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Notes de cours

L1 - MATH120

Herv

´e Le Dret

5 octobre 2004

20

Chapitre 2

Syst `emes lin´eaires

Les syst

`emes lin´eaires interviennent dans de nombreux contextes d"applica- tions de l"alg `ebre lin´eaire (sciences de l"ing´enieur, m´et´eorologie,´economie, mais aussi codes de transmission d"information et cryptographie). Pour ce qui concerne les math ´ematiques, ils forment la base calculatoire de l"alg`ebre lin´eaire. Ils per- mettent ´egalement de traiter une bonne partie de la th´eorie de l"alg`ebre lin´eaire en dimension finie. 2.1 D

´efinition

On ne va traiter que le cas des syst

`emes lin´eaires faisant intervenir seule- ment des nombres r ´eels. On s"apercevra plus tard que tout ce que l"on dit dans ce cas reste valable pour des syst `emes lin´eaires faisant intervenir des nombres complexes. x

1,x2,...,xnest une´equation de la forme

a

1x1+a2x2+···+anxn=b,

o `ua1,a2,...,anetbsont des nombres r´eels donn´es. Soitm?N?un autre entier naturel sup´erieur`a 1. D ´efinition 7Unsyst`eme dem´equations lin´eaires`aninconnues, ou syst`eme lin ´eaire, est une liste de m´equations lin´eaires. On ´ecrit usuellement de tels syst`emes enmlignes plac´ees les unes sous les autres. Exemple 1Voici un syst`eme de 2´equations`a 3 inconnues?2x1-x2+32 x3=8, x

1-4x3=-7.

21

22CHAPITRE 2. Syst`emes lin´eaires

On aurait pu l"

´ecrire tout aussi bien

?2x1-x2+32 x3=8, x

1+0×x2-4x3=-7.

La forme g

´en´erale d"un syst`eme lin´eaire dem´equations`aninconnues, ou encore syst `emem×n, est la suivante ???????a

11x1+a12x2+a13x3+···+a1nxn=b1(←´equation n◦1)

a

21x1+a22x2+a23x3+···+a2nxn=b2(←´equation n◦2)............=...

a i1x1+ai2x2+ai3x3+···+ainxn=bi(←´equation n◦i)............=... a m1x1+am2x2+am3x3+···+amnxn=bm(←´equation n◦m) Les nombresaij,i=1,...,m,j=1,...,n, sont lescoefficientsdu syst`eme. Ce sont des donn ´ees. Les nombresbi,i=1,...,m, constituent lesecond membredu syst `eme et sont´egalement des donn´ees.

Il convient de bien observer comment on a rang

´e le syst`eme en lignes (une

ligne par ´equation) num´erot´ees de 1`ampar l"indicei, et en colonnes : les termes correspondant `a une mˆeme inconnuexjsont align´es verticalement les uns sous les autres. L"indicejvarie de 1`an. Il y a doncncolonnes`a gauche des signes d" ´egalit´e, plus une colonne suppl´ementaire`a droite pour le second membre. La notation avec double indiceaijcorrespond`a ce rangement : lepremierindice (ici i) est le num´ero deligneet lesecondindice (icij) est le num´ero decolonne.Il est extr ˆemement important de toujours respecter cette convention. Dans l"exemple 1, on am=2 (nombre d"´equations = nombre de lignes),n=3 (nombre d"inconnues = nombre de colonnes `a gauche du signe =) eta11=2, a

12=-1,a13=3/2,a21=1,a22=0,a23=-4,b1=8 etb2=-7.

D ´efinition 8Une solution du syst`eme lin´eaire est une liste de n nombres r´eels (s1,s2,...,sn)(un n-uplet) tels que si l"on substitue s1pour x1, s2pour x2, etc., dans le syst `eme lin´eaire, on obtient une´egalit´e. L"ensemble des solutions du syst `emeest l"ensemble de tous ces n-uplets. Ainsi,(5,13/2,3)est une solution du syst`eme lin´eaire de l"exemple 1. En r `egle g´en´erale, on s"attache`a d´eterminer l"ensemble des solutions d"un syst`eme lin la d

´efinition suivante.

2.1. D

´efinition23

D ´efinition 9On dit que deux syst`emes lin´eaires sont´equivalentss"ils ont le mˆeme ensemble de solutions. A partir de l`a, le jeu pour r´esoudre un syst`eme lin´eaire donn´e consistera`a le transformer en un syst `eme´equivalent dont la r´esolution sera plus simple que celle du syst `eme de d´epart. Nous verrons plus loin comment proc´eder de fac¸on syst

´ematique pour arriver`a ce but.

Remarque 6Deux syst`emes´equivalents ont toujours visiblement le mˆeme nom- bre d"inconnues. Par contre, ils n"ont pas forc

´ement le mˆeme nombre d"´equations.

Dans ce dernier cas, on peut toujours ajouter au syst `eme avec le moins d"´equations le nombre manquant `a l"aide d"´equations triviales

0×x1+0×x2+···+0×xn=0,

lesquelles ne modifient clairement pas l"ensemble des solutions.? Exemple 2R´esolution dans le cas d"un syst`eme 2×2. Consid´erons le syst`eme suivant ?x1-2x2=-1, -x1+3x2=3. Six1etx2d´esigne les coordonn´ees cart´esiennes d"un point du plan, on reconnaˆıt deux ´equations de droite, une par ligne du syst`eme. Par cons´equent, toute solu- tion(s1,s2)du syst`eme correspond aux coordonn´ees d"un point d"intersection des deux droites. On se ram `ene donc`a un probl`emeg´eom´etriquetr`es simple dans ce cas particulier. Dans cet exemple, les deux droites se coupent au point de coor- donn ´ees(3,2). On a obtenu l"ensemble des solutionsS={(3,2)}constitu´e ici d"un seul ´el´ement (on calcule cette solution tr`es simplement en additionnant les deux ´equations, puis en remplac¸ant la valeur dex2ainsi trouv´ee). Il aurait pu tout aussi bien se produire que les deux droites soient parall `eles, comme dans l"exemple suivant ?x1-2x2=-1, -x1+2x2=3. Dans ce cas, les deux droites ne se coupent pas, donc le syst `eme n"a pas de solu- tion. L"ensemble des solutions est l"ensemble videS=/0. Ceci se voit alg´ebrique- ment en remarquant que le membre de gauche de la premi `ere ligne est´egal`a l"op- pos ´e du membre de gauche de la premi`ere ligne. Comme 1?=3, il est impossible de satisfaire en m ˆeme temps les deux´equations lin´eaires.

24CHAPITRE 2. Syst`emes lin´eaires

Enfin, la troisi

`eme et derni`ere possibilit´e g´eom´etrique est que les deux droites soient confondues. ?x1-2x2=-1, -x1+2x2=1.

On a alors une infinit

´e de solutionsS={coordonn´ees des points de la droite}. Ces trois cas de figure obtenus dans le cas de syst `emes 2×2 recouvrent en fait la situation g ´en´erale, comme on le d´emontrera plus loin. On a en effet l"alternative suivante pour l"ensemble des solutions d"un syst `eme lin´eaire g´en´eralm×n. a) Soit il n"y a aucune solution,S=/0. Dans ce cas, on dit que le syst`eme est incompatible. b) Soit il y a une solution unique,S={(s1,s2,...,sn)}l"ensemble des solu- tions contient un seuln-uplet. Dans ce cas, on dit que le syst`eme estcompatible. c) Soit il y a une infinit ´e de solutions, et on dit aussi dans ce cas que le syst`eme est compatible. Un cas particulier important est celui dessyst`emes homog`enespour lesquels b

1=b2=...=bm=0, c"est-`a-dire dont le second membre est nul. De tels

syst `emes sont toujours compatibles car ils admettent toujours la solutions1= s

2=...=sn=0. Cette solution est appel´eesolution triviale. G´eom´etriquement

dans le cas 2×2, un syst`eme homog`ene correspond`a deux droites qui passent par l"origine des coordonn ´ees, cette origine(0,0)´etant donc toujours solution. Dans le cas des syst `emes homog`enes, on s"attachera par cons´equent`a d´eterminer s"il n"y a que la solution triviale ou s"il y en a d"autres.?

