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fluctuations d"échantillonnages intervalle de fluctuations intervalle de confiance

Table des matières

1 loi des grands nombres, intervalle de fluctuations, intervalle de confiance 2

1.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .2

1.1.1 activités 1 et 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .2

1.1.2 corrigés activités 1 et 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .4

1.1.3 activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .5

1.1.4 activité 4 : intervalle de fluctuations à 95% . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .7

1.1.5 corrigé activité 4 : intervalle de fluctuations à 95% . .. . . . . . . . . . . . .8

1.1.6 activité 5 : intervalle de confiance à 95% . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .11

1.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .12

1.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .14

1.4 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .16

1.5 travaux pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .22

2 évaluation25

2.1 évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .25

3 devoir maison27

4 compléments(pour prof)28

1

1 loi des grands nombres, intervalle de fluctuations, intervalle de confiance

1.1 activité

1.1.1 activités 1 et 2

1.1.2 corrigés activités 1 et 2

1.1.3 activité 3

on lance1000fois une pièce de monnaie équilibrée et on relève la fréquencefde piles au fur

et à mesure que le nombre de lancers augmente on recommence quatre fois de suite1000lancers et on obtient les5courbes ci dessous on remarque qu"à chaque fois le pourcentage de piles s"est rapproché de0,5

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900nombre n de lancersfr´equences f de piles

un résultat remarquable est que, quel que soit le nombrende lancers, la fréquencefde piles, restera "fort probablement" localisée entref(n) = 0,5 +1 ⎷netg(n) = 0,5-1⎷n soit0,5-1

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900nombre n de lancerszone o`u restera fort probablement la fr´equence de pilesfr´equences f de piles

f(n) = 0,5 +1 ⎷n g(n) = 0,5-1 ⎷n le but de l"activité est de vérifier ce résultat au travers unesimulation avec un tableur

1. ouvrir et enregistrer dans votre dossier Mathématiques le fichier "tp (tableur)" de la ligne

"fluctuations d"échantillonnages" de la page d"accueil de "secondes" du site "site.math.free.fr"

2. entrer la valeur2dans la celluleB1pour fixer le nombre de résultats possibles à deux

3. simulation de20séries de1000lancers :

(a) dans la celluleB4, entrer la formule=ENT($B$1?ALEA()) elle permet d"obtenir un nombre entier aléatoire égal à0(face) ou1(pile) (siB1 = 2) (b) étirer la formule jusqu"àU4 (sont ainsi obtenus les premiers résultats de chacune des ... séries de ... tirages)

(c) sélectionner la plage de cellulesB4 :U4puis étirer la sélection vers le bas jusqu"à la

ligne1003pour obtenir les20séries de1000tirages

4. obtention des valeurs de fréquences de piles pour chacunedes20séries :

(a) dans la celluleW4, entrer la formule :=NB.SI(B$4 :B4;1)/$A4puis étirer la formule jusqu"àAP4

à quoi sert le dollard devant le4? : ...

à quoi sert le dollard devant leA? : ...

(b) sélectionner la plage de cellulesW4 :AP4puis étirer la sélection vers le bas jusqu"à la

ligne1003pour obtenir20séries de fréquences de "piles" pour1000tirages (c) dans quelle cellule se trouve le pourcentage de "piles" que l"on a obtenu pour les 500 premiers lancers de la série 10 : ... et quel est ce pourcentage? : ... (d) que signifie le résultat obtenu dans la celluleAP1003? : ...

5. obtention des courbes des fréquences de piles pour chacune des20séries

(a) sélectionner la plage de cellulesW4 :AP1003(survoler les 20 colonnes des fréquences

à la souris clic gauche maintenu)

(b) insertion -> graphique -> courbes -> courbes avec marques affichées à chaque point -> terminer (supprimer la légende et placer le graphique à saplace) (c) observations :(F9 pour relancer les tirages et changer les courbes) i. les fluctuations de la fréquence sont-elles de plus en plusgrande ou de plus en plus petites quand le nombre de tirages augmente? : ... ii. de quelle valeur les fréquences de piles semblent-ellesse rapprocher? : ...

