[PDF] Analyse numérique : Intégration numérique





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Analyse Numérique

1.5 Exercices du chapitre 1 . 4.3 Intégration numérique : méthodes composites . . . . . . . . . . . . . . . 76 ... 4.3.5 Méthode du trapèze corrigée .



Corrigé du TD 3 :Intégration Numérique

Exercice 1. Soient :I1 = ?. 1. 0 e?x2 dx I2 = ? ?. 0 sinxdx. 1. Déterminons une valeur approximative de I1



Chapitre 5 - Méthodes dintégration numérique

En précision cette méthode est donc équivalente à celle du point milieu (?1 ? ?00 )



Résolution numérique des Équations Différentielles Ordinaires

(2) xn+2 ? xn = 1. 3 h. ( fn+2 + 4fn+1 + fn. ) (règle de Simpson : p = 4 C5 = ?1/90). ?. Exercice 5.5 Étudier la zero-stabilité des méthode multipas. (a) xn 



Correction - Feuille de TD 2 : Méthodes dintégration numérique

2019-2020. L2 Maths UE d'Analyse numérique. Correction - Feuille de TD 2 : Méthodes d'intégration numérique. Exercice 1. (Une méthode sur [?1



Module : Méthodes numériques et programmation

organisées en six chapitres. Le premier chapitre est consacré à l'intégration numériques (méthode du point milieu du trapèze et celle de Simpson).



Méthodes numériques et programmation

sin x2dx avec un nombre de points d'appui n = 5 puis n = 10. 4.6.5 Exercice. Approximer par la formule de point milieu décomposant l'intervalle d'intégration en 



Correction de lexamen terminal de Méthodes numériques

Correction de l'examen terminal de Méthodes numériques. Exercice 1. (1pt) Donner la méthode d'intégration numérique de Simpson sur l'intervalle [ab].



Analyse numérique : Intégration numérique

11?/03?/2013 Intégration par méthode de Monte-Carlo. Exercice. Écrire un programme Scilab permettant d'estimer l'intégrale de 1. 1+x2 sur.



Méthodes numériques et langage Python Intégration numérique

08?/10?/2019 Intégration numérique. R. Flamary ... Intégration numérique sur [a b] sur n + 1 points réguli`erement ... Exercice 2 : Méthode de Simpson.

Analyse numérique :

Intégration numérique

Pagora 1A

Chapitre 4

8 février - 11 mars 2013

Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 1 / 67 Plan

1Introduction

2Intégration par méthode de Monte-Carlo

3Formules de Newton-Cotes

Bases

Newton-Cotes fermé

Newton-Cotes ouvert

4Formules composites

5Formules de Gauss

Bases

Un exemple concret

Formules de Gauss-Legendre

Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 2 / 67

Introduction

Plan

1Introduction

2Intégration par méthode de Monte-Carlo

3Formules de Newton-Cotes

Bases

Newton-Cotes fermé

Newton-Cotes ouvert

4Formules composites

5Formules de Gauss

Bases

Un exemple concret

Formules de Gauss-Legendre

Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 3 / 67

Introduction

Description du problème

On cherche à estimer la valeur numérique de

I=Z b a f(x)dx avec :aetbdeux réels (aintégrable sur[0;1]mais possède une sigularité en 0.Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 4 / 67

Introduction

Méthode classique : primitive

Lorsqu"on connait une primitive def(noté iciF) sur[a;b], on peut calculer directementI. I=Z b a f(x)dx=F(b)F(a) exemple :F(x) =2pxest une primitive def(x) =1px sur[0;1], on a donc I=Z 1 01px dx=2p12p0=2Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 5 / 67

Introduction

Problème

La plupart des fonctionsfne disposent pas d"expressions analytique pour leurs primitives même dans le cas de fonctions s"écrivant très simplement. exemples : Z1 0 ex2dx Z =2

0p1+cos2x dx

Z 1 0 cos(x2)dx Solution : utiliser des méthodes numériques. Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 6 / 67

Introduction

Exemple concret intégration numérique

Dans le cas du traitement du signal, on peut vouloir connaitre la valeur

moyenne~f(t)d"un signalfsur[0;t].Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 7 / 67

Introduction

Exercice : valeur moyenne d"une fonctionf

Soitfune fonction intégrable sur[a;b], quelle est sa valeur moyenne?

