[PDF] Intégration des fonctions mesurables

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE - Integration des fonctions mesurables Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 1 / 42 ÉCOLE POLYTECHNIQUE - 1. Integration contre une mesure Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 2 / 42

Fonctions etagees

Dans cette section, on travaille avec un espace mesure (X;A;); autrement dit,Xest un ensemble,Aest une tribu de parties deXet:A!R +est une mesure sur les parties deX gurant dans la tribuA.Denition Pour l'espace mesurable(X;A), on dit qu'une fonctionX!Rest etageesi elle est mesurable et si elle ne prend qu'un nombre ni de valeurs. On noteE+l'ensemble des fonctions etagees>0.Une fonction etagee est une fonction s'ecrit X i2I i1AiavecIni etAi2Apour touti2I; cette ecriture n'est pas unique. Nous allons utiliser ces fonctions pour denir l'integrale des fonctions-mesurables. Les fonctions etagees sont en eet des fonctions auxquelles on associe facilement une integrale, et le cas general s'obtiendra en prolongeant la construction par passage a la limite. Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 3 / 42

Integrale des fonctions etagees positives

Denition

Soitf2E+. L'integralede fpar rapport a la mesureest l'elementRf(x)d(x)2R +deni comme somme nie par la formule : Z f(x)d(x) =X valeur def(ff=g)6+1; ouff=gdesigne la partie mesurablef1(fg). On note aussiZ fdcette integrale (i.e., on oublie la variable d'integration). On dit quefestint egrablesi Z f(x)d(x)<+1.Des quef2E+admet une ecritureP i2Ii1AiavecIni et avec lesAi2Amesurables et deux a deux disjoints, on a :Z fd=X i2I i(Ai).Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 4 / 42

Proprietes de l'integrale des fonctions etagees

L'integrale des fonctions etagees positives possede les proprietes suivantes.

1.Croissance :sif;g2E+sont telles quef6g, alorsZ

fd6Z gd.

2.Additivite :pourf;g2E+, on aZ

(f+g)d=Z fd+Z gd.

3.Homogeneite :pourf2E+et>0, on aZ

(f)d=Z fd. Justication.Les points 1 et 3 sont faciles. Pour 2, on ecritf=P i2Ii1AiavecIni et avec lesAimesurables partitionnantX; idem,mutatis mutandis, pourg=P j2Jj1Bj. Ceci permet d'obtenirf+g=P i;j(i+j)1Ai\Bj, ecriture similaire aux precedentes. Alors : Z (f+g)d=X i;j(i+j)(Ai\Bj) =X i iX j(Ai\Bj) +X j jX i(Ai\Bj):

Le premier terme vaut

P ii(Ai) =Rfdpuisque lesBjpartitionnentX, et de m^eme le second terme vautRgd=P jj(Bj) puisque lesAipartitionnentX.Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 5 / 42

Approximation par des fonctions etagees

Passons maintenant au resultat d'approximation qui permet de prolonger la construction de l'integrale par passage a la limite.Theoreme

Les fonctions mesurables a valeurs dansR,CouR

+sont les fonctions partout limites de suites de fonctions etagees. En outre : (i)toute fonction mesurable bornee est limite uniforme d'une suite de fonctions etagees; (ii)toute fonction mesurable positive est limite d'une suite croissante de fonctions etagees positives.Preuve (abregee).Deja, on remarque que les fonctions etagees sont mesurables, donc toutes les fonctions limites de l'enonce sont bien mesurables, comme limites simples de suites de fonctions mesurables. On travaille maintenant sur les reciproques. Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 6 / 42 Approximation par des fonctions etagees, preuve (abregee)

Pour cela, on se donnefmesurable.

