[PDF] Estimation: intervalle de fluctuation et de confiance

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Fluctuation

dans les programmes comparaison

Confiance

Th´eorie

approximation

1,96 ?

intervalle ?

Estimation Term.1

Estimation:

intervalle de fluctuation et de confiance

Mars 2012

IREM: groupe Proba-Stat

Fluctuation

dans les programmes comparaison

Confiance

Th´eorie

approximation

1,96 ?

intervalle ?

Estimation Term.2

Intervalle de fluctuation

connu: probabilit

´ep, taille de l'´echantillonn

but :estimer une fr´equencef`a partir d'une probabilit´e construire un intervalle`a l'aide de la probabilit´e p •centr´e •contenant les fr´equences observ´ees`a 95% (0,95est appell´e le seuil; parfois s=1-αavecαappell´e le risque) exemple :Un joueur qui doit choisir au hasard une carte dans un jeu de32cartes obtient certains avantages s'il d´ecouvre un roi.

On constate qu'il a retourn

´e11fois un roi sur50essais.

Peut-on pr

´esumer, au risque de5%, que ce joueur est un tricheur? notion de test

Fluctuation

dans les programmes comparaison

Confiance

Th´eorie

approximation

1,96 ?

intervalle ?

Estimation Term.3

Intervalle de fluctuation : dans les programmes

la fr

´equence observ´ee

f?? p-1⎷n;p+1⎷n? avec une probabilit´e d'au moins0,95

2en Terminalesin≥30,np>5,n(1-p)>5,

f?? p-1,96?p(1-p)⎷n;p+1,96? p(1-p)⎷n? avec une probabilit´e de 0,95

Fluctuation

dans les programmes comparaison

Confiance

Th´eorie

approximation

1,96 ?

intervalle ?

Estimation Term.4

Intervalle de fluctuation : lien 2nd - Terminale

On approxime

•1,96?2

Pour simplifier, en seconde,

Est ce vraiment valable ?

p0,10,20,30,40,50,60,70,80,9 d0,590,780,90,960,980,960,90,780,59 avecd=1,96?p(1-p)

Fluctuation

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Th´eorie

approximation

1,96 ?

intervalle ?

Estimation Term.4

Intervalle de fluctuation : lien 2nd - Terminale

On approxime

•1,96?2

Pour simplifier, en seconde,

En seconde, l'intervalle est plus largeque celui de terminale qui est l'intervalle th

´eorique

s=0,95 Term

2ndc'est pour cela qu'apparaˆıt "au moins" en seconde

Fluctuation

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Confiance

Th´eorie

approximation

1,96 ?

intervalle ?

Estimation Term.5

Intervalle de confiance

connu: fr

´equencef, taille de l'´echantillonn

but :estimer une probablit´e`a partir des observations construire un intervalle`a l'aide la fr´equence fcontenant la probabilit

´e ou la proportion inconnuep`a 95%

(avec un niveau de confiance de 95%) en Terminale p?? f-1⎷n;f+1⎷n?avec une probabilit´e d'au moins0,95 on fait les m

ˆeme approximations qu'en classe de seconde

exemple :Un sondage dans une commune r´ev`ele que sur les500 personnes interrog ´ees,42%sont m´econtentes de l'organisation des transport.

On veut d

´eterminer, au seuil d'au moins95%, un intervalle de confiance du pourcentage p de personnes m

´econtentes dans la

commune.

Fluctuation

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Confiance

Th´eorie

approximation

1,96 ?

intervalle ?

Estimation Term.6

Approximation de la loi Binomiale par une loi normale ffr´equence observ´ee-→Fnvariable al´eatoire associ´ee •Fn=XnnavecXnsuit une loiB(n,p)

Avec le

th´eor`eme de Moivre Laplace: quandndevient grand la loi binomialeB(n,p)s'approche d'une loi normaleN(m;σ)o`u m=E(Xn) =npetσ=?Var(Xn) =?np(1-p) Dans la pratique, on consid`ere que l'approximation est bonne lorsque n≥30np≥5np(1-p)>5

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Confiance

Th´eorie

approximation

1,96 ?

intervalle ?

Estimation Term.6

Approximation de la loi Binomiale par une loi normale ffr´equence observ´ee-→Fnvariable al´eatoire associ´ee •Fn=XnnavecXnsuit une loiB(n,p)

Avec le

th´eor`eme de Moivre Laplace: quandndevient grand la loi binomialeB(n,p)s'approche d'une loi normaleN(m;σ)o`u m=E(Xn) =npetσ=?Var(Xn) =?np(1-p)

Apr`es normalisation,

•Xn-np?np(1-p)suit une loi normaleN(0;1) •Xn-np?np(1-p)=nX n n-p?np(1-p)=X n n-p?p(1-p)/⎷n

Fn-p?p(1-p)/⎷n=Znsuit une loi normaleN(0;1)

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1,96 ?

intervalle ?

Estimation Term.7

Pourquoi 1,96 ?

Π(t)

t

2Π(t)-1

-tt d'o`uΠ(t) =s+1

2=0,95+12=0,975

Par lecture sur la table ou avec la calculatrice

,t=1,96

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approximation

1,96 ?

intervalle ?

Estimation Term.8

D´etermination de l'intervalle

on remplaceZn=Fn-p?p(1-p)/⎷ndans •si on connaˆıt la probabilit´ep, on isole la (v.a associ

´ee) fr´equenceFn:

p(1-p)⎷n) =0,95] intervalle de fluctuation •si on connaˆıt une fr´equence de l'´echantillonf, intervalle de confiance

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approximation

1,96 ?

intervalle ?

Estimation Term.8

D´etermination de l'intervalle

on remplaceZn=Fn-p?p(1-p)/⎷ndans •si on connaˆıt la probabilit´ep, intervalle de fluctuation •si on connaˆıt une fr´equence de l'´echantillonf, •on remplace?p(1-p)par?f(1-f) ce qui est valable th

´eoriquement

•on isole la probabilit´ep:

P(-f-1,96?

f(1-f)⎷n) =0,95 f(1-f)⎷n) =0,95 =?intervalle de confiancequotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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