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Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne

Systèmes linéaires

Bernard Ycart

Si vous savez déjà résoudre un système linéaire par la méthode de Gauss, vous n"apprendrez pas grand chose de neuf dans ce chapitre. Il est essentiellement technique, et ne présente aucune difficulté théorique. Il vous préparera aux chapitres suivants d"algèbre linéaire, et vous devez l"avoir bien assimilé avant de continuer.

Table des matières

1 Cours 1

1.1 Intersection de droites et de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Ensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Transformations équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Forme échelonnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Forme résolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Entraînement 12

2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Compléments 27

3.1 Les formules de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Tout blanc tout noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Les Neuf Chapitres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Les grands systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

8 novembre 2011

Maths en LigneSystèmes linéairesUJF Grenoble1 Cours

1.1 Intersection de droites et de plans

Une équation linéaire à deux inconnues, du typea1x+a2y=b, est l"équation d"une droite dans le plan. Plus précisément, sia1,a2etbsont des réels fixés, tels que a

1?= 0oua2?= 0, l"ensemble des couples(x,y)vérifianta1x+a2y=best une droite

affine. Chercher les couples(x,y)qui vérifient plusieurs équations du même type, c"est chercher les points communs à plusieurs droites affines. Voici trois exemples de systèmes de 3 équations à 2 inconnues. ?x-y=-1 x+y= 1 y= 2? ?x-y=-1 x+y= 1 y= 1? ?x-y=-1

2x-2y=-2

-x+y= 1 Le premier n"a pas de solution. Le second a une solution unique : la solution de ses

deux premières équations vérifie la troisième. Le troisième système a une infinité de

solutions : ses trois équations sont équivalentes. La figure 1 donne une interprétation géométrique des trois systèmes. Dans chacun des trois graphiques,D1,D2,D3sont les droites correspondant aux trois équations du système. Résoudre un système deméquations à 2 inconnues, c"est détermineri jD 3 D 1D2 Oi j D 1D2D 3 Oi j D 1D 2D 3

OFigure1 - Interprétations géométriques de 3 systèmes linéaires de 3 équations à 2

inconnues. l"intersection demdroites dans le plan. Elle peut être vide, réduite à un point, ou

égale à une droite.

Une équation linéaire à trois inconnuesx,y,zest l"équation d"un plan dans l"espace. Voici trois systèmes de deux équations à trois inconnues. ?x+y+z= 1 -x-y-z=-1? x+y+z= 1 -x-y-z= 1? x+y+z= 1 x-y+z=-1 1

Maths en LigneSystèmes linéairesUJF GrenobleLes deux équations du premier système représentent le même plan. L"ensemble des

solutions du système est ce plan. Dans le second système, les équations sont celles de

deux plans parallèles : leur intersection est vide. Le troisième système est le cas général :

l"intersection des deux plans est une droite. Les trois cas sont illustrés par la figure 2.P2 P1 P1 P 2P1

P2Figure2 - Interprétations géométriques de 3 systèmes linéaires de 2 équations à 3

inconnues. Un système de 3 équations à 3 inconnues peut avoir une solution unique (l"inter- section de trois plans " en position générale » est un point de l"espace). Mais il peut se faire que deux des plans soient parallèles, auquel cas le système n"aura pas de solu- tion, ou bien que l"un des plans contienne l"intersection des deux autres, auquel cas le système aura une infinité de solutions. Un système linéaire deméquations àninconnues se présente sous la forme suivante. (S)? ???????a a a Unesolutionde(S)est unn-uplet de réels qui satisfont à la fois sesméquations. Résoudrele système(S)c"est décrire l"ensemble des solutions. L"intuition géométrique des dimensions 2 et 3 reste valable en dimensionn: l"ensemble desn-uplets de réels (x1,...,xn)qui vérifient une équation du type a i,1x1+...+ai,nxn=bi, où lesaisont non tous nuls, est un sous-espace affine de dimensionn-1dansRn, que l"on appelle unhyperplan. Résoudre un système deméquations, c"est décrire l"intersection demhyperplans dansRn. Cette intersection peut être vide, mais si elle ne l"est pas, c"est un sous-espace affine deRn. Nous le démontrerons à la section suivante. 2 Maths en LigneSystèmes linéairesUJF Grenoble1.2 Ensemble des solutions Nous nous limitons dans ce chapitre au cas réel, mais ce qui suit reste valable sur C. Considérons un système(S)deméquations àninconnues. (S)? ???????a a a Lescoefficientsai,jetbisont des réels donnés. Les variablesxisont les inconnues. Il faut comprendre(S)comme la conjonction (" et ») demassertions portant sur les variables (x1,...,xn). Unesolutionest unn-uplet de réels qui vérifie chacune desméquations. L"ensemble des solutions est un sous-ensemble deRn. Deux systèmes àninconnues sontéquivalentssi et seulement si leurs ensembles de solutions sont les mêmes. Par convention, on regroupe les termes contenant les inconnues à gauche de l"égalité, les termes constants à droite. La partie gauche s"appelle le premier membre, lem-uplet des constantes à droite de l"égalité est le second membre. On dit d"un système qu"il esthomogènesi tous les termes du second membre sont nuls. À un système(S), on associe le système homogène(H)obtenu en conservant le premier membre de(S)et en annulant le second membre. (H)? ???????a