6. construction des "courbes-enveloppes" correspondant àl"intervalle de confiance

f(n) = 0,5 +1 ⎷netg(n) = 0,5-1⎷n (a) dans la celluleAR4, entrer la formule= 1/$B$1-1/RACINE(A4) (b) dans la celluleAS4, entrer la formule= 1/$B$1 + 1/RACINE(A4) (c) sélectionner la plage de cellulesAR4 :AS4(survoler à la souris clic gauche maintenu) puis étirer la sélection vers le bas jusqu"à la ligne1003pour obtenir les tableaux de valeurs des fonctionsfetg (d) ajouter la courbe defdans le repère précédent comme suit : i. clic droit dans la zone de tracage -> données sources -> série -> Ajouter -> valeur -> sélectionner la plage de cellulesAR4 :AR1003-> ok ii. de même pour la courbe deg(mettre des Marques rouges pour les deux courbes) (e) observations : i. les 20 courbes des fréquences restent-elles toujours strictement entre les courbes defetgsans déborder?(relancer les calculs avecF9pour voir): ... ii. restent-elles "relativement globalement" entre les courbes : ...

7. estimation du pourcentage de valeurs qui restent dans l"intervalle de fluctuations

(a) dans la celulleAV4entrer la formule : =SOMMEPROD((W4 :AP4>=AR4)?(W4 :AP4<=AS4))/20 (elle donne, pour chaque valeur den, le pourcentage de valeurs qui se trouvent dans l"intervalle de fluctuations parmi les20valeurs obtenues)

étirer cette formule jusqu"àAV1003

(b) expliquer ce que donne la celluleAY4: ... (c) est-il raisonnable de dire que l"on a "pratiquement toujours"95%des 20 valeurs dans l"intervalle de fluctuations? : ...

8. pour le cas d"un dé équilibré à 6 faces, quelle valeur mettre dans la celluleB2? : ...

(a) si on met6dans la celluleB2, les courbes de fréquences restent-elles globalement entre les courbes defetg? : ... (b) si on met10dans la celluleB2, les courbes de fréquences restent-elles globalement entre les courbes defetg? : ...

9. conclusion :

si on répètenfois une expérience aléatoire(exemple : n = 1000 lancers d"une pièce ) ou la probabilité d"obtenir un certain résultat(exemple : pile)est égale àp(exemple : p= 0,5) quelle estimation de probabilité a t-on d"obtenir entre0,5-1 ⎷1000= 46,8%et0,5 + 1 ⎷1000= 53,1%de piles? :????5%,????95%ou????on ne peut pas savoir

10. application :

si on lance 2000 fois une pièce équilibrée, on peut dire avec95%de chance d"avoir raison que le nombre de "piles" sera compris entrexety calculer les valeurs dexety

1.1.4 activité 4 : intervalle de fluctuations à 95%

1. On lance1000fois une pièce de monnaie équilibrée et on relève la fréquencefde piles au

fur et à mesure que le nombre de lancers augmente on recommence quatre fois de suite1000lancers et on obtient les5courbes ci dessous on remarque qu"à chaque fois le pourcentage de piles s"est rapproché de0,5

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900nombre n de lancersfr´equences f de piles

???zone o`u reste la fr´equence de piles avec95%de chancesf(n) = 0,5 +1 ⎷n g(n) = 0,5-1 ⎷n un résultat remarquable est que, quel que soit le nombrende lancers, la fréquencefde piles, restera "avec 95% de chances" localisée entref(n) = 0,5 +1 ⎷netg(n) = 0,5-1⎷n soit0,5-1 f?[ 0,5-1⎷n; 0,5 +1⎷n](intervalle de fluctuations à 95%) (a) si on fait100lancers de la pièce de monnaie, le pourcentage de piles sera compris entre quelles valeurs avec 95% de chances? (b) déterminer l"intervalle de fluctuations à 95% si on fait 1000 lancers, cet intervalle est-il plus ou moins large que le précédent? (c) même question pour10000lancers (d) combien de lancers faut-il faire pour avoir un intervalle de fluctuations à 95% large de moins de 1%?

