[PDF] Fluctuation et estimation I Notion d'intervalles de

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Fluctuation et estimation

Table des matières

I Notion d"intervalles de fluctuationset d"intervalles de confiance (rappels de seconde). . . . . . 1

I.1 Intervalles de fluctuationvus en seconde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I.2 Prise de décision. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I.3 Intervalles de confiance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II Différence entre intervalles de fluctuationet de confiance sur un exemple de boules dans une urne.3

III Échantillonnage, intervallede fluctuationasymptotique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

III.1 Intervalle de fluctuationpour une loi binomiale(vu enPremière). . . . . . . . . . . . . . 4

III.2 IIntervalle de fluctuationasymptotique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

III.3 Prendre une décision à partir d"une intervalle de décision. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

IV Intervalle de confiance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

V Exercices (livre Math"x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

I Notion d"intervalles de fluctuations et d"intervalles deconfiance (rappelsde seconde)

I.1 Intervalles de fluctuationvus en seconde

Pile ou Fac et calcule la fréquence d"apparitiondu résultats "Pile». Les résultatsrisquent d"être différents d"un élève à l"autre

C"est ce qu"on appelle fluctuationd"échantillonnage.Pourdix échantillons, on pourrait par exemple obtenir :

Échantillon1213145678910

Diagramme avec10 échantillons:

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

-0.11 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1 1

Diagramme avec100 échantillons:

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

-0.110 20 30 40 50 60 70 80 90 "Pile».

L"intervalle de fluctuation au seuil de 95 % d"une fréquence d"un échantillon de taillenest l"intervalle I

centré surptel que la fréquence observéefse trouve dans I avec uneprobabilité égale à 95 %.

Définition

On suppose que 0,2?p?0,8 et quen>25.

L"intervalle de fluctuation au seuil de 95 %

vu en Secondeest l"intervalle? p-1?n;p+1?n? La probabilitéque la fréquence observéefsoit dans cet intervalle est de 95 %. On va voir plus loin un intervalle plus précis que celui vu en Seconde.

Propriété

Remarque: l"étendue de cet intervalle est2?n, qui diminue quandnaugmente. Plus la taille de l"échan-

tillon augmente, plus les fréquences observées se rapprochent dep.

I.2 Prise de décision

Dans les conditions de la défintion et de la propriété : •On émet une hypothèse sur la proportionpdu caractère étudié de la population.

•On détermine l"intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de laproportionpdans des échantillons de taille

n..

•Sila fréquenceobservéef0n"appartientpasà cet intervalle,on rejettel"hypothèsefaite surpavec un risque

d"erreur de 5%. •Sif0appartient à cet intervalle, on ne rejette pas l"hypothèse faite surp.

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I.3 Intervalles de confiance

On suppose désormais que l"on ne connaît pas la proportion réellepdu caractère et l"on cherche à l"esti-

mer. On suppose quep?[0,2 ; 0,8] (mais on ne connaît pas sa valeur) et quen>25.

Parmitousles échantillonsdetaillenpossiblesayant commefréquence observéef, 95 %desintervalles

associés? f-1 ?n;f+1?n? contiennentp.

Propriété

L"intervalle?

f-1?n;f+1?n? est dit intervalle de confiance depau niveau 0,95. (même définitionen Seconde qu"en Terminale)

Définition

Exemple :Le partid"un candidat commande un sondage réalisé à partirde 1600 personnes à l"issue duquel il

est donné gagnant avec 52 % des voix.

A-t-il des raisons d"être confiant?

Réponse :

Soitpla proportionde gens votant pour lui; il est élu sip?0,5.

D"près l"intervalle de confiance,p??

f-1 ?1600;f+1?1600? =[0,495 ; 0,545] au seuil de 95%, donc il n"est pas sûr d"être élu. II Différence entre intervalles de fluctuation et de confiance sur un exemple de boules dans une urne. On considère deux urnesU1etU2contenant chacun un grand nombre de boules, rouges ou bleues.

Intervalles de fluctuationIntervallesde confiance

Dans l"urneU1, onconnaîtla proportionpde

boules rouges. On procède à des tirages, avec remise, denboules et on observela fréquenced"apparitiond"une boule rouge. Celle-ci appartient à un "intervalle de fluctuation» de centrep, dont l"amplitudediminue avecn. On est ici dans le domaine del"échantillonnageet del"intervalle de fluctuation.

Dans l"urneU2, onignorela proportion de boules

rouges.

On effectue des tirages avec remise denboules;

on essaye alors d"estimer la proportionpde boules rouges dans l"urne, proportion dont on n"a aucune idéea priori. Cette estimation se fait au moyen d"un " intervalle de confiance ». Cet intervalle dépend d"un coeffi- cient, le " niveau de confiance» que l"on attribue à l"estimation. tervalle de confiance On se place désormaisau niveau Terminale S (avec rappel pourla loi binomiale vue en Première)

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III Échantillonnage, intervalle de fluctuation asymptotique III.1 Intervalle de fluctuationpour une loi binomiale (vu en Première)

SoitXune variable aléatoire qui suit la loi binomialeB(n;p). On noteF=Xnla variable aléatoire qui

correspond à la fréquencefde succès.

Soitα?]0 ; 1[.

Un intervalle de fluctuation au seuil 1-αest le plus petit intervalle de la forme?a n;bn? oùaetbsont des entiers entre 0etn, tels que signifie queP(a?X?b)?1-α, c"est-à-direP?a n?F?bn? ?1-α. On choisit doncacomme le plus grand entier tel queP(X2etbcomme le plus petit entier tel queP(X>b)?1-α 2.