S'il existeMtel que 06f(x)6Mpour toutx2X, alors pour chaque entiern>0 et chaque k= 0;1;:::;2n1, on noteEnk=f2nkM6f<2n(k+ 1)Mg. La suite des fonctions etageesfn=P kkM2 n1Enkest croissante et converge uniformement versf. Sifest positive a valeurs eventuellement innies, pour chaque entiern>0 on introduit g n= inffn;fngpour obtenir une fonction mesurablebornee. Par ce qui precede, on sait trouver une fonction etageehnsatisfaisantgn1n

6hn6gn, qui fournit une suite qui converge vers

f. Pour obtenir une suite croissante on pose ennfn= maxfh1;h2;:::hng. Pour les fonctions a valeurs reelles non necessairement positives, puis complexes, on travaille

sur les parties positives et negatives, puis sur les parties reelles et imaginaires.Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 7 / 42

Integration des fonctions mesurables>0On noteM+l'ensemble des fonctions mesurables a valeurs dansR +. On vient juste de voir que les fonctions dansM+sont les limites de suites croissantes de fonctions dansE+.Denition Soitf2M+. On appelleint egralede fpar rapport a la mesure, qu'on noteZ fdouZ f(x)d(x), la borne superieure, nie ou+1, de l'ensemble des integrales des fonctions etagees positives majorees parf. On dit quefestint egrablesi Z

f(x)d(x)<+1.Dans le cas ou la fonction est etagee, on retrouve la denition precedente. Et la denition en

termes de borne superieure permet de deduire la croissance de cette integrale de celle des fonctions etagees. Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 8 / 42

Un lemme de passage a la limite monotone

Sif2E+et siAest mesurable, on noteZ

A fdl'integrale de la fonctionf1A(qui est encore une fonction etagee). SiAetBsont des parties mesurables disjointes, l'additivite de l'integrale assure que Z

AtBfd=Z

A fd+Z B fd: Voici un premier resultat de passage a la limite monotone.Lemme

Soitf=P

i2Ii1Aiune fonction etagee positive et soitfEngn>0une suite croissante de parties mesurables dont la limite (i.e. la reunion) vautXtout entier. Alors on a Z fd= limn!1Z E nfd:Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 9 / 42

Un lemme de passage a la limite monotone, preuve

Preuve.On se ramene au cas ou lesAidans l'ecriture defsont deux a deux disjoints; alors :Z E nfd=Z f1End=X i i(Ai\En). Pour chaquei2I, la suite croissante de parties mesurablesfEn\Aign>0tend versAi(i.e. est de reunion egale aAi), donc par continuite a gauche des mesures, pour chaquei2I, on a : (Ai) = limn!1(En\Ai):

Ceci permet nalement d'ecrire :

Z fd=X i i(Ai) = limn!1X i i(En\Ai) = limn!1Z E nfd,

l'interversion centrale entre limite et somme ne posant pas de probleme puisqueIest ni.Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 10 / 42

Theoreme de convergence croissante (de Beppo Levi)

Theoreme (de convergence croissante)

Soit(fn)n>0une suite croissante de fonctions dansM+convergeant ponctuellement versf.

Alors, on a :

Z fd= limn!1Z f nd6+1:Preuve.Deja, la croissance de l'integrale et les inegalitesfn6fpour toutn>0 fournissentZ f nd6Z fd, et donc limn!1Z f nd6Z fdpar passage a la limite. Pour l'inegalite inverse, par denition de l'integrale surM+, il sut de voir que pour toute '2E+telle que'6fon a :Z 'd6limn!1Z f nd: On conclut alors en passant a la borne superieure des Z 'dpour'2E+telle que'6f.Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 11 / 42

Theoreme de convergence croissante, preuve

Pour prouver cette derniere inegalite, on se donne2]0;1[ et pour chaquen>0 on pose E n=ffn>'g. Par denition desEnon a ainsifn>(')1Enpour toutn>0. Ceci implique Z f nd>Z E n(')d=Z E n'd: En outre la suite de parties mesurablesfEngn>0est croissante pour l'inclusion puisque la suite de fonctions (fn)n>0est croissante, et par hypothese de convergence ponctuelle (et puisque <1), lesEntendent versXtout entier. Ainsi le lemme precedent implique que lim n!1Z E n'd=Z 'd; ce qui permet de passer a la limite dans l'inegalite precedente pour obtenir lim n!1Z f nd>Z 'd;

et nalement l'inegalite cherchee puisqueest arbitraire dans ]0;1[.Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 12 / 42

Proprietes de l'integrale

1.Croissance :sif;g2M+sont telles quef6g, alorsZ

fd6Z gd.

