Analyse Numérique
1.5 Exercices du chapitre 1 . 4.3 Intégration numérique : méthodes composites . . . . . . . . . . . . . . . 76 ... 4.3.5 Méthode du trapèze corrigée .
Corrigé du TD 3 :Intégration Numérique
Exercice 1. Soient :I1 = ?. 1. 0 e?x2 dx I2 = ? ?. 0 sinxdx. 1. Déterminons une valeur approximative de I1
Chapitre 5 - Méthodes dintégration numérique
En précision cette méthode est donc équivalente à celle du point milieu (?1 ? ?00 )
Résolution numérique des Équations Différentielles Ordinaires
(2) xn+2 ? xn = 1. 3 h. ( fn+2 + 4fn+1 + fn. ) (règle de Simpson : p = 4 C5 = ?1/90). ?. Exercice 5.5 Étudier la zero-stabilité des méthode multipas. (a) xn
Correction - Feuille de TD 2 : Méthodes dintégration numérique
2019-2020. L2 Maths UE d'Analyse numérique. Correction - Feuille de TD 2 : Méthodes d'intégration numérique. Exercice 1. (Une méthode sur [?1
Module : Méthodes numériques et programmation
organisées en six chapitres. Le premier chapitre est consacré à l'intégration numériques (méthode du point milieu du trapèze et celle de Simpson).
Méthodes numériques et programmation
sin x2dx avec un nombre de points d'appui n = 5 puis n = 10. 4.6.5 Exercice. Approximer par la formule de point milieu décomposant l'intervalle d'intégration en
Correction de lexamen terminal de Méthodes numériques
Correction de l'examen terminal de Méthodes numériques. Exercice 1. (1pt) Donner la méthode d'intégration numérique de Simpson sur l'intervalle [ab].
Analyse numérique : Intégration numérique
11?/03?/2013 Intégration par méthode de Monte-Carlo. Exercice. Écrire un programme Scilab permettant d'estimer l'intégrale de 1. 1+x2 sur.
Méthodes numériques et langage Python Intégration numérique
08?/10?/2019 Intégration numérique. R. Flamary ... Intégration numérique sur [a b] sur n + 1 points réguli`erement ... Exercice 2 : Méthode de Simpson.
Analyse numérique :
Intégration numérique
Pagora 1A
Chapitre 4
8 février - 11 mars 2013
Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 1 / 67 Plan1Introduction
2Intégration par méthode de Monte-Carlo
3Formules de Newton-Cotes
BasesNewton-Cotes fermé
Newton-Cotes ouvert
4Formules composites
5Formules de Gauss
BasesUn exemple concret
Formules de Gauss-Legendre
Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 2 / 67Introduction
Plan1Introduction
2Intégration par méthode de Monte-Carlo
3Formules de Newton-Cotes
BasesNewton-Cotes fermé
Newton-Cotes ouvert
4Formules composites
5Formules de Gauss
BasesUn exemple concret
Formules de Gauss-Legendre
Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 3 / 67Introduction
Description du problème
On cherche à estimer la valeur numérique de
I=Z b a f(x)dx avec :aetbdeux réels (aintégrable sur[0;1]mais possède une sigularité en 0.Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 4 / 67Introduction
Méthode classique : primitive
Lorsqu"on connait une primitive def(noté iciF) sur[a;b], on peut calculer directementI. I=Z b a f(x)dx=F(b)F(a) exemple :F(x) =2pxest une primitive def(x) =1px sur[0;1], on a donc I=Z 1 01px dx=2p12p0=2Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 5 / 67Introduction
Problème
La plupart des fonctionsfne disposent pas d"expressions analytique pour leurs primitives même dans le cas de fonctions s"écrivant très simplement. exemples : Z1 0 ex2dx Z =20p1+cos2x dx
Z 1 0 cos(x2)dx Solution : utiliser des méthodes numériques. Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 6 / 67Introduction
Exemple concret intégration numérique