2. si on lancenfois, un dé à 6 faces équilibré et que l"on s"intéresse au nombre de fois que l"on

obtient le score "6" (a) vers quelle fréquence va converger le pourcentage de "6"obtenu au fur et à mesure qu"augmente le nombrende lancers?(justifier) (b) si on fait200lancers du dé, le pourcentage de "6" sera compris entre quelles valeurs avec

95% de chances?

(c) calculer l"intervalle de fluctuations à 95% pour 500 lancers et interpréter le résultat

3. si on choisit au hasardnpersonnes(avec remise)dans un groupe où la probabilité de trouver

un droitier est de80% (a) vers quelle fréquence va converger le pourcentage de "droitiers" obtenu au fur et à mesure qu"augmente le nombrende tirages?(justifier) (b) calculer l"intervalle de fluctuations à 95% pourn= 1000et interpréter le résultat (c) On choisit au hasard 1000 personnes(avec remise)dans un groupe et on obtient 75% de "droitiers", peut-on raisonnablement considérer que le groupe contient80%de droitiers? (justifier)

1.1.5 corrigé activité 4 : intervalle de fluctuations à 95%

1. On lance1000fois une pièce de monnaie équilibrée et on relève la fréquencefde piles au

fur et à mesure que le nombre de lancers augmente on recommence quatre fois de suite1000lancers et on obtient les5courbes ci dessous on remarque qu"à chaque fois le pourcentage de piles s"est rapproché de0,5

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900nombre n de lancersfr´equences f de piles

???zone o`u reste la fr´equence de piles avec95%de chancesf(n) = 0,5 +1 ⎷n g(n) = 0,5-1 ⎷n un résultat remarquable est que, quel que soit le nombrende lancers, la fréquencefde piles, restera "avec 95% de chances" localisée entref(n) = 0,5 +1 ⎷netg(n) = 0,5-1⎷n soit0,5-1 f?[ 0,5-1⎷n; 0,5 +1⎷n](intervalle de fluctuations à 95%) (a) si on fait100lancers de la pièce de monnaie, le pourcentage de piles sera compris entre quelles valeurs avec 95% de chances? Pour 100 lancers d"une pièce équilibrée, le pourcentage de piles sera compris dans l"in- tervalle de fluctuations :[ 0,5-1 ⎷n; 0,5 +1⎷n]avecn= 100 ce qui donne : 0,5-1 ⎷100= 0,5-110= 0,4

0,5 +1

⎷100= 0,5 +110= 0,6 soit l"intervalle ???[0,4;0,6] il y aura donc, pour 100 lancers, entre 40% et 60% de piles avecune probabilité de 95%
(b) déterminer l"intervalle de fluctuations à 95% si on fait 1000 lancers, cet intervalle est-il plus ou moins large que le précédent? pour 1000 lancers : 0,5-1 ⎷1000?0,468

0,5 +1

⎷1000?0,532 d"où l"intervalle : ???[0,468;0,532]il y aura donc, pour 1000 lancers, entre 46,8% et 53,2% de piles avec une probabilité de 95% l"intervalle est moins large que le précédent :0,532-0,468 = 0,064contre0,2 (c) pour10000lancers 0,5-1 ⎷10000?0,49

0,5 +1

⎷10000?0,51 d"où l"intervalle : ???[0,49;0,51]de largeur0,51-0,49 = 0,02il y aura donc, pour 1000 lancers, entre 49% et 51% de piles avec une probabilité de 95% (d) combien de lancers faut-il faire pour avoir un intervalle de fluctuations à 95% large de moins de 1%?

Il suffit de trouvernpour que :(0,5 +1

⎷n)-(0,5-1⎷n)<0,01

0,5 +1

⎷n-0,5 +1⎷n<0,01 1 ⎷n+1⎷n<0,01 2 ⎷n<0,01

2<0,01×⎷

n 2

0,01<⎷n

200<⎷

n 200
2< n

40000< n

il faut donc au moins 40000 lancers pour que l"intervalle aitune largeur de seulement 0,01

2. si on lancenfois, un dé à 6 faces équilibré et que l"on s"intéresse au nombre de fois que l"on

obtient le score "6" (a) vers quelle fréquence va converger le pourcentage de "6"obtenu au fur et à mesure qu"augmente le nombrende lancers? vers1 6?17% (b) si on fait200lancers du dé, le pourcentage de "6" sera compris entre quelles valeurs avec

95% de chances?