2.Additivite :pourf;g2M+, on aZ

(f+g)d=Z fd+Z gd.

3.Homogeneite :pourf2M+et>0, on aZ

(f)d=Z fd. Justication.Le premier point a ete vu juste apres la denition de l'integrale surM+et le troisieme est immediat. Pour le deuxieme, on sait qu'il existe des suites croissantes de fonctions dansE+, disons (fn)n>0et (gn)n>0, qui convergent versfetgrespectivement (theoreme d'approximation). Alors (fn+gn)n>0est une suite croissante dansE+qui converge versf+g, et on aZ (f+g)d= limn!1Z (fn+gn)d= limn!1Z f nd+ limn!1Z g nd=Z fd+Z gd; le theoreme de Beppo Levi assurant les deux egalites aux extremites de la cha^ne; l'egalite du

milieu provient de l'additivite de l'integrale surE+.Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 13 / 42

Integrales et parties negligeables

Proposition

Soitfune fonction dansM+.

(i)L'integraleZ fdest nulle si, et seulement si,fest nulle-presque partout (-p.p.). (ii)Sifest integrable, alors l'ensembleff= +1gest negligeable. (iii)Deux fonctions mesurablesX!R

+egales-p.p. ont m^eme integrale contre.Preuve.Le point (i) est vrai pour les fonctions etagees positives. Dans le cas general, la

condition est susante par denition de l'integrale comme borne superieure. Reciproquement, soitf2M+d'integrale nulle contre (i.e. par rapport a). On se donne une suite croissante dansE+, disons (fn)n>0, qui converge versf. Alors pour toutn>0, on aZ f nd= 0 et doncfn= 0-p.p. puisquefnest etagee. Puisquef(x) = limn!1fn(x), on en conclut quefest nulle-presque partout.Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 14 / 42

Integrales et parties negligeables, preuve

Pour (ii), on se donnef2M+telle queE=ff= +1gsatisfasse(E)>0. On pose alors f n=n1Epourn>0. On aZ fd>Z f nd=n(E), et on conclut en faisantn! 1. Soientfetgcomme dans (iii); alorsh= infff;ggest une fonction deM+, par hypothese egale afet ag-presque partout. On denit une autre fonction dansM+, a savoirf0denie parf0(x) =f(x)h(x) pour lesxtels queh(x)<+1etf0(x) = 0 pour les autresx2X; on denit de facon similaire une fonctiong0en remplacantfparg. On obtient des fonctions f

0etg0nulles-presque partout et construites pour que l'on puisse ecriref=h+f0et

g=h+g0. Par le point (i), on aZ f 0d=Z g

0d= 0, et donc nalement

Z fd=Z hd=Z gd; par additivite de l'integrale.Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 15 / 42

Inegalite de Tchebyche

Proposition (inegalite de Tchebyche)

Soitfune fonction dansM+et soitun nombre reel>0. Alors (ff>g)61 Z fd:Preuve.On noteEla partie mesurableff>g=fx2X:f(x)>g. On af>1Eet on conclut en integrant. Un enonce equivalent a cette proposition est le suivant.

Sif:X!Cest mesurable et si >0, alors on a :

(fjfj>g)61 2Z jfj2d: Justication.Remplacerfparjfj2etpar2.Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 16 / 42 Integration des fonctions a valeurs reelles et complexes Soitf:X!Rmesurable. Les parties positivef+= maxff;0get negativef= maxff;0g, qui sont denies pour avoirf=f+fetjfj=f++f, sont dansM+. On dit quefest integrable pa rrapp ort asif+etfle sont au sens qui precede. On pose alorsZ fd=Z f +dZ f d:Denition Soitf:X!Cmesurable. On dit quefestint egrablepa rrapp ort asiOn noteL1(;C), ou parfoisL1(), l'ensemble des fonctions integrables a valeurs dansC.Ainsi pourf:X!Cmesurable, on a :f2L1(;C) si et seulement sijfj2L1(;C).Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 17 / 42

Proprietes de l'integration des fonctions a valeurs dansCVoici quelques faits importants sur l'integrale des fonctions a valeurs complexes.

