[PDF] [PDF] Ift 2421 Chapitre 3 Résolution des systèmes déquations linéaires





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Systèmes déquations linéaires

Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par L'identification conduit à un système linéaire à quatre équations d'inconnues ?



RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES

Une solution est composée de l'ensemble des valeurs conjointement prises par les variables pour satisfaire les équations du système. Page 3. Page 3 sur 11. 1- 



Systèmes linéaires

Un système de 2 équations à 3 inconnues Le sous-système (S ) étant triangulaire il est facile de le résoudre en partant de l'équation du bas puis en ...



Syst`emes `a deux équations et trois inconnues

Exo 7. Mentionnez une troisi`eme solution. Page 7. Comprendre les solutions II. { x = ?2z y = 



Equations linéaires à trois inconnues

On dit que la premi`ere est notre inconnue principale et que les deux autres sont nos inconnues secondaires. Page 3. Résoudre en z une équation de plan. Exemple.



Systèmes linéaires

Mini-exercices. 1. Écrire un système linéaire de 4 équations et 3 inconnues qui n'a aucune solution. Idem avec une infinité de solution.



Systèmes linéaires1

Or résoudre des systèmes de très grande taille est un problème courant Un système linéaire de n équations à p inconnues est un système du type :.



Systèmes linéaires

Un système de 3 équations à 3 inconnues peut avoir une solution unique (l'inter 4. calculer yryr?1



1. La théorie

On écrit usuellement de tels systèmes en n lignes placées les unes sous les autres. Exemple 1. Le système suivant a 2 équations et 3 inconnues :.



Notes de cours L1 — MATH120

5 oct. 2004 Dans l'exemple 1 on a m = 2 (nombre d'équations = nombre de lignes)



[PDF] Systèmes linéaires

Un système de 2 équations à 3 inconnues Le sous-système (S ) étant triangulaire il est facile de le résoudre en partant de l'équation du bas puis en 



[PDF] 1 Systèmes déquations - Apprendre-en-lignenet

Pour résoudre un tel système on dispose de deux opérations : 1 la substitution d'une inconnue par une autre ou par une valeur ; 2 l'addition d'un multiple d 



[PDF] Equations linéaires à trois inconnues

Résoudre une équation de plan c'est choisir une inconnue qu'on exprime en fonction des deux autres On dit que la premi`ere est notre inconnue principale et 



[PDF] Syst`emes `a deux équations et trois inconnues

Equations et plans 3x ? 2y ? z = 0 ? z = 3x ? 2y ?5x + 4y + 4z = 0 ? z = 5x/4 ? y Résoudre le syst`eme { 3x ? 2y ? z = 0 ?5x + 4y + 4z = 0



Système déquations à 3 inconnues en ligne - Calculis

L'outil permet de résoudre des systèmes de trois équations linéaires à trois inconnues Il suffit de renseigner les valeurs des coefficients afin de 



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Systèmes de deux équations à deux inconnues Cas d'unicité de la solution d'un système 2 × 2 Cas des systèmes 3 × 3 Systèmes d'équations linéaires



[PDF] Systèmes déquations linéaires - Exo7 - Exercices de mathématiques

De façon surprenante ce système à 3 inconnues et 4 équations a une solution unique : ? = 1 3 ? = 4 3 ? = 1



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Ce système a 9 inconnues et 9 équations Il faut calculer les coefficients Lij et Uij dans l'ordre suivant : Ordre des calculs d'abord colonne puis ligne



[PDF] Algèbre Systèmes de trois équations du premier degré - Permamath

inconnues il existe plusieurs méthodes pour résoudre des systèmes de trois équations du premier degré à trois inconnues Il existe une méthode de 



RÉSOUDRE UN SYSTÈME À 3 INCONNUES ! - YouTube

11 juil 2022 · Nouvelle série de vidéos: les exercices de 3ème de 1960 On commence avec un système de 3 Durée : 15:01Postée : 11 juil 2022

  • Comment résoudre une équation à 3 inconnues ?

    Résoudre un système de trois équations d'inconnues x, y et z revient à chercher tous les triplets (x ; y ; z) qui vérifient ces trois équations. Un tel triplet de valeurs (x ; y ; z) est appelé « solution du système d'équations ».

  • Comment résoudre une équation à plusieurs inconnus ?

    Il faut d'abord isoler l'une des deux inconnues dans l'une des deux équations. Ici, il est plus simple d'isoler x dans la première équation parce qu'il n'a pas de coefficient. On remplace ensuite le x dans la deuxième équation par le résultat de x dans la première équation.

  • Comment résoudre un système d'équation par la méthode matricielle ?

    Si A est une matrice carrée inversible d'ordre n, alors le système d'équation dont l'écriture matricielle est AX = B admet une unique solution : X = A-1B. Exemple : Le système a pour écriture matricielle AX = B avec . Le déterminant de A est non nul, A est donc inversible.
  • Système linéaire : Un système est dit linéaire si la fonction qui décrit son comportement est elle-même linéaire. Cette dernière vérifie alors les principes de proportionnalité et de superposition : Principe de proportionnalité : si s(t) est la réponse à l'entrée e(t) alors ? x s(t) est la réponse à l'entrée ? x e(t).

Ift24211 Chapitre 3Ift 2421

Chapitre 3

Résolution des systèmes

d'équations linéaires

Ift24212 Chapitre 3Introduction

Description:

U = R . I

Loi de Kirchhoff:Le voltage sur une boucle fermée est nul.