2.2 Notation matricielle

En r ´efl´echissant un petit peu, on se rend compte que dans la donn´ee d"un syst

`eme lin´eaire, seuls comptent les coefficients du syst`eme et le second membre.´Ecrire les´equations avec les inconnues permet de visualiser le syst`eme, mais

n"est pas autrement utile. On introduit donc une fac¸on plus compacte d"

´ecrire

un syst `eme lin´eaire : lanotation matricielle.Il s"agit simplement de ranger les co- efficients et le second membre dans des tableaux rectangulaires en suivant l"ordre naturel des lignes et des colonnes.

2.2. Notation matricielle25

Plus pr

´ecis´ement, on introduit les objets suivants A=( (((((((a

11a12···a1j···a1n

a a a m1am2···amj···amn) L"objetAs"appellela matrice du syst`eme lin´eaire. Elle amlignes etncolonnes, c"est unematrice m×n(`a coefficients r´eels). Le coefficientaijse trouve`a l"in- tersection de la ligne num ´eroiet de la colonne num´eroj. On note aussi de fac¸on g ´en´eriqueA= (aij)i=1,...,m,j=1,...,nouA= (aij)si la taille de la matrice est sous- entendue.

On introduit aussi

A=( (((((((a

11a12···a1j···a1nb1

a a a m1am2···amj···amnbm) On l"appellela matrice augment´ee du syst`eme.C"est une matricem×(n+1). Elle contient la matrice des coefficients avec une colonne suppl

´ementaire ajout´ee`a sa

droite et contenant le second membre, c"est- `a-dire toute l"information n´ecessaire a d´eterminer le syst`eme. Exemple 3Il est tr`es facile de passer d"un syst`eme lin´eaire`a sa matrice aug- ment ´ee et vice-versa : il suffit de lire les coefficients au bon endroit. Consid´erons l"exemple du syst `eme 3×3 suivant ?x

1-2x2+x3=0,

2x2-8x3=8,

-4x1+5x2+9x3=-9.

Sa matrice est

A=( (1-2 1 0 2-8 -4 5 9)

26CHAPITRE 2. Syst`emes lin´eaires

et sa matrice augment

´ee

A=( (1-2 1 0

0 2-8 8

-4 5 9-9) D ´efinition 10On dit que deux matrices A= (aij)et B= (bij)sont´egales si elles sont de la m ˆeme taille et si aij=bijpour tout couple d"indices i et j.

En d"autres termes, deux matrices sont

´egales si et seulement si elles ont les

m

ˆemes coefficients aux mˆemes endroits.

2.3 Syst

`emes´echelonn´es r´eduits Essayons d"imaginer le cas le plus favorable, un syst `eme dont la r´esolution soit parfaitement triviale : ???x 1=b1, x 2=b2, x n=bn.

Sa matrice augment

´ee n"est autre que

A=( (((((((1 0 0···0 0b1

0 1 0···0 0b2

0 0 1···0 0b3.....................

0 0 0···1 0bn-1

0 0 0···0 1bn)

Cette matrice montre une disposition de coefficients nuls bien particuli `ere. G´en´e- ralisons tout de suite. D ´efinition 11Une matrice A est dite´echelonn´eesi et seulement si elle a les deux propri

´et´es suivantes

1)Si une ligne est enti`erement nulle, toutes les lignes situ´ees en dessous sont

egalement enti`erement nulles.

2.3. Syst

`emes´echelonn´es r´eduits27

2)Dans chaque ligne non enti`erement nulle (`a partir de la deuxi`eme), le pre-

mier coefficient non nul en comptant `a partir de la gauche est situ´e strictement`a droite du premier coefficient non nul de la ligne pr

´ec´edente.

