la donnée deu0etu1et la relation de récurrence suivante, pourn2N

u n+2= (1+a)un+1aun 1. Pour quelles v aleursde ala matriceAest-elle diagonalisable ? 2.

Lorsque Aest diagonalisable, calculerAnpourn2N.

3. On suppose Adiagonalisable. On noteUnle vecteurUn=un u n+1 , exprimerUn+1en fonction deUnet deA, puisUnen fonction deU0et deA.

SoitAla matrice deM3(R)suivante :

A=0 @0 1 0 4 4 0

2 1 21

A 1.

La matrice Aest-elle diagonalisable ?

2. Calculer (A2I3)2, puis(A2I3)npour toutn2N. En déduireAn. Soitfl"endomorphisme deR4dont la matrice dans la base canonique est A=0 B

B@833 1

6 3 21

26 7 102

0 0 0 21

C CA: 1. Démontrer que 1 et 2 sont des v aleurspropres de f. 2.

Déterminer les v ecteurspropres de f.

3. Soit ~uun vecteur propre defpour la valeur propre 2. Trouver des vecteurs~vet~wtels que f(~v) =2~v+~uetf(~w) =2~w+~v: 1

4.Soit ~eun vecteur propre defpour la valeur propre 1. Démontrer que(~e;~u;~v;~w)est une base deR4.

Donner la matrice defdans cette base.

La matrice Aest-elle diagonalisable ?

Exercice 4SoitAla matrice suivante

A=0 @3 01 2 4 2

1 0 31

A 1. Déterminer et f actoriserle polynôme caractéristique de A. 2.

Démontrer que Aest diagonalisable et déterminer une matriceDdiagonale et une matricePinversible

tellesA=PDP1. 3. Donner en le justifiant, mais sans calcul, le polynôme minimal de A. 4.

Calculer Anpourn2N.

SoitAla matrice suivante

A=1 1 2 1 1. Calculer le polynôme caractéristique et déterminer les v aleurspropres de A. 2. On note l1>l2les valeurs propres deA,E1etE2les sous-espaces propres associés. Déterminer unequotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

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Enoncés et corrections : Sandra Delaunay

Sujets de l"année 2006-2007

1 Devoir à la maison

Exercice 1Soita2R, notonsAla matrice suivante

Lorsque Aest diagonalisable, calculerAnpourn2N.

SoitAla matrice deM3(R)suivante :

2 1 21

La matrice Aest-elle diagonalisable ?

B@833 1

6 3 21

26 7 102

0 0 0 21

Déterminer les v ecteurspropres de f.

4.Soit ~eun vecteur propre defpour la valeur propre 1. Démontrer que(~e;~u;~v;~w)est une base deR4.

Donner la matrice defdans cette base.

La matrice Aest-elle diagonalisable ?

Exercice 4SoitAla matrice suivante

1 0 31

Calculer Anpourn2N.

SoitAla matrice suivante