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Physique C Chapitre PH 5

Chapitre PH 5 : Condensateurs et dipôles RC

Avant toute chose lire avec eux orientation du circuit p.67

I.Présentation

I.a. Présentation générale

Montrer plusieurs condensateurs

Un condensateur est un dipôle ( 2 pôles ) constitué de deux surfaces conductrices appelées armatures séparées

par un isolant.

Lorsqu'un condensateur est dans un circuit et que l'on impose une tension, malgré l'isolant situé entre les

plaques, un courant va se mettre en place, des électrons circulant d'une borne à l'autre. Il apparaît alors une

borne + et une borne - supportants les charges -q et +q.

Attention, un condensateur est souvent polarisé et il est important de relier son pôle + à la borne + du

générateur.

I.b. Lien entre i et q.

En considérant le schéma suivant avec i (sortant de la borne + du générateur et se dirigeant vers le pôle + du

condensateur),

On définit i, l'intensité du courant comme étant égale à la variation de la charge q pour un temps donné dt.

Ainsi :

I(t) = dt

)t(dq

II.Capacité d'un condensateur

II.a. Charge à courant constant

Dans le montage de la figure 12, le générateur délivre un courant constant I0.

Lorsque l'interrupