Exercices de mathématiques

Intégrales doubles

16 oct. 2015 Exercice 32 [ 00111 ] [Correction]. Calculer l'aire de la portion ... Par le théorème de Fubini (avec ici f ⩾ 0) ces deux intégrales sont égales ...

Cours et exercices corrigés

3.4 Exercices sur les intégrales multiples . L'objectif de la troisième partie est d'introduire la notion de l'intégrale double et comment calculer.

INTÉGRALES DOUBLES

Quelques corrigés dexercices des feuilles 5 et 6

Quelques corrigés d'exercices des feuilles 5 et 6. Calculer l'intégrale double Avec la deuxième cela donne la même chose (et les calculs à faire sont à peu ...

Intégration etÉquations différentielles Licence Mathématiques

avec a b > 0. Exercice 20 (calcul d'intégrales doubles par changement de variables

Exercices de mathématiques - Exo7

Même question avec ω = y2dx+x2dy. Correction ▽. [005907]. Exercice 3 **. Calculer les intégrales multiples suivantes. 1

EN - EXERCICES SUR LES INTEGRALES MULTIPLES

f(x y)dxdy . Page 4. EN 4. Corrigé des exercices sur les intégrales multiples On calcule alors l'intégrale double. I = ∫∫. D1. 1. 3 (. 1 − (x + y)3) dxdy ...

examens-corriges-integrales-multiples.pdf

Exercice 1. (a) Avec : D := {(x y) ∈ R2 Quel nom amusant pourrait-on lui attri- buer ? (b) Avec un paramètre réel α > 0

Intégration Pascal Lainé 1

Et on pourra utiliser une forme de l'inégalité triangulaire. Allez à : Correction exercice 8. Exercice 9. Soient et deux réels fixés avec <

Calcul des structures hyperstatiques Cours et exercices corrigés

Soit le treillis plan de la Figure 5.6 où on change l'appui B (doubles réactions) par un appui simple avec une seule réaction et on ajoute une autre barre entre

INTÉGRALES DOUBLES

dx dy sur D = {(xy) ? R2

Quelques corrigés dexercices des feuilles 5 et 6

2011-2012. Quelques corrigés d'exercices des feuilles 5 et 6. Calculer l'intégrale double. ??. R xcos(x + y) dxdy R région triangulaire de som-.

Corrigé de la feuille TD N?4 - semaine du 17/03/2008 (les énoncés

Exercice 2. (calculer une intégrale double sur un triangle). Soit ? le domaine de R2 bordé par le triangle dont les sommets sont les points A

Intégration etÉquations différentielles Licence Mathématiques

Annexe C. Annales 2011-2012 Texte et corrigé de l'examen de session 1 Exercice 20 (calcul d'intégrales doubles par changement de variables

Exercices de mathématiques - Exo7

Même question avec ? = y2dx+x2dy. Correction ?. [005907]. Exercice 3 **. Calculer les intégrales multiples suivantes. 1

Exercices de mathématiques - Exo7

calculer les intégrales ? 1. 0 f(x)dx ? 2. 1g(x)dx et ? x. 0 h(t)dt. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [002082]. Exercice 3.

Exercices sur les intégrales doubles.

2012/2013. Semestre de printemps. Université Lyon I. Calcul différentiel et intégral. Exercices sur les intégrales doubles. Exercice 1. Calculer.

Intégrales doubles

16 oct. 2015 Intégrales doubles. Calculs d'intégrales doubles. Exercice 1 [ 01947 ] [Correction]. Calculer. I = ??. D xy dx dy avec.

Intégrales de fonctions de plusieurs variables

le long d'une courbe fermée C peuvent s'exprimer comme des intégrales doubles sur la région du plan entourée par C (c'est la formule de Green-Riemann).

Examen corrigé

(b) Avec un paramètre réel ? > 0 on introduit l'intégrale double : I?(?) := En distinguant les deux cas ? = 1 et ? = 1

Exo7 Intégrales curvilignes, intégrales multiples * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile

I : Incontournable

Exercice 1**Calculer l" intégrale de la forme différentiellewle long du contour orientéCdans les cas suivants :

1.w=xx

2+y2dx+yx

2+y2dyetCest l"arc de la parabole d"équationy2=2x+1 joignant les points(0;1)et

(0;1)parcouru une fois dans le sens desycroissants.

2.w= (xy3)dx+x3dyetCest le cercle de centreOet de rayon 1 parcouru une fois dans le sens direct.

3.w=xyzdxetCest l"arcx=cost,y=sint,z=costsint,tvariant en croissant de 0 àp2

trigonométrique. Même question avecw=y2dx+x2dy.

