[PDF] Sommaire 1. Intégration dune fonction continue sur [a b]

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Intégrale sur un segment [a;b]5-1Sommaire

1. Intégrale defcontinue1

1.1. Intégrale defcontinue par morceaux. . 1

1.2. Interprétation géométrique

. . . . . . . . 1

1.3. Sommes de Riemann

. . . . . . . . . . . . 2

1.4. Propriétés

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5. Inégalités

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Dérivation et Intégration5

2.1. Changement de variables

. . . . . . . . . 52.2. Inégalité des accroissements finis. . . . 6

2.3. Formules de Taylor

. . . . . . . . . . . . . 6

2.4. Intégration et étude locale

. . . . . . . . 7

3. Recherche de primitives7

3.1. Fraction rationnelle enx(ou ent...). . . 7

3.2. Fractions rationnelles diverses

. . . . . . 7

3.3. Polynômeexponentielle. . . . . . . . . 8

3.4. Primitives usuelles

. . . . . . . . . . . . . 81. Intégration d"une fonction continue sur [a;b]

1.1. Intégrale d"une fonction continue par morceauxThéorème :(de Darboux)

Toute application continue sur un intervalle admet une primitive de classeC1sur cet intervalle.Ce théorème est admis.

Définition :fcontinue sur[a;b], à valeur dansŠ(‘ou‚). F une primitive def, on appelleintégrale defsur[a;b]:Z b a f(t)dt= F(b)F(a)Il n"est pas nécessaire d"avoira < b, et on a immédiatement :Z a b f(t)dt=Z b a f(t)dt

1.2. Interprétation géométrique

L"intégrale simple sur [a;b] defest l"airealgébriqueentre le graphe defet l"axe des abscisses. Quand la f onctionest positiv e,comme sur la figure 1 , page suivante, l"aire algébrique se confond avec l"aire géométrique, c"est à dire l"aire hachurée. Quand la f onctionest de signe v ariable,comme sur la figure 2 , page suivante, l"aire algébrique est

la différence des aires géométriques au dessus et en dessous de l"axe des abscisses, c"est à dire des

aires hachurées.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

5-2Intégrale sur un segment [a;b]y

x a b y=f(x) 0

1Figure1 -L"intégrale simple d"une fonction positive est l"aire hachuréey

x a by=f(x) 0

1Figure2 -L"intégrale est la différence des aires hachurées en bleu et vert1.3. Calcul approché d"intégrales et sommes de Riemann

On va faire un calcul approché de la valeur d"une intégrale defsur[a;b]en divisant l"intervalle[a;b]

ennparties égales. Les bornes de ces parties sont donca+kban pourk2f0;1;:::; ng.

Surchacundecesintervallesdelargeur

ban a+(k1)ban ; a+kban ,définispourk2f1;2;:::; ng,

on approxime la fonction par la valeur à une de ses deux bornes. Ce qui donne :Théorème :fcontinue sur[a;b]

lim n!1ban n X k=1f a+kban = lim n!1ban n1X k=0f a+kban =Z b a

f(t)dtCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Intégrale sur un segment [a;b]5-3Si de plusfest monotone, une figure montre facilement que l"une des deux sommes est un majorant,

l"autre un minorant de l"intégrale. Enfin, quand [a;b]=[0;1], on obtient des sommes particulières appelées sommes de Riemann :Théorème :fcontinue sur[0;1], alors : limn!11n n X k=1f kn = lim n!11n n1X k=0f kn =Z 1 0 f(t)dtExemple :Cherchons limn!1n P k=1nn 2+k2

On écrit :

nP k=1nn

2+k2=1n

n P k=111 + kn

2et on reconnait une somme de Riemann pour la fonctionf

définie parf(t)=11 +t2sur[0;1]:On a bien une fonction continue sur[0;1]:

La somme converge donc vers

Z 1

011 +t2dt=4

1.4. Propriétés

a/ LinéaritéThéorème :f ;g:[a;b]!Š, intégrables sur[a;b],2Š, alors Z b a f(t)dt=Z b a f(t)dt Z b a (f+g)(t)dt=Z b a f(t)dt+Z b a g(t)dtb/ Conjugaison Théorème :f:[a;b]!‚, intégrable sur[a;b], alors Z b af (t)dt=Z b a f(t)dtc/ Relation de Chasles Théorème :f:[a;b][[a;c][[c;b]!Š, intégrable, alorsZb a f(t)dt=Z c a f(t)dt+Z b c

f(t)dtDémonstration :Ces théorèmes se montrent facilement en prenant F et G des primitives defetget

en remarquant queF est une primitive def.Exemple :CalculonsZ 1

0dtt+ iqui est bien l"intégrale d"une fonction continue sur[0;1]:

Attention, le logarithme n"est défini que sur‘+;ceci nous oblige à séparer la partie réelle et la partie

imaginaire.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

5-4Intégrale sur un segment [a;b]Z

1

0dtt+ i=Z

1 0tit

2+ 1dt=Z

1 0tt

2+ 1dtiZ

1 01t

2+ 1dt

12 lnt2+ 11 0 i[arctan(t)]10=12 ln(2)i4

1.5. Inégalités

a/ CroissanceThéorème :f:[a;b]!‘, intégrable sur[a;b], positive sur[a;b],a < b, alors :Z b a

f(t)dt>0Démonstration :Sur chaque[ai1;ai];Fiest croissante car de dérivée positive, d"où le résultat.b/ Théorème de l"intégrale nulle

Théorème :f:[a;b]!‘:8

>>>><>>>>:fcontinuesur[a;b];Zb a jf(t)jdt= 09

>>>>=>>>>;) 8t2[a;b]; f(t)= 0Démonstration :F, une primitive dejfj, est croissante vérifiant F(b)= F(a), donc F est constante, de

dérivéejfjnulle sur l"intervalle, et donc,fest nulle sur l"intervalle.c/ Majoration en valeur absolue

Théorème :a < b,

f:[a;b]!‘, intégrable sur[a;b], alorsjfjest intégrable sur[a;b], et :Z b a f(t)dt 6Z b a

jf(t)jdtDémonstration :On définitf+(t)= max(f(t);0)etf(t)= max(f(t);0), deux fonctions positives,

on af(t)=f+(t)f(t)etjf(t)j=f+(t)+f(t)Zb a f(t)dt=Z b a f+(t)dtZ b a f(t)dtetZ b a jf(t)jdt=Z b a f+(t)dt+Z b a f(t)dt, ce qui assure le résultat car ces deux intégrales sont positives.d/ Majoration en module

Théorème :a < b,

f:[a;b]!‚, intégrable sur[a;b], alorsjfjest intégrable sur[a;b], et :Z b a f(t)dt 6Z b a

jf(t)jdtDémonstration :Admis.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Intégrale sur un segment [a;b]5-5e/ Première inégalité de la moyenne

Théorème :a < b

f:[a;b]!Š, intégrable sur[a;b], alors : Z b a f(t)dt

6(ba)sup

t2[a;b]jf(t)jDémonstration : Z b a f(t)dt 6Z b a jf(t)jdt6Z b a sup t2[a;b]jf(t)jdt=(ba)sup t2[a;b]jf(t)jf/ Inégalité de Cauchy-Schwarz Théorème :a < b,f ;g:[a;b]!‘, intégrables sur[a;b], alors : Z b a f(t)g(t)dt 6sZ b a f2(t)dtsZ b a g2(t)dtDémonstration : Zb a (f(t)+g(t))2dt=2Zb a f2(t)dt+ 2Z b a f(t)g(t)dt+Z b a g2(t)dt>0 pour tout, d"où 4 Zb a f(t)g(t)dt! 2 Z b a f2(t)dtZ b a g2(t)dt60 qui permet de conclure.2. Dérivation et Intégration

2.1. Changement de variablesThéorème :fcontinue sur[a;b],'de classeC1sur[;], avec'([;])[a;b], alorsZ

f('(t))'0(t)dt=Z '()f(u)duLe changement de variable est doncu='(t)dont on vérifiera qu"il est bien de classeC1sur l"intervalle de variation det. Démonstration :Si F est une primitive def, alors F'est une primitive de(f')'0, d"oùZ f('(t))'0(t)dt= F'()F'()= F('())F('())=Z '()f(u)duExemple :CalculonsZ =2

011 + costdtqui est bien l"intégrale d"une fonction continue sur

0;2

Comme on le verra dans la suite, on poseu= tant2

ce qui donne cost=1u21 +u2et dt=2 du1 +u2;on n"oublie pas de changer les bornes, et on obtient Z =2

011 + costdt=Z

1 011 +

1u21 +u2

2 du1 +u2=Z

1 0 du= 1:

Les calculs ne s"arrangeront pas toujours aussi bien!Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

5-6Intégrale sur un segment [a;b]2.2. Inégalité des accroissements finis

Théorème :f:[a;b]!Š, de classeC1sur[a;b];a < betktel que supquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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