Définition

Remarque: on prend en général 1-α=95%=0,95 doncα=0,25.

On détermine alors les valeurs deaetbpar les valeurs deP(X?k) (obtenues avec la fonction BinomialFRép

sur une TI).

Exemple 1 :

Dans une production de fruits, il y a 30 %de fruits abîmés. On prélève un échantillon aléatoire de 80 fruits

(la populationest suffisamment grande pour qu"on assimile ce tirage à un tirage avec remise).

Cherchonsla valeur dektel que la probabilitéque l"échantilloncompte au moinskfruitsabîmés dépasse

0,025.

On noteXla variable aléatoire qui compte le nombre de fruits abîmés.X?→B(80 ; 0,3). On cherche le plus petit entierktel queP(X?k)?0,025.

On trouvek=16.

Exemple 2 :

Dans uneurnecontenant 3 boules rougeset 7 boulesblanches,on effectue 100 tiragesd"unebouleau hasard, avec remise. On cherche l"intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence de boules rouges. On noteXla variable aléatoire donnant le nombre de boules rouges obtenues lors des 100 tirages. Xsuit la loi binomialeB(100 ; 0,3). La fréquence estF=X 100.
À la calculatrice (ou avec un tableur), on obtienta=21 etb=39.

L"intervalle de fluctuationest donc

I=[0,21 ; 0,39]

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III.2IIntervalle de fluctuationasymptotique

Dans ce paragraphe, on suppose que la proportionpdu caractère étudié estconnue.

Pour toutαdans ]0 ; 1[, un intervallede fluctuationasymptotiquee la vavriablealéatoireFau seuil 1-α

est unintervalledéterminéà partirde pet denqui contientFavec uneprobabilitéd"autantplusproche

de 1-αquenest grand.

Définition

Remarques: Cette définition met en lumière le fait qu"il n"existe pas ununique intervalle de fluctuation

asymptotique à un seuil donné.

Quand on parlera de l"intervalle de fluctuation asymptotique à un seuil donné, i s"agira de celui étudié en

Terminale.

Pour tout nombre réelαde ]0 ; 1[, il existe un unique réel positifuαtel que la probabilitéque la variable

aléatoire fréquenceFnprenne ses valeurs dans l"intervalleIn=? p-uα? p(1-p)?n;p+uα? p(1-p)?n?

se rapproche de plus en plus de 1-αquand la taille de l"échantillonnvient grande, ce que l"on note :

lim n→+∞P(Fn?In)=1-α oùXnest une variable aléatoire qui suit la loi binomialeB(n;p) etFn=Xn n.

Propriété

Démonstration:

On poseZn=Xn-np

?np(1-p). D"après le théorème de De Moivre-Laplace, pour tous nombresaetbaveca?b, on a : lim n→+∞P(a?Zn?b)=? b a1 ?2πe-x2 2dx.

OrZn=n?Xn

n-p??n×?p(1-p)=Fn-p?p(1-p)?n. a?Zn?b?a?Fn-p ?p(1-p)?n?b ?a×? p(1-p)?n?Fn-p?b×? p(1-p)?n?p+a? p(1-p)?n?Fn?p+b? p(1-p)?n. Par conséquent : lim n→+∞P? p+a? p(1-p)?n?Fn?p+b? p(1-p)?n? b a1?2πe-x2 2(E).

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10 De plus, pour tout réelα?]0 ; 1[, il existe un unique réeluαtel que? uα u

α1?2πe-x2

2=1-α.

En prenanta=-uαetb=uαdans l"égalité (E), la propriété s"ensuit. On tire 50 boules; on souhaite déterminer l"intervalle de fluctuationau seuilα=0,1. À la calculatrice, on trouveu0,1≈1,645 (on chercheβtel queF(Z?β)=1-α

2=0,95) oùFest la fonction de

répartitionde la loi normale centrée réduite.

L"intervalle de fluctuation est doncI50=?

0,4-u0,1?

0,4×0,6?50; 0,4+u0,1?

0,4×0,6?50?

=[0,286 ; 0,514].

Ainsi,eneffectuant 50 tiragesdanscetteurne,lafréquence d"apparitiond"uneboulerougeest compriseentre

0,286 et 0,514 avec une probabilité de 0,9.

Remarque:Pour 500tirages,toujoursavec uneprobabilitéde0,9, onobtientcommeintervallede fluctuation I

500=[0,364 ; 0,436]; l"amplitudede l"intervalle a été divisée par plus de trois.

Cas particulier: On sait que, pourα=0,05, on auα≈1,96.

On en déduit :

L"intervale de fluctuationau seuil de 0,95 de la variable aléatoire fréquenceFest défini par :

p-1,96×? p(1-p)?n;p+1,96×? p(1-p)?n?

Définition

Propriété: cet intervalle est inclus dans l"intervalle vu en seconde :? p-1?n;p+1?n?

Démonstration: Soitf:p?→p(1-p)).

f(p)=p-p2;f?(p)=1-2p;f?(p)=0?p=1

2;f?(p)?0?p?12.

On en déduit quefest croissante sur?

0 ;1 2? puis décroissante sur?12; 1? et ce maximum est14.

On peut donc majorer 1,96 par 2 et

p(1-p) par?1

4=12donc 1,96?p(1-p) est majoré par 2×12=1.

L"intervalle?

p-1,96×? p(1-p)?n;p+1,96×? p(1-p)?n? est donc inclus dans? p-1n;p=1n? L"intervalle de fluctuationvu en Terminaleest plus précis que celui vu en Seconde. III.3 Prendre une décision à partir d"une intervalle de décisionquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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