En déduire l"expression de~fd"un signalfsur[0;t].Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 8 / 67

Introduction

Exercice (correction)

Soitfune fonction intégrable sur[a;b], quelle est sa valeur moyenne? En déduire l"expression de~fd"un signalfsur[0;t]. Notonsfmoyla valeur moyenne defsur[a;b].fmoydoit vérifier l"égalité : Z b a f moydx=Z b a f(x)dx donc(ba)fmoy=Z b a f(x)dx etfmoy=1baZ b a f(x)dx d"où l"expression de ~f(t) =1tZ t 0 f(x)dxavect>0Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 9 / 67

Intégration par méthode de Monte-Carlo

Plan

1Introduction

2Intégration par méthode de Monte-Carlo

3Formules de Newton-Cotes

Bases

Newton-Cotes fermé

Newton-Cotes ouvert

4Formules composites

5Formules de Gauss

Bases

Un exemple concret

Formules de Gauss-Legendre

Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 10 / 67

Intégration par méthode de Monte-Carlo

Bases de la méthode de Monte-Carlo

Objectif: calculer

I=Z f(x)dx avec

2Rnde volumeVconnu, c"est à dire on connait la valeur exacte de

V=Z dx Comment faire: on tire aléatoirement de manière uniforme des valeurs x i2 ,i=1;:::;Net on approche l"intégrale par

IQN=VN

N X i=1f(xi)Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 11 / 67

Intégration par méthode de Monte-Carlo

Exercice

Écrire un programme Scilab permettant d"estimer l"intégrale de

11+x2sur

[0;1]par la méthode de Monte-Carlo avec pour entréeN. Pour rappel, la fonctionrand(n,m)retourne une matrice de taillenm contenant des nombres aléatoires de loi uniforme compris entre 0 et 1. Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 12 / 67

Intégration par méthode de Monte-Carlo

Exercice (correction)

Voici un exemple de solution :

function QN = integraleMC(N)

QN = 0 ;

for k = 1:N u = rand(1,1) ;

QN = QN + (1./N).*(1./(1 + u.*u)) ;

end endfunction On vient de donner un algorithme permettant de calculer Z 1

011+x2dx=arctan(1)Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 13 / 67

Intégration par méthode de Monte-Carlo

Vitesse de convergence de la méthode

La méthode converge vers le bon résultat

lim

N!1QN=I

Cependant sa vitesse de convergence est très lente (il faut queNsoit très grand pour avoir un résultat convenable). En effet, on note fN=1N N X i=1f(xi)et limN!1fN=fmoyvaleur moyenne def

2N=1N1N

X i=1(f(xi)fN)2et limN!12N=22R+

La variance deQNvaut

Var(QN) =V22NN

Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 14 / 67

Formules de Newton-Cotes

Plan

1Introduction

2Intégration par méthode de Monte-Carlo

3Formules de Newton-Cotes

Bases

Newton-Cotes fermé

Newton-Cotes ouvert

4Formules composites

5Formules de Gauss

Bases

Un exemple concret

Formules de Gauss-Legendre

Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 15 / 67

Formules de Newton-CotesBases

Plan

1Introduction

2Intégration par méthode de Monte-Carlo

3Formules de Newton-Cotes

Bases

Newton-Cotes fermé

Newton-Cotes ouvert

4Formules composites

5Formules de Gauss

Bases

Un exemple concret

Formules de Gauss-Legendre

Analyse numérique (Pagora 1A)Intégration numérique8/02 - 11/03/2013 16 / 67

Formules de Newton-CotesBases

Interpolation et intégrale

On peut approcher une fonction quelconquefpar un polynômeP. Comme f(x)est proche deP(x), on a : f(x)P(x) =)Z b a f(x)dxZ b a

P(x)dx

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