1

6-1⎷200?0,096

1

6+1⎷200?0,237

d"où l"intervalle : ???[0,096;0,237] il y aura donc, pour 200 lancers, entre 9,6% et 23,7% de 6 avec une probabilité de 95% (c) calculer l"intervalle de fluctuations à 95% pour 500 lancers et interpréter le résultat 1

6-1⎷500?0,122

1

6+1⎷500?0,211

d"où l"intervalle : ???[0,122;0,211] il y aura donc, pour 500 lancers, entre 12,2% et 21,1% de 6 avecune probabilité de 95%

3. si on choisit au hasardnpersonnes(avec remise)dans un groupe où la probabilité de trouver

un droitier est de80% (a) vers quelle fréquence va converger le pourcentage de "droitiers" obtenu au fur et à mesure qu"augmente le nombrende tirages? vers80% (b) calculer l"intervalle de fluctuations à 95% pourn= 1000et interpréter le résultat 0,8-1 ⎷1000?0,768

0,8 +1

⎷1000?0,832 d"où l"intervalle : ???[0,768;0,832] il y aura donc, pour 500 lancers, entre 76,8% et 83,2% de droitiers avec une probabilité de 95% (c) On choisit au hasard 1000 personnes(avec remise)dans un groupe et on obtient 75% de "droitiers", peut-on raisonnablement considérer que le groupe contient80%de droitiers? non, car0,75/?[0,768;0,832]et cela se produit dans seulement 5% des cas on rejette donc cette hypothèse au risque de 5% de se tromper

1.1.6 activité 5 : intervalle de confiance à 95%

Théorie :

•on considère une expérience aléatoire( lancer d"une pièce, d"un dé, ... )

pour laquelle on s"intéresse à un événement particulier( faire pile, faire un score de 6,...)

cet événement appelé "succès" est de probabilitép(1

2,16, ... )

•on répète cette même expérience aléatoiren≥2fois •on considère que ces expérience aléatoires sont indépendantes

-→sous ces trois conditions, on a vu à l"activité précédente que le pourcentage de fois que

l"on aura eu un "succès" à la fin desnexpériences ne peut pas être connu avec certitude à l"avance, mais on sait avec une probabilité de95%que le pourcentagefde succès sera compris entrep-1 ⎷netp+1⎷n. soit :p-1 donc :p-1 donc :-1 donc :-1 donc : 1 ⎷n≥ -f+p≥ -1⎷n donc : 1 ⎷n+f≥ -f+p+f≥ -1⎷n+f donc :f+1 ⎷n≥p≥f-1⎷n donc :f-1 ce qui signifie quepest comprise entref-1 ⎷netf+1⎷navec une probabilité de95%

il est donc podssible d"estimer à quelle intervalle appartient la probabilité de "succès" à

partir de la fréquence de "succès" obtenue au risque de 95%. ceci est à la base de la théorie des sondages

Applications :

1. on lance une pièce 200 fois et on obtient 120 piles

(a) calculer le pourcentage de piles obtenu (b) en déduire à quel intervalle apartient la probabilité defaire pile au risque de 5% (c) cette pièce peut-elle être considérée "équilibrée"? justifier

2. on lance un dé 500 fois et on obtient 80 fois le score 6

(a) calculer le pourcentage de 6 obtenu (b) en déduire à quel intervalle apartient la probabilité defaire 6 au risque de 5% (c) ce dé peut-il être considérée "équilibré"? justifier

3. lors d"un sondage sur un échantillon de taille1000, un candidat obtient490avis positifs

peut-il obtenir au moins 50% des votes aux vraies élections?justifier.