1,1x1+···+a1,jxj+···+a1,nxn= 0............

a i,1x1+···+ai,jxj+···+ai,nxn= 0............ a m,1x1+···+am,jxj+···+am,nxn= 0 Nous commençons par l"ensemble des solutions d"un système homogème. Théorème 1.Soit(H)un système homogène deméquations àninconnues. L"en- semble des solutions de(H)est un sous-espace vectoriel deRn. Démonstration: Observons que len-uplet(0,...,0)(vecteur nul deRn) est solution. L"ensemble des solutions de(H)n"est donc jamais vide. Pour montrer qu"un ensemble non vide est un sous-espace vectoriel deRn, il suffit

de vérifier qu"il est stable par combinaison linéaire, c"est-à-dire que si deux éléments

appartiennent à l"ensemble, toutes leurs combinaisons linéaires restent dans le même ensemble. Soientx= (x1,...,xn)ety= (y1,...,yn)deux solutions de(H),λetμdeux réels quelconques. Nous devons vérifier queλx+μyest solution de(H). Considérons lai-ième équation, vérifiée à la fois parxety. a i,1x1+...+ai,nxn= 0etai,1y1+...+ai,nyn= 0. 3

Maths en LigneSystèmes linéairesUJF GrenobleEn multipliant la première parλ, la seconde parμet en ajoutant les deux, on obtient :

λ(ai,1x1+...+ai,nxn) +μ(ai,1x1+...+ai,nxn) = 0, soit, a i,1(λx1+μy1) +...+ai,n(λxn+μyn) = 0. Len-uplet(λx1+μy1,...,λxn+μyn)est donc solution de(H). Tout sous-espace vectoriel deRnest de dimension finie, au plus égale àn. Soit El"espace vectoriel des solutions du système homogène(H). Il se peut queEsoit de dimension 0, si(0,...,0)est la seule solution de(H). Nous verrons plus loin que la dimension deEest au moins égale àn-m: un système homogène ayant moins d"équations que d"inconnues a une infinité de solutions. Soitkla dimension deE, et s

1,...,skksolutions particulières, formant une base deE. Toute solution de(H)s"écrit

de façon unique comme combinaison linéaire des1,...,sk. E={λ1s1+···+λksk, λ1,...,λk?R}.(1) Théorème 2.Soit(S)un système linéaire et(H)le système homogène associé. Notons Sl"ensemble des solutions de(S)etEl"espace vectoriel des solutions de(H). Alors, •soitSest vide, •soitSest un espace affine de directionE. Démonstration: SupposonsSnon vide : soits0= (x(0)

1,...,x(0)n)une solution parti-

culière de(S). Nous allons démontrer que toute solution de(S)est la somme des0et d"une solution de(H). Soits= (x1,...,xn)une solution quelconque de(S). Pour tout i= 1,...,m, les deux solutions satisfont lai-ième équation. a i,1x(0) Si on retranche la première équation de la seconde, on obtient : a i,1(x1-x(0)

1) +...+ai,n(xn-x(0)n) = 0.

Par conséquent, len-uplets-s0est solution du système homogène associé(H). Réciproquement, on vérifie de la même façon que toutn-uplet somme des0et d"une solution de(H)est solution de(S). En joignant le théorème 2 et (1), on peut écrire l"ensemble des solutions de(S) comme suit. S={s0+λ1s1+···+λksk, λ1,...,λk?R}.(2)

Vous pouvez retenir ce résultat ainsi :

La solution générale d"un système linéaire est la somme d"une solution particulière et de la solution générale du système homogène associé. 4

Maths en LigneSystèmes linéairesUJF GrenobleOn retrouve ce même principe dans des problèmes très différents : équations de récur-

rence, équations différentielles, etc. Le reste de ce chapitre est consacré à laméthode du pivot de Gaussqui permet de calculer explicitement desnupletss0,s1,...,sk, tels ques0soit une solution particulière de(S)et(s1,...,sk)soit une base de l"espace vectoriel des solutions de(H).

1.3 Transformations équivalentes

L"idée de la méthode de Gauss est de transformer par étapes, le système à résoudre en des systèmes plus simples, tous équivalents au système initial, jusqu"à un système

dit " résolu », sur lequel on lit directement la solution. Pour un système linéaire, " plus

simple » signifie " avec moins de termes », ou encore " plus de coefficients nuls » . Pour annuler des termes, la méthode de Gauss combine les trois transformations de la proposition suivante. Proposition 1.Les transformations suivantes changent tout système en un système

équivalent :

1. échanger deux lignes,

2. multiplier une ligne par un réel non nul,

3. ajouter une ligne à une autre ligne.

Démonstration: Le résultat est évident pour la première transformation. Pour la seconde, si(x1,...,xn)est solution de(S), contenant l"équation a i,1x1+...+ai,nxn=bi,(3) alors(x1,...,xn)vérifie encore

λ(ai,1x1+...+ai,n)xn=λbi,(4)

pour toutλ. Réciproquement, siλest non nul il suffit d"appliquer ce qui précède à1/λ

pour s"assurer que toutn-uplet solution de (4) est aussi solution de (3).

Pour le point3, considérons les deux lignes

?a i,1x1+...+ai,nxn=bi a k,1x1+...+ak,nxn=bk(5)

Elles sont remplacées par

?a i,1x1+...+ai,nxn=bi (ai,1+ak,1)x1+...+(ai,n+ak,n)xn=bi+bk(6) Si unn-uplet(x1,...,xn)vérifie (5), alors il vérifie aussi (6). Réciproquement, multi- plions la première équation de (6) par-1(ce qui ne change pas l"ensemble des solutions 5

Maths en LigneSystèmes linéairesUJF Grenobled"après le point2), puis ajoutons les deux équations. D"après ce qui précède, toute so-

lution de (6) est aussi solution de (5). Ici, une mise en garde s"impose. Lorsqu"on remplace une ligne par une combinaison linéaire des autres, toute solution du système initial est encore solution du nouveau système. Mais l"ensemble des solutions du nouveau peut être strictement plus grand. Dans la démonstration ci-dessus, nous avons pris soin de vérifier les réciproques : il est essentiel que le système transformé soit bienéquivalentau système initial. La méthode de Gauss consiste à appliquer successivement les transformations de la proposition 1. Dans les deux sections suivantes, nous allons décrire les deux étapes principales.

1.4 Forme échelonnée

Nous dirons qu"un système estéchelonnés"il se présente sous la forme suivante. (SE)? p p ryr+···+cr,nyn=dr

0 =dr+1...

0 =dm Mettre un système(S)sous forme échelonnée, c"est passer de(S)à(SE)par les trans- formations de la proposition 1, et une permutation éventuelle des coordonnées, de sorte que

1. les inconnues(y1,...,yn)de(SE)sont celles de(S), mais dans un ordre qui peut

être différent,

2. les coefficientsp1,...prsont tous non nuls.

Les coefficientsp1,...,pr, que l"on appelle lespivots, jouent un rôle important. Pour arriver à la forme échelonnée avec despivots non nulson peut être amené au cours des calculs, à

1. permuter des variables

2. permuter des équations (application du point1de la proposition 1).

Le principe général consiste à utiliser une équation à pivot non nul pour annuler les termes au-dessous du pivot dans les équations suivantes du système. Décrire formel- lement l"algorithme dans le cas général, conduirait à des notations compliquées. Le mieux est de comprendre son fonctionnement sur des exemples. Dans ce qui suit nous utilisons la notation algorithmique←, pour " prend la valeur ». A part les permuta- tions éventuelles de variables ou d"équations, les seules transformations utilisées sont 6

Maths en LigneSystèmes linéairesUJF Grenobledu typeLi←Li+λLk, soit " la ligneiest remplacée par la somme de la lignei, et

de la lignekmultipliée parλ». Cette transformation change le système en un système

équivalent, d"après la proposition 1.

Voici un premier système.

(S1)? ???x+2y-z+t= 1 x+3y+z-t= 2 -x+y+7z+2t= 3

2x+y-8z+t= 4

L

2←L2-L1

L

3←L3+L1

L

4←L4-2L1?

???x+2y-z+t= 1 y+2z-2t= 1

3y+6z+3t= 4

-3y-6z-t= 2 L

3←L3-3L2

L

4←L4+ 3L2?

???x+2y-z+t= 1 y+2z-2t= 1 +9t= 1 -7t= 5 z←→t? ???x+2y+t-z= 1 y-2t+2z= 1 9t= 1 -7t= 5 (S1,E) L

4←L4+79

L3? ???x+2y+t-z= 1 y-2t+2z= 1 9t= 1

0 = 52/9

Voici un deuxième système.