Intensité entrante = intensité sortante.

donc 5 i

1 + 5 i2 = V

i

3 - i4 - i5 = 0

2 i

4 - 3 i5 = 0

i

1 - i2 - i3 = 0

5 i

2 - 7 i3 - 2 i4 = 0

Ift24213 Chapitre 3Exemples de situations nécessitant la résolution d'un système d'équations linéaires.

· Potentiel dans un circuit électrique

· Tension dans une structure

· Flot dans un réseau hydraulique

· Mélange de produits chimiques

· Vibration d'un système mécanique

· Élasticité

· Transfert de chaleur

· Réduction d'équation différentielles

Ift 2450

Ift24214 Chapitre 3Notation :Considérons le système suivant :axaxb axaxb1111221

2112222+=

+=ìíîCe système sera noté par :(en notation matricielle) aa aax xb b1112 21221
21
2é

ûúou aussi

A . x = b10 Rappels sur les matrices :

1. Multiplications entre matrices

conformes seulement : si A est

KxL et B est MxN alors A.B

existe ssi L=M.

2. On a l'associativité du produit :

A.(B.C)=(A.B).C

3. On n'a pas de façon générale de

commutativité : A.B ¹ B.A

4. Un vecteur est une matrice dont

l'une des dimensions est 1.

5. Une matrice 1x1 est associée de

façon bijective à un nombre réel.

6. La transposée AT d'une matrice

A est obtenue en interchangeant

les lignes et les colonnes.

7. Une matrice carrée NxN est dite

d'ordre N.

8. La matrice Zéro (notée 0) est

entièrement composée de zéros.

9. La matrice identité (notée I) a des

1 sur la diagonale et des zéros

ailleurs.

10. La trace d'une matrice est la

somme des éléments de sa diagonale.

Ift24215 Chapitre 3Méthode de Cramer

Si A . x = b est un système de n équations

avec n inconnues tel que det (A) ¹ 0 alors le système a une solution unique qui estx A AxA AxA Ann 11

22===det()

det(),det() det(),,det() det()K avec Aj la matrice obtenue en remplaçant la jème colonne de A par le vecteur b.

Ordre de la méthode:

O(n!) n > 20

5 fois la vie de l'univers.

Ift24216 Chapitre 3Système triangulaire :

· Inférieur

0é

úúúúúSubstitution Avant

· Supérieur

0é

úúúúúSubstitution Arrière

0

Résoudre le système :

312
077

002112

21
421
2 3- úx x x et le système : 300
170
27213
22
191
2 3- úx x xMatrice augmentée :300 170
27213
22
19-

Ift24217 Chapitre 3Systèmes équivalents

2 systèmes sont équivalents

Ils peuvent être obtenus l'un

à partir de l'autre avec

uniquement des opérations

élémentaires.

Deux systèmes équivalents

ont la même solution.Opérations élémentaires surles lignes d'une matrice

1. Multiplication d'unerangée par une constante

2. Les équations peuvent êtrepermutées.

3. Combinaison linéaire desrangées.

Exemple de système

Rxxx Rxxx

Rxxx1123

2123

31233212

2311
222:
312
123
22112
11 21
2 3- úx x xet de systèmes équivalents

262424

222

32131123

3123

2313Rxxx

Rxxx RRxx: 624
221
30224
2 131
2 3- úx x x

Ift24218 Chapitre 3Élimination de Gauss2 étapes :1. Transformation du système original en un système triangulaire supérieur.

2. Résolution du système triangulairepar substitution arrière.Exemple de système :

Rxxx Rxxx

Rxxx1123

2123

31233212

2311
222:

Premier pivot (a

11 = 3) :Rxxx

RRxx

RRxx1123

2123

31233212

1 37
37
37
2 34
37
36:
---=-Second pivot (a

22 = 7/3) :

Rxxx Rxx

RRx1123

223

3233212

73737

43732:

Substitution arrière :

x xx xxx3 23
1232
37773

3777321

13122

13121223=

Ift24219 Chapitre 3Remarques sur la méthode de Gauss1. Un pivot est une valeur par laquelle on doit diviser pour résoudre le système linéaire.

2. On n'a pas utilisé la seconde opération élémentaire.

3. On peut aussi travailler avec la matrice augmentée.Coût :Ordre O(n

3/3) flops

(Floting point operations)

Notes :Substitution arrière

Ordre O(n2/2) flops

négligeable lorsque n tend vers infini.Méthode de Gauss Jordan

· fait disparaître les

coefficients en haut et en bas de la diagonale.

· Pas de substitution arrière.

Coût :Ordre O(n

3/2) flops

déconseillée

Ift242110 Chapitre 3PivotageTechnique de pivotage partiel :Permute 2 lignes pour avoir le pivot maximum en valeur

absolue.

Technique de pivotage complet :Permute 2 lignes de la matrice augmentée, puis interchange 2inconnues du système pour avoir le pivot maximum en valeur

absolue.

Raisons du pivotage

Division par un très petit pivotvaleurerreurPivotvaleurerreurvaleurerreur+=+=+-101010151515

Exemple :043

4132
6371
3

2-é

úPivotage partiel (R

1 " R3)637

4132
0432
3

1-é

Suffisant pour éviter les

divisions par 0.

Peut aussi améliorer la

précision des calculs.

Ift242111 Chapitre 3Pivotage Complet

Étape 1 : (R1 " R2)4132

043
6373
1 2-

Étape 2 : (C1 " C3)-

ú3214

340
7363
1 2

Attention :Garder l'ordre des inconnues.

O = ( 3, 2, 1)

4132
043
6374
0 61
4 332
3 73
1 2 32
3 71
4 34
0 63214
31
2 3123
321-

ú=-x

x xxxx xxx40 7363
1 23
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