Dans le cas du traitement du signal, on peut vouloir connaitre la valeurmoyenne~f(t)d"un signalfsur[0;t].Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 7 / 67
Introduction
Exercice : valeur moyenne d"une fonctionf
Soitfune fonction intégrable sur[a;b], quelle est sa valeur moyenne?En déduire l"expression de~fd"un signalfsur[0;t].Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 8 / 67
Introduction
Exercice (correction)
Soitfune fonction intégrable sur[a;b], quelle est sa valeur moyenne? En déduire l"expression de~fd"un signalfsur[0;t]. Notonsfmoyla valeur moyenne defsur[a;b].fmoydoit vérifier l"égalité : Z b a f moydx=Z b a f(x)dx donc(ba)fmoy=Z b a f(x)dx etfmoy=1baZ b a f(x)dx d"où l"expression de ~f(t) =1tZ t 0 f(x)dxavect>0Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 9 / 67Intégration par méthode de Monte-Carlo
Plan1Introduction
2Intégration par méthode de Monte-Carlo
3Formules de Newton-Cotes
BasesNewton-Cotes fermé
Newton-Cotes ouvert
4Formules composites
5Formules de Gauss
BasesUn exemple concret
Formules de Gauss-Legendre
Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 10 / 67Intégration par méthode de Monte-Carlo
Bases de la méthode de Monte-Carlo
Objectif: calculer
I=Z f(x)dx avec2Rnde volumeVconnu, c"est à dire on connait la valeur exacte de
V=Z dx Comment faire: on tire aléatoirement de manière uniforme des valeurs x i2 ,i=1;:::;Net on approche l"intégrale parIQN=VN
N X i=1f(xi)Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 11 / 67Intégration par méthode de Monte-Carlo
Exercice
Écrire un programme Scilab permettant d"estimer l"intégrale de11+x2sur
[0;1]par la méthode de Monte-Carlo avec pour entréeN. Pour rappel, la fonctionrand(n,m)retourne une matrice de taillenm contenant des nombres aléatoires de loi uniforme compris entre 0 et 1. Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 12 / 67Intégration par méthode de Monte-Carlo
Exercice (correction)
Voici un exemple de solution :
function QN = integraleMC(N)QN = 0 ;
for k = 1:N u = rand(1,1) ;QN = QN + (1./N).*(1./(1 + u.*u)) ;
end endfunction On vient de donner un algorithme permettant de calculer Z 1011+x2dx=arctan(1)Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 13 / 67
Intégration par méthode de Monte-Carlo
Vitesse de convergence de la méthode
La méthode converge vers le bon résultat
limN!1QN=I
Cependant sa vitesse de convergence est très lente (il faut queNsoit très grand pour avoir un résultat convenable). En effet, on note fN=1N N X i=1f(xi)et limN!1fN=fmoyvaleur moyenne def2N=1N1N
X i=1(f(xi)fN)2et limN!12N=22R+La variance deQNvaut
Var(QN) =V22NN
Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 14 / 67Formules de Newton-Cotes
Plan1Introduction
2Intégration par méthode de Monte-Carlo
3Formules de Newton-Cotes
BasesNewton-Cotes fermé
Newton-Cotes ouvert
4Formules composites
5Formules de Gauss
BasesUn exemple concret
Formules de Gauss-Legendre
Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 15 / 67Formules de Newton-CotesBases
Plan1Introduction
2Intégration par méthode de Monte-Carlo
3Formules de Newton-Cotes
BasesNewton-Cotes fermé
Newton-Cotes ouvert
4Formules composites
5Formules de Gauss
BasesUn exemple concret
Formules de Gauss-Legendre
Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 16 / 67Formules de Newton-CotesBases
Interpolation et intégrale
On peut approcher une fonction quelconquefpar un polynômeP. Comme f(x)est proche deP(x), on a : f(x)P(x) =)Z b a f(x)dxZ b aP(x)dx
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