1.I=ZZ

2.I=ZZ

[1;1]2jx+yjdxdy.

3.I=ZZ

D xy dxdyoùDest la partie du plan limitée par les paraboles d"équations respectivesy=x2et x=y2.

4.I=ZZ

2+y26111+x2+y2dxdy.

5.I=ZZ

x6x2+y261dxdy(1+x2+y2)2.

6.I=ZZZ

06x6y6z61xyzdxdydz.

7.I=ZZZ

px+py+pz61zdxdydz.

R+¥

0sinxx

dx). 1

1.retRsont deux réels strictement positifs tels quer w=eyx
2+y2((xsinxycosx)dx+(xcosx+ysinx)dy)
le long de ce contour orienté. 2.
En déduire
RR rsinxx dxen fonction d"une autre intégrale. 3. En f aisanttendre rvers 0 etRvers+¥, déterminer la valeur deR+¥
0sinxx
dx. Calculer l"aire du domaineD=f(x;y)2R2=2p1x6y262p2xet 2q2y6x262q2yg. y2+34 z2+xz=1. longueur etAl"aire délimitée par la courbe fermée(C). Montrer que
A6L24p.
Pourcela, onsupposeratoutd"abordL=2petonchoisirauneparamétrisationnormaledel"arc. Onappliquera ensuite la formule de PARSEVALaux intégrales permettant de calculerLetAet on comparera les sommes des séries obtenues.
CalculerI=ZZ
x 2a 2+y2b
261(x2y2)dxdy.
Correction del"exer cice1 N1.Cest l"arc paramétrét7!t212 ;t ,tvariant en croissant de1 à 1. Z C w=Z 1 10 B @(t21)=2 t212
2+t2t+t
t212 2+t21 C Adt =0(fonction impaire): R
Cw=2ln2.2.
Z C w=Z 2p
0((costsin3t)(sint)+cos3t(cost))dt=Z
2p
0(cos4t+sin4tcostsint)dt
Z 2p
0((cos2t+sin2t)22cos2tsin2tcostsint)dt=Z
2p 0
1sin(2t)2
sin2(2t)2 dt Z 2p 0
1sin(2t)2
14 (1cos(4t)) dt=2p 114
=3p2 R
Cw=3p2
.3. Z C w=Z p=2
0(costsintcostsint)(sint)dt=Z
p=2
0cos2tsin3t dt
Z p=2
0(cos2tsint+cos4tsint)dt=cos3t3
cos5t5 p=2 0 =13 +15 =215 R
Cw=215

en déduit quewest exacte surR2d"après le théorème de SCHWARZ. Par suite, l"intégrale dewle long
de tout cercle parcouru une fois dans le sens trigonométrique est nulle. quewn"est pas exacte surR2. L"intégrale dewle long d"un cercle parcouru une fois dans le sens trigonométrique n"est plus nécessairement nulle.
On parcourt le cercleCle cercle de centre(a;b)et de rayonR>0 une fois dans le sens trigonométrique

ou encore on considère l"arc paramétrég:t7!(a+Rcost;b+Rsint),tvariant en croissant de 0 à 2p.
4 Z g w=Z 2p
0(b+Rsint)2(Rsint)+(a+Rcost)2(Rcost)dt
=RZ 2p =R2Z2p
0(2acos2t2bsin2t+R(cos3tsin3t))dt
=R2Z2p =R2Z2p
0(ab+R(costsint)(1+costsint))dt
=R2
2p(ba)+Z
2p
0R(costsint+cos2tsintcostsin2t)dt
=2pR2(ba):Correction del"exer cice3 N1.Représentons le domaine D=f(x;y)2R2=x61;y61;x+y>1g.1 1I=ZZ D (x+y)dxdy=Z 1 0 Z1
1x(x+y)dy
dx(ou aussiZ 1 0 Z1y
0(x+y)dx
dy) Z 1 0 xy+y22 y=1 y=1xdx=Z 1 0 x+12 x(1x)(1x)22 dx Z 1 0 x22 +x dx=16 +12 =23 ZZ D (x+y)dxdy=23 .2.Si on pose pour (x;y)2=mbr2,f(x;y)=jx+yjalors pour tout(x;y)2R2,f(x;y)=f(x;y)ou encore
fprend les mêmes valeurs en deux points symétriques par rapport àO. Puisque le pointOest centre de
symétrie de[1;1]2, on en déduit que 5 I=ZZ
16x;y61;x+y>0f(x;y)dxdy+ZZ