1.

L'ensemble L1(;C) est unC-espace vectoriel.

2.

L'application f7!Z

f(x)d(x) est une formeC-lineaire surL1(;C). 3.

P ourtoute f2L1(), on ajfj 2L1() et

Z f(x)d(x)6Z jf(x)jd(x): 4. Si est un ouvert de RNet siest la mesure de Lebesgue sur , alors le procede d'integration contrequ'on vient de decrire redonne l'integrale de Lebesgue du cours precedent. On note dans ce casL1( ;C) au lieu deL1(;C); autrement dit, la mesure de Lebesgue sur est tellement naturelle qu'on la sous-entend. Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 18 / 42

Propriete de l'integration, preuve partielle

Justication.La fonctionjfj=pjFinalement : Z f(x)d(x)6Z j<(f(x))jd(x)6Z jf(x)jd(x) =Z jf(x)jd(x).Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 19 / 42 ÉCOLE POLYTECHNIQUE - 2.Theoremes de convergence Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 20 / 42 Theoreme de la convergence monotone de Beppo Levi, version serie

Le cadre reste un espace mesure (X;A;).

La mesure utilisee dans les exemples et contre-exemples sera cependant la mesure de Lebesgue.Theoreme (convergence monotone, version serie)

Soit(un)n>0une suite de fonctions-mesurables a valeurs dansR +. Alors on a ZX n>0u nd=X n>0 Z u nd6+1:Ce theoreme se deduit immediatement de sa version initiale, via les sommes partielles.

Proposition

Soit(fn)n>0une suite croissante de fonctions-integrables reelles. Alors on a lim n!1Z f nd=Z ( lim n!1fn)d6+1:Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 21 / 42

Preuve et remarque sur l'hypothese de monotonie

Preuve.Par croissance, la suite (fn)n>0converge ponctuellement vers une fonction f:X!R +dont la partie negativefest integrable. DoncRfd=Rf+dRfdest bien denie-presque partout. On se ramene au theoreme de Beppo Levi en regardant la suite des fonctionsfnf1, qui sont elles aussi bien denies-presque partout carf1est integrable et donc ne vaut1que sur un ensemble negligeable. L'hypothese de monotonie est cruciale, comme l'indique l'exemple qui suit. Exemple :On considere la suite de fonctionsfn(x) = 2nx(1x2)n1denies sur ]0;1[. On verie que limn!+1fn(x) = 0, pour toutx2]0;1[. Cependant : 0 = Z 1 0 limn!+1fn(x)dxLemme de Fatou Le resultat suivant fournit une inegalite, et non pas exactement une interversion limite-somme. Il peut ^etre utile notamment pour prouver des divergences de suites numeriques denies par des integrales. Dans beaucoup de cas pratiques, la suite de fonctions converge et la premiere

limite inferieure (i.e. la fonction integree) est alors une vraie fonction limite (ponctuelle).Lemme (lemme de Fatou)

Soit(fn)n>0une suite de fonctions-mesurable positives. Alors on a : Z limn!+1fn(x)d(x)6limn!+1Z f n(x)d(x):Preuve.La suite de fonctions mesurables (gn= infk>nfk)n>0est croissante et converge vers limn!+1fn. Par Beppo Levi, on a donc :Z limn!+1fnd=Z lim n!1gnd= limn!1Z g nd. Enn, le fait quegn6fnimplique que limn!1Z g nd6limn!+1Z f nd; d'ou le resultat.Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 23 / 42

Theoreme de la convergence dominee de Lebesgue

Theoreme (theoreme de convergence dominee)