On dit qu"une matrice est

´echelonn´ee r´eduitesi et seulement elle a en plus les deux propri

´et´es suivantes

3)Le premier coefficient non nul d"une ligne en comptant`a partir de la gauche

vaut1.

4)Et c"est le seul´el´ement non nul de sa colonne.

Clairement, la matrice

˜Apr´ec´edente est´echelonn´ee r´eduite. Remarque 7Grˆace`a1),onvoitque2)aunsens:siunelignecontientun´el´ement non nul, alors la ligne pr ´ec´edente contient aussi un´el´ement non nul, sinon cela contredirait 1). Par ailleurs, toujours `a cause de 2) et de 1), on voit que tous les coefficients situ ´es dans la mˆeme colonne qu"un tel premier´el´ement non nul d"une ligne et en dessous de cet

´el´ement, sont nuls.?

Exemple 4

A=( ((((2-3 2 1

0 1-4 8

0 0 0 5/2

0 0 0 0

0 0 0 0)

est

´echelonn´ee et

A=( (1 0 2 0 25

0 1-2 0 16

0 0 0 1 1)

est

´echelonn´ee r´eduite. On reconnaˆıt (`a l"oeil) les matrices´echelonn´ees`a la dis-

position caract ´eristique des z´eros en escalier descendant du haut`a gauche vers le bas `a droite.?

Les notions pr

´ec´edentes sont uniquement relatives aux matrices, mais il se trouvequelessyst -appel simples `a r´esoudre. Commenc¸ons par un exemple.

Exemple 5Supposons que

A=( (1 0 2 0 25

0 1-2 0 16

0 0 0 1 1)

28CHAPITRE 2. Syst`emes lin´eaires

soitenfaitlamatriceaugment et s"

´ecrira??

?x

1+2x3=25,

x

2-2x3=16,

x 4=1.

Ce syst

`eme se r´esout trivialement en ?x

1=25-2x3,

x

2=16+2x3,

x 4=1. En d"autres termes, pour toute valeur dex3r´eelle, les valeurs dex1,x2etx4cal- cul ´ees ci-dessus fournissent une solution du syst`eme, et on les a ainsi toutes obte- nues. On peut donc d

´ecrire enti`erement l"ensemble des solutions

S={(25-2x3,16+2x3,x3,1);x3?R}.

Il s"agit d"unerepr´esentation param´etriquedeS. On parle encore desolution g

´en´eraledu syst`eme.?

L"exemple qui pr

´ec`ede montre que les inconnues d"un syst`eme´echelonn´e r ´eduit ne jouent pas toutes le mˆeme rˆole. Ceci conduit aux d´efinitions suivantes. D ´efinition 12SoitU une matrice´echelonn´ee r´eduite. Lespositions de pivotdeU sont les emplacements (au sens du couple (num

´ero de ligne, num´ero de colonne))

des coefficients valant1du point 3) de la d´efinition 11. Ainsi, dans l"exemple 5, on voit trois positions de pivot :(1,1),(2,2)et(3,4).

Le coefficient 1 situ

´e en position(3,5)n"est pas un pivot car il n"est pas le premier el´ement non nul de sa ligne.

Dans une matrice

´echelonn´ee r´eduite, on appellecolonnes de pivotles co- lonnes qui contiennent une position de pivot etlignes de pivotles lignes qui contiennent une position de pivot. D"apr `es le point 3) de la d´efinition 11, on voit qu"il y a au plus une position de pivot par ligne, et d"apr `es le point 4), au plus une position de pivot par colonne. Par cons

´equent, le nombre de colonnes de pivot

est ´egal au nombre de lignes de pivot, tous deux´etant´egaux au nombre de posi- tions de pivot. Cette observation banale jouera un r

ˆole important plus loin dans les

questions de dimension d"un espace vectoriel. Les positions de pivot permettent d"introduire une classification des incon- nues. D ´efinition 13Les inconnues correspondant`a une colonne de pivot sont appel´ees inconnues ou variables essentielles. Les autres sont appel´eesinconnues ou va- riables libres.