16x;y61;x+y60f(x;y)dxdy
=2ZZ
16x;y61;x+y>0(x+y)dxdy=2Z
1 1 Z1 x(x+y)dy dx =2Z 1 1 xy+y22 y=1 y=xdx=2Z 1 1 x+12 +x2x22 dx =212 23
+12 2 =83 ZZ [1;1]2jx+yjdxdy=83 .3.Représentons le domaine D=f(x;y)2R2=06x61;06y61;x26y6pxg.1 2 3 412 12 1 2I=Z 1 0 Zpx x 2y dy x dx=Z 1 0xy22 y=px y=x2dx=12 Z 1
0x(xx4)dx=12
13 16 112
4.
En passant en polaires, on obtient
I=ZZ x
2+y26111+x2+y2dxdy=ZZ

06r61;06q62p11+r2rdrdq
Z1
0r1+r2dr
Z2p 0dq (intégrales indépendantes) =2p12 ln(1+r2) 1 0 =pln2: ZZ x
2+y26111+x2+y2dxdy=pln2.5.Posons D=f(x;y)2R2=x6x2+y261g. Puisquex6x2+y2,x12

2+y2>14
,Dest l"intersection
de l"intérieur du disque de centreOet de rayon 1, bord compris, et de l"extérieur du disque de centre12
;0et de rayon12 , bord compris. SoitMun point du plan. On note(r;q)un couple de coordonnées polaires deMtel quer>0 etq2[0;2p]. 6
M2D,rcosq6r261,r=0 ou(0cosq.11
1
1En passant en polaires, on obtient
I=2ZZ x6x2+y261;y>01(1+x2+y2)2dxdy=2 Zp=2 0 Z1 cosqr(1+r2)2dr dq+Z p p=2 Z1
0r(1+r2)2dr
dq =2 Zp=2 0
12(1+r2)dr
1 cosqdq+Z p p=2
12(1+r2)dr
1 0 dq! Z p=2 0
11+cos2q12
dq+Z p p=212 dq=Z p=2
011+cos2qdq
Z p=2 011 cos
2q+1dqcos
2q=Z p=2
012+tan2qd(tanq) =Z
01t
2+2dt=1p2
arctantp2 0 =p2 p2quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7

I : Incontournable

1.w=xx

2+y2dx+yx

2+y2dyetCest l"arc de la parabole d"équationy2=2x+1 joignant les points(0;1)et

2.w= (xy3)dx+x3dyetCest le cercle de centreOet de rayon 1 parcouru une fois dans le sens direct.

3.w=xyzdxetCest l"arcx=cost,y=sint,z=costsint,tvariant en croissant de 0 àp2

1.I=ZZ

2.I=ZZ

3.I=ZZ

4.I=ZZ

2+y26111+x2+y2dxdy.

5.I=ZZ

6.I=ZZZ

06x6y6z61xyzdxdydz.

7.I=ZZZ

R+¥

0sinxx

2+y2((xsinxycosx)dx+(xcosx+ysinx)dy)

En déduire

0sinxx

A6L24p.

CalculerI=ZZ

261(x2y2)dxdy.

2+t2t+t

Cw=2ln2.2.

0((costsin3t)(sint)+cos3t(cost))dt=Z

0(cos4t+sin4tcostsint)dt

0((cos2t+sin2t)22cos2tsin2tcostsint)dt=Z

1sin(2t)2

1sin(2t)2

Cw=3p2

0(costsintcostsint)(sint)dt=Z

0cos2tsin3t dt

0(cos2tsint+cos4tsint)dt=cos3t3

Cw=215

0(b+Rsint)2(Rsint)+(a+Rcost)2(Rcost)dt

0(2acos2t2bsin2t+R(cos3tsin3t))dt

0(ab+R(costsint)(1+costsint))dt

2p(ba)+Z

0R(costsint+cos2tsintcostsin2t)dt

1x(x+y)dy

0(x+y)dx

16x;y61;x+y>0f(x;y)dxdy+ZZ

16x;y61;x+y60f(x;y)dxdy

16x;y61;x+y>0(x+y)dxdy=2Z

0x(xx4)dx=12

En passant en polaires, on obtient

2+y26111+x2+y2dxdy=ZZ

06r61;06q62p11+r2rdrdq

0r1+r2dr

2+y26111+x2+y2dxdy=pln2.5.Posons D=f(x;y)2R2=x6x2+y261g. Puisquex6x2+y2,x12

2+y2>14

M2D,rcosq6r261,r=0 ou(0cosq.11

1En passant en polaires, on obtient

0r(1+r2)2dr

12(1+r2)dr

12(1+r2)dr

11+cos2q12

011+cos2qdq

2q+1dqcos

012+tan2qd(tanq) =Z

2+2dt=1p2