Soit(fn)n>0une suite de fonctions deL1(;C). On suppose que : (i)pour-presque toutx, la suitefn(x) n>0converge; (ii)il existeg2L1( )telle quejfnj6g-presque partout. Alors, il existef2L1(;C)telle quelimn!1fn(x) =f(x)-presque partout et lim n!+1Z f n(x)d(x) =Z

f(x)d(x):Il s'agit d'un enonce tres important, s'appliquant a unevaste classe de fonctions, et utile dans

de nombreux calculs de limite impliquant une operation d'integration. Une des importantes applications theoriques de ce celebre theoreme sera un enonce tres souple de derivation sous le signe somme. Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 24 / 42

Phenomenes de concentration et d'evanescence

Nous allons examiner deux cas typiques de non validite de l'interversion limite-somme. Pour cela, donnons-nous2 Cc(R) telle que Z R (x)dx= 1 et>0: Exemple :on peut prendre(x) = (1 jxj)+.Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 25 / 42

Phenomene de concentration

Phenomene de concentration :pour toutn>0, on notefn(x) =n(nx). Alors on a :

1 = lim

n!+1Z R f n(x)dx=Z R (y)dy>Z R limn!+1fn(x)dx= 0:Phenomene de concentration Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 26 / 42

Phenomene d'evanescence

Phenomene d'evanescence :pour toutn>0, on notegn(x) =(xn). Alors on a :

1 = lim

n!+1Z R g n(x)dx=Z R (y)dy>Z R limn!+1gn(x)dx= 0:Phenomene d'evanescence Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 27 / 42 ÉCOLE POLYTECHNIQUE - 3. Espace des fonctions integrables Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 28 / 42

Un probleme de non completude

Soit un ouvert deRN: on travaille ici avec lamesure de Lebesguesur . L'espaceCc( muni de la norme k k

1:f7! kfk1:=Z

jf(x)jdx; n'est pas complet. Par exemple :On afn2 Cc(]0;1[) etkfmfnk161m pour toutn>mmais la suite (fn)n>0ne converge pas dans (Cc(]0;1[);k k1). Par convergence dominee on peut voir que (fn)n>0converge

simplement et pour la normek k1vers une fonction Lebesgue-integrable discontinue.Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 29 / 42

Un probleme de non separation

Par ailleurs, on peut munir l'espaceL1(

) de lasemi-no rmek k1, i.e. 1.

P ourtoute fonction f2L1(

) et tout scalaire2R, on akfk1=jjkfk1. 2.

P ourtoutes fonctions f;g2L1(

), on akf+gk16kfk1+kgk1. Autrement dit, les conditions d'homogeneite et d'inegalite triangulaire sont satisfaites, mais il est a noter qu'on a seulement kfk1= 0,f= 0 p.p. sur ce qui est plus faible que la condition de separation, requise pour avoir une norme surL1(

L'idee principale est demodier l'espaceL1(

)et non pask k1, de facon a ce quek k1 denisse une norme sur le nouvel espace. Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 30 / 42

Identication des fonctions egales presque partout

Plus precisement, l'idee-clef est d'identier deux fonctions qui sont egales p.p. sur . Ceci se formalise mathematiquement de la facon suivante.

On denit surL1(

) larelation d'equivalence(relation re exive, symetrique et transitive) fgsi et seulement si (fg= 0 p.p. sur

Sif2L1(

), on note [f] laclasse d'equivalencedef [f] :=h2L1( ) :h=fp.p. sur Analogie :penser a la denition des fractions rationnellesP(X)Q(X)avecPetQdes polyn^omes. Une fraction rationnelle admet une innite d'ecritures comme fraction de deux polyn^omes : une fraction rationnelle est une classe d'equivalence de fractions

P(X)Q(X).

Ici, on travaille avec des

paquetsde fonctions, identiees entre elles quand elles dierent par une fonction nulle presque partout. Integration des fonctions mesurablesBertrand Remy 31 / 42

Espace de LebesgueL1(

)Denition

L'espace de LebesgueL1(

)est deni par L 1( ) :=[f] :f2L1(quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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