Partiel Corrigé PDF 7 nov. 2015 Exercice I.

CORRECTION DU TD 3 Exercice 1

Par conséquent on a : avec donc étant de dimension 1

Walanta

Espaces vectoriels. Applications linéaires. Matrices. Diagonalisation et trigonalisation. Objectifs : Savoir chercher une base d'un espace vectoriel d

chapitre 7 : Trigonalisation et diagonalisation des matrices

7.1.11 Exercice. — Montrer qu'une matrice de Mn(R) est inversible si et seulement si

Exercices de mathématiques - Exo7

1. La matrice A est-elle diagonalisable ? 2. Calculer (A?2I3)2 puis (A?2I3)n pour tout n ? N. En déduire An. Correction ?. [002592]. Exercice 3.

Partiel Corrigé

7 nov. 2015 Exercice I. On considère les matrices A := (1 1. 0 1. ) et B := ( 0 1. ?1 0. ) . 1) La matrice A est-elle diagonalisable ?

Exercices de mathématiques - Exo7

Expliquer sans calcul pourquoi la matrice. A n'est pas diagonalisable. Correction ?. [002583]. Exercice 7. Soit A une matrice 2×2 à coefficients réels.

Feuille dexercices n 6 : Diagonalisation et trigonalisation de

L'endomorphisme f est-il diagonalisable sur R? 2. Trouver une matrice inversible P et une matrice triangulaire supérieure T telles que A = PTP?1. supérieure. 3

ALG`EBRE PAD - Exercices

30 oct. 2008 1-1 Exercices corrigés . ... 1-1.3 Exercice 3a - Matrice d'une application linéaire . ... 3 Diagonalisation des endomorphismes.

ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE

Nous abordons dans ce chapitre les problèmes de trigonalisation et diagonalisation des matrices. Nous montrons que toute matrice à coefficients complexes

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2.1 Objectifs de la réduction des matrices. 2.2 Eléments propres. •. 2.3 Diagonalisation trigonalisation. 2.4 Exercices. 3 Polynômes et endomorphismes.

Feuille d’exercices n 6 : Diagonalisation et trigonalisation

Diagonalisation et trigonalisation Exercice 1 Soit A la matrice carr´ee d’ordre 3 telle que 4A = ?3 4 3 1 0 3 ?1 4 1 1) D´eterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A 2) En d´eduire le calcul de An 3) D´eterminer les vecteurs x ? R 3tels que la suite de vecteurs (Anx) n>1 converge dans R Quelle est alors la

Feuille d’exercices 7 - Université Sorbonne Paris Nord

Feuille d’exercices 7 Diagonalisation Exercice 1 On consid ere l’endomorphisme fde R3 d e ni par f: (x;y;z) 7!(3x z;2x+4y+2z; x+3z) 1 D eterminer la matrice A= Mat(f) Bde fdans la base canonique de R3 2 D eterminer le polyn^ome caract eristique de f En d eduire les valeurs propres de f 3 D eterminer une base pour chaque espace propre

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Exercice 1 1) Pour savoir si cette matrice est diagonalisable dans on détermine son polynôme caractéristique : Ainsi on a : Pour conclure on étudie le sous -espace propre associé à la valeur propre en résolvant l’équation matri ielle : On a : Par conséquent on a : avec donc

Partiel

Corrigé

L2 - 2015-2016 - Université Denis-Diderot (Paris 7) Algèbre et Analyse pour la PhysiqueSamedi 7 Novembre 2015

Durée: 2h30Aucun document n"est autorisé - ni appareil électronique. Enoncez précisément les résultats

du cours utilisés. On pourra traiter les questions indépendamment les unes des autres.

Exercice I.

On considère les matricesA:=1 1

0 1 etB:=0 1 1 0

1) La matriceAest-elle diagonalisable ?

2) La matriceBest-elle:

i) diagonalisable dansR? ii) trigonalisable dansR? iii) diagonalisable dansC? (Justifier les réponses). Correction:(exercice I) 1) Le polynome caractéristique vautPA(x) = (x1)2dont1seule valeur propre deA. Le sous-espace propre associé estE1:=Ker(AI) =fx y ;(AI)x y = 0g= :::=fx 0 ;x2Rg=V ect1 0 (cas réel), doncdim(E1) = 1Or la multiplicité de la valeur propre

1est(1) = 2, donc par Th du coursAn"est pas diagonalisable. Dans le cas deCle raisonnement est

le même.

2-i) Le calcul donnnePB(x) =x2+ 1 = (xi)(x+i). Les valeurs propres,i, ne sont pas dans

Rdonc la matriceBn"est pas diagonalisable dansR.

2-ii) La matrice ne peut pas non plus etre trigonalisable dansRpour la meme raison. On rappelle

aussi le Th du cours: la matrice est trigonalisable dansRssiPB(x)est scindé dansR(ce qui n"est pas

le cas ici).

2-iii) On a deux valeurs propres distinctesien dimension2, d"après un résultat du cours cela

implique que la matrice est diagonalisable.

Exercice II.

Soituune application linéaire deR3dansR3, dont la représentation matricielle dans la base canonique est donnée par la matriceAsuivante: A=0 @32 2 21 2
22 31
A 1

1) Calculer le polynôme caractéristique deA.

2) Trouver les valeurs propres deA. (On doit trouver deux valeurs propres distinctes.)

3) Pour chaque valeur propre, déterminer le sous-espace propre correspondant. On donnera

une base de chaque sous-espace propre.

4) Montrer que la matriceAest diagonalisable, et proposer une baseBde vecteurs propres.

CalculerD=MatB(u), la représentation matricielle deudans la baseB. Donner la matrice de

passage, notéeP, de la base canonique à la baseBtrouvée à la question précédente, et donner

une relation entreA,PetD.

Correction:(Exercice II.) 1)

A(x) =

3x2 2 21x2
22 3x
L

3 L3L2=

3x2 2 21x2

01 +x1x

(1) = (1x) 3x2 2 21x2
01 1 C

2 C2+C3= (1x)

3x0 2 2 1x2 0 0 1 (2) = (1x)3x0 2 1x = (1x)2(3x)(3)

2) On a donc= 1valeur propre double, et= 3valeur propre simple.

3) D"une part,

1=Ker(AI) =0

@x y z1 A ;0 @22 2 22 2
22 21
A0 @x y z1 A = 0 (4) 0 @x y z1 A ;2x2y+ 2z= 0(5) 0 @x x+z z1 A ; x;zdansR(6) x0 @1 1 01 A +z0 @0 1 11 A ; x;zdansR(7) =V ect0 @1 1 01 A ;0 @0 1 11 A :(8)

Les vecteurv1=0

@1 1 01 A etv2=0 @0 1 11 A étant clairement linéairement indépendant car non colinéaires, 2 on a bien ainsi une base deE1. D"autre part, en raisonnant par équivalences, E

3=Ker(A3I) =0

@x y z1 A ;0 @02 2 24 2
22 01
A0 @x y z1 A = 0 (9) 0 @x y z1 A ;y+z= 0; x2y+z= 0; xy= 0(10) 0 @x y z1 A ; x=y=z=V ect0 @1 1 11quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

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