2.3. Syst

`emes´echelonn´es r´eduits29

Remarquons qu"un syst

`eme´echelonn´e a toujours au moins une variable essen- tielle,maisqu"iln"apasforc de cette section. Nous pouvons maintenant r

´esoudre les syst`emes´echelonn´es

r

´eduits dans tous les cas.

Th ´eor`eme 6Un syst`eme´echelonn´e r´eduit est compatible si et seulement si sa matrice augment

´ee ne contient aucune ligne de la forme

?0 0···0b?avec b?=0.

Dans ce cas, on obtient une description param

´etrique de l"ensemble des solu-

tions en exprimant les variables essentielles en fonction du second membre et des variables libres. D ´emonstration.Supposons que la matrice augment´ee du syst`eme contienne une ligne de la forme?0 0···0b?avecb?=0.

Cette ligne correspond

`a l"´equation lin´eaire

0×x1+0×x2+···+0×xn=b,

laquelle n"a ´evidemment aucune solution. Le syst`eme est par cons´equent incom- patible,S=/0.

Dans le cas o

`u aucune ligne n"est de cette forme, alors on peut visiblement r ´esoudre. En effet, les´eventuelles lignes nulles donnent des´equations de la forme

0×x1+0×x2+···+0×xn=0,

qui sont toujours satisfaites. De plus, chaque ligne non nulle r

´e´ecrite sous forme

d"

´equation prend la forme

x il+Bl(xlibres) =bl, o `uxilest lal-`eme variable essentielle (qui n"apparaˆıt que dans cette´equation situ ´ee`a la lignel),Bl(xlibres)est une somme compos´ee de coefficients du syst`eme multipli ´es par les variables libres (d´esign´ees collectivement parxlibresmais en fait, seules celles situ ´ees`a droite dexilinterviennent) s"il y a des variables libres, B l(xlibres) =0 s"il n"y en a pas, etblest lal-`eme ligne du second membre. Par cons

´equent,

x il=-Bl(xlibres)+bl, fournit une repr ´esentation param´etrique de l"ensemble des solutions, les variables libres parcourant ind

´ependammentR.?

30CHAPITRE 2. Syst`emes lin´eaires

On a ainsi

´etabli dans le cas des syst`emes´echelonn´es r´eduits l"alternative sur l"ensemble des solutions d ´ej`a vue g´eom´etriquement dans le cas 2×2. Corollaire 7Dans le cas d"un syst`eme´echelonn´e r´eduit m×n on a l"alternative suivante. a) Soit il n"y a aucune solution s"il y a une ligne de la forme ?0 0···0b?avec b?=0. b) Soit il y a une solution unique s"il n"y a pas de telle ligne ni de variables libres. c) Soit il y a une infinit ´e de solutions s"il n"y a pas de telle ligne mais qu"il existe des variables libres.

2.4 Algorithme de Gauss

A partir de maintenant, la strat´egie pour r´esoudre un syst`eme g´en´eral sera de se ramener `a un syst`eme´echelonn´e r´eduit qui lui soit´equivalent. On va pour cela raisonner uniquement sur les matrices ´echelonn´ees r´eduites, sans r´ef´erence particuli `ere aux syst`emes lin´eaires, et introduire un algorithme travaillant sur les matrices `a cet effet. Arr ˆetons nous quelque peu sur la notion d"algorithme. Il s"agit d"une descrip- tion pr ´ecise d"une suite d"op´erations`a effectuer, dans quel ordre et dans quel cas, qui aboutit au bout d"un nombre fini d"

´etapes si possible connu`a l"avance au

r ´esultat voulu. Il y a deux raisons pour introduire un algorithme dans le contexte de la r

´esolution des syst`emes lin´eaires.

La premi

`ere raison est que l"on peut certes r´esoudre les syst`emes 2×2 ou

3×3 par des manipulationsad hocdes´equations - r´esolution par rapport`a une

variable puis remplacement dans les autres

´equations, additions ou soustractions

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