1.2 à retenir

définition 1 :(expérience aléatoire et univers)

(1) Une expérience est aléatoire si :?on connaît tous les résultats qui peuvent arriveron ne connaît pas le résultat qui va arriver

(2) L"ensembleUdes "résultats" possibles est appelé "l"univers" de l"expérience aléatoire

Exemples :

a. lancer d"une pièce :U={P;F} b. lancer d"une dé à six faces :U={1;2;3;4;5;6} c. choix d"une carte dans un jeu usuel de 32 cartes :U={as de coeur;...;7de pique} d. jouer au loto(7 nombres différents de 1 à 49):

Remarques :

a. chaque résultat est aussi appelé"issue","événement élémentaire"ou"éventualité"

b. l"univers est aussi notéΩ(grand oméga) c. à notre niveau, l"universUaura toujours un nombrenentier et fini d"éléments on pourra alors noterU={x1;x2;...;xn} propriété 1 :(loi des grands nombres) Etant donnée une expérience aléatoire d"universU

Soit un événement quelconqueA(A?U)

On répètenfois cette expérience aléatoire Soitfnla proportion de fois où l"événementAest réalisé parmi lesnexpériences c"est à dire :? fn(A) =nombre de fois o`u on obtient Anombre d´exp´eriences plusnest grand et???(1) plusfn(A)se rapproche d"une certaine valeurp(A) (2) plus les "fluctuations" des valeurs defn(A)sont petites

Remarques :

a. Plus on répète une expérience aléatoire un grand nombre defois et plus la fréquence

d"apparition du résultat auquel on s"intéresse se rapproche d"une certaine valeur

Exemples :

a. pièce équilibrée :fn(P)se rapproche de 0,5 = 50% quandkgrandit b. dé à six faces équilibré :fn(1)se rapproche de1

6?16,7%quandngrandit

c. jeu de 32 cartes :fn(Roi)se rapproche de4

32?12,5%quandngrandit

propriété 2:(intervalle de fluctuations à 95%) Etant donnée une expérience aléatoire d"universU Soit un événement quelconqueAde probabilitépconnue (A?U) On répètenfois cette expérience aléatoire Soitfla proportion de fois où l"événementAse réalise parmi lesnexpériences alors? fest dans l"intervalle[p-1⎷n;p+1⎷n]avec une probabilité de95%

Remarques :

i.fn"est pas dans l"intervalle[p-1 ⎷n;p+1⎷n]avec une probabilité de5% ii. l"intervalle ci dessus est appelé ???intervalle de fluctuations à 95%

Exemples :

a. pièce équilibrée :p= 0,5 pourn= 100lancers, la fréquence de piles sera dans l"intervalle[0,5-1 ⎷100; 0,5+1⎷100] soit[0,4 ; 0,6]avec une probabilité de95% b. dé à 4 faces équilibré :p=1

4= 0,25

pourn= 200lancers, la fréquence de "4" sera dans l"intervalle[1

4-1⎷200;14+1⎷200]

soit[0,18 ; 0,32]avec une probabilité de95% propriété 3 :(intervalle de confiance à 95%) Etant donnée une expérience aléatoire d"universU Soit un événement quelconqueAde probabilitépinconnue (A?U) On répètenfois cette expérience aléatoire Soitfla proportion de fois où l"événementAse réalise parmi lesnexpériences alors? pest dans l"intervalle[f-1⎷n;f+1⎷n]avec une probabilité de95%

Remarques :

i.pn"est pas dans l"intervalle[f-1 ⎷n;f+1⎷n]avec une probabilité de5% ii. l"intervalle ci dessus est appelé ???intervalle de confiance à 95%

Exemples :

a. pièce équilibrée ou non? :p(pile) =? pourn= 100lancers, on obtient45piles et55faces la fréquence de piles est doncf= 0,45 p(piles) =psera dans l"intervalle[0,45-1 ⎷100; 0,45 +1⎷100]soit[0,35 ; 0,55]avec une probabilité de95% doncp= 0,5peut-être accepté avec un risque de5%de se tromper b. autre pièce équilibrée ou non? :p(pile) =? pourn= 200lancers, on obtient70piles et130faces la fréquence de piles est doncf=70

200= 0,35

p(piles) =psera dans l"intervalle[0,35-1 ⎷200; 0,35 +1⎷100]soit[0,28 ; 0,42]avec une probabilité de95% doncp= 0,5n"est pas acceptée avec un risque de5%de se tromper

1.3 exercices

exercice 1 : Une entreprise est composée de200hommes et de300femmes Chaque jour, un des500noms d"employés est choisit pour donner un avis sur le menu duquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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