(S2)? ???x+y-3z-4t=-1

2x+2y+2z-3t= 2

3x+6y-2z+t= 8

2x+y+5z+t= 5

L

2←L2-2L1

L

3←L3-3L1

L

4←L4-2L1?

???x+y-3z-4t=-1

8z+5t= 4

3y+7z+13t= 11

-y+11z+9t= 7 7 Maths en LigneSystèmes linéairesUJF Grenoble?? L

2←L4

L

4←L2?

???x+y-3z-4t=-1 -y+11z+9t= 7

3y+7z+13t= 11

8z+5t= 4

L

3←L3+ 3L2?

???x+y-3z-4t=-1 -y+11z+9t= 7

40z+40t= 32

8z+5t= 4

(S2,E) L

4←L4-15

L3? ???x+y-3z-4t=-1 -y+11z+9t= 7

40z+40t= 32

-3t=-12/5

Voici un troisième système.

(S3)? ???x-y+z+t= 3

5x+2y-z-3t= 5

-3x-4y+3z+2t= 1

6x+y-2t= 8

L

2←L2-5L1

L

3←L3+ 3L1

L

4←L4-6L1?

???x-y+z+t= 3

7y-6z-8t=-10

-7y+6z+5t= 10

7y-6z-8t=-10

L

3←L3+L2

L

4←L4-L2?

???x-y+z+t= 3 +7y-6z-8t=-10 -3t= 0 0 = 0 (S3,E)? ???x-y+t+z= 3 +7y-8t-6z=-10 -3t= 0 0 = 0 Remarquez l"échange dezettpour respecter la règle des pivots non nuls. La forme échelonnée n"est pas tout à fait la fin de l"histoire, mais elle donne déjà beaucoup de renseignements sur l"ensemble des solutions. Le système(SE)peut contenir 8

Maths en LigneSystèmes linéairesUJF Grenobledeux types d"équations. Celles dont le premier membre est nul, s"il y en a, sont les

équations de compatibilité. Le système ne peut avoir de solution que si leur second membre est aussi nul.

Nous admettrons le théorème suivant.

Théorème 3.S"il est non vide, l"ensemble des solutions du système échelonné(SE) est un espace affine de dimensionn-r. Observons que l"entierrest nécessairement inférieur ou égal àmet àn. Il ne dépend que de la dimension de l"espace des solutions. D"après le théorème 2, la dimension de l"espace des solutions ne dépend pas du second membre, mais seulement du système homogène associé. Ceci justifie la définition générale suivante. Définition 1.Soit(S)un système deméquations àninconnues, et(SH)le système homogène associé. On appellerangde(S)l"entiern-d, oùdest la dimension de l"espace vectoriel des solutions de(SH).

1.5 Forme résolue

Une fois le système mis sous forme échelonnée, s"il y a des équations de compatibilité

et si l"un des seconds membres de ces équations est non nul, le système n"a pas de solution (on dit qu"il est impossible). C"est le cas par exemple pour le système(S1)de la section précédente. S"il n"y a pas d"équations de compatibilité ou si leurs seconds membres sont nuls,

le système a des solutions et il faut les calculer. À partir du système échelonné(SH),

les étapes successives sont les suivantes.

1. supprimer les équations de compatibilité s"il y en a,

2. diviser chacune des équations restantes par son pivot,

3. sir < n, passer les termes enyr+1,...,yndans le second membre,

4. calculeryr,yr-1,...,y1, par combinaisons de lignes, en annulant les termes au-

dessus de chaque pivot et en commençant par le dernier. Sir < n,yr+1,...,ynsont traités comme des paramètres, qui peuvent prendre des valeurs réelles arbitraires. Nous reprenons comme exemples les systèmes(S2)et(S3)de la section précédente. (S2,E)? ???x+y-3z-4t=-1 -y+11z+9t= 7

40z+40t= 32

-3t=-12/5 9 Maths en LigneSystèmes linéairesUJF GrenobleL

2← -L2

L

3←(1/40)L3

L

4← -(1/3)L4?

???x+y-3z-4t=-1 y-11z-9t=-7 z+t= 4/5 t= 4/5 L

1←L1+ 4L4

L

2←L2+ 9L4

L

3←L3-L4?

???x+y-3z= 11/5 y-11z= 1/5 z= 0 t= 4/5 L

1←L1+ 3L3

L

2←L2+ 11L3?

???x+y= 11/5 y= 1/5 z= 0 t= 4/5 L

1←L1-L2?????

???x= 2 y= 1/5 z= 0 t= 4/5 Le système est maintenant sous forme résolue :(2,1/5,0,4/5)est la seule solution.

Voici un autre exemple.

(S3,E)? ???x-y+t+z= 3 +7y-8t-6z=-10quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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