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Michel LAGOUGE - Documents Terminale S
Résumé sur les circuits RC, RL et RLC
Circuit RC :
Pour la charge : interrupteur en position K1 Pour la décharge : interrupteur en position K2(équivalent à l"alimentation par un générateur BF délivrant une tension créneau comprise entre 0 et E)
charge du condensateur décharge du condensateur Loi de maille uR + uC = ER.i +q
C = E uR + uC = 0
R.i +q
C = 0Relations uR = R.i uC = q
C i = dq
dt uR = R.i uC = qC i = dq
dtEquation
Diff dq dt + qR.C = E
R (équation en q)
du C dt + uCR.C = E
R.C (équation en uC) dq
dt + qR.C = 0 (équation en q)
du C dt + uCR.C = 0 (équation en uC)
Forme générale De l"équation : dx dt + x t = KDe la solution : x = A.exp( -t
t ) + B avec t = R.CConditions
Initiales uC (t=0) = 0
(donc uR (t=0) = E) u
C (t=0) = E
(donc uR (t=0) = - E)
équations uC = E x (1 - exp (-t
R.C) )
d"où q = C.E x (1 - exp (-t R.C i = dq dt = ER exp (-t
R.C) uR = R.i = E exp (-t
R.C) uC = E exp (-t
R.C) d"où q = C.E exp (-t R.C i = dq dt = - ER exp (-t
R.C) uR = R.i =- E exp (-t
R.C) Rem : avec l"orientation choisie sur le schéma ci- dessus, i est donc négatif pendant la déchargeÉnergie
emmagasinéeÀ chaque instant : EC = 1
2 q 2 C = 12 C u2 = 1
2 q.uAu début de la charge : E
C = 0A la fin de la charge : E
C = 1 2 C E2 (E : tension de charge) E c est quelque fois appelée : E e ou We (" e » comme électrique)Au début de la décharge : E
C = 1 2 C E2A la fin de la décharge : E
C = 0 (E : tension de charge)Compétences exigibles
Il faut savoir :
1) mettre en place l"équation différentielle
2) trouver la solution de cette équation
a) à partir de le forme générale de la solution b) en tenant compte des conditions initialesToutes les équations doivent être mises en place en respectant les orientations i, q, u des schémas de ce
résumé E R q -q uC C i K2 K1 uR - 2 -Michel LAGOUGE - Documents Terminale S
Circuit RL :
Pour l"établissement du courant : interrupteur en position K1 On supprime E : interrupteur en position K2
(équivalent à l"alimentation par un générateur BF délivrant une tension créneau comprise entre 0 et E)
On admet que toute la résistance est comprise dans R : cette résistance inclut donc la résistance de la bobine et celle du
générateur Établissement du courant Disparition du courant Loi de maille uR + uL = ER.i + L di
dt = E uR + uL = 0
R.i + L di
dt = 0Relations uR = R.i uL = L di
dt uR = R.i uL = L di dtEquation
Diff di dt + R.i L = E L (équation en i) du R dt + R.uRL = R.E
L (équation en uR)
di dt + R.iL = 0 (équation en i)
du R dt + R.uRL = 0 (équation en uR)
Forme générale De l"équation : dx dt + x t = KDe la solution : x = A.exp( -t
t ) + B avec t = L RConditions
Initiales uR (t=0) = 0
(donc uL (t=0) = E) u
R (t=0) = E
(donc uL (t=0) = -E)
équations uR = E x (1 - exp (-R.t
L) ) d"où i = E R x (1 - exp (-R.t L) ) uL = L di
dt = E x exp (-R.t L) R représente la résistance totale du circuit. si on décompose R en R r et RL l"expression de i n"est pas modifiée mais uRr = Rr.ER x (1 - exp (-R.t
L) ) uL = RL.i + L di
dt = ER x [RL + Rr x exp (-R.t
L)] uR = E x exp (-R.t
L) d"où i = E R x exp (-R.t L) uL = L di
dt = -E x exp (-R.t L) R représente la résistance totale du circuit. si on décompose R en R r et RL l"expression de i n"est pas modifiée mais uRr = Rr.ER x exp (-R.t
L) uL = RL.i + L di
dt = - ER Rr x exp (-R.t
L)]Énergie
emmagasinéeÀ chaque instant : EL = 1
2 L i2Au début de l"établissement du courant : E
L = 0A la fin : E
L = 1 2L I2 =1
2 L (E
R)2 (E : tension lors de l"établissement du courant) EL est quelque fois appelée :
E m ou Wm (" m » comme magnétique) E R uL i K2 K1 uR L - 3 -Michel LAGOUGE - Documents Terminale S
Circuit RLC :
Définitions : oscillations libres amorties (R ¹ 0) entretenues (R = 0)(il faut un système d"entretien pour compenser la résistance du circuit cf le montage " à résistance négative)
interrupteur en position K : on charge le condensateur interrupteur en position K2 : on provoque la décharge oscillante dans le circuit RL
Attention : l"orientation du schéma ci-dessous ne correspond pas - volontairement ! - à celle vue en cours .
Bien comprendre les différences pour l"établissement de la loi de mailleDécharge oscillante
Loi de maille uL + uR + uC = 0 L di dt + R.i + q C = 0Relations uL = L di
dt uR = R.i uC = q C et i = dq dt (avec les orientations choisies)Equation
Diff d 2q dt 2 + R L dq dt + qL.C = 0 (équation en q)
d 2uC dt2 + R L duC dt + uCL.C = 0 (équation en uC)
Seule est à connaître la solution de l"équation différentielle pour R = 0 soit : d 2q dt2 + q
L.C = 0 (équation en q)
d 2uC dt2 + uCL.C = 0 (équation en uC)
Forme généraleDe l"équation : d
2x dt2 + w02.x = 0
De la solution : x = A.cos (w0.t + f)
avec w02 = 1L.C T0 = 2 p L.C
Conditions
Initiales uC (t=0) = - E ou q (t=0) = - C.E
équations uC = - E..cos (w0.t)
ou q = - CE cos (w 0.t) d"où i = w0 CE sin (w0.t)
Énergie
emmagasinéeÀ chaque instant : EL = 1
2L i2 = 1
2L w02 [CE.sin (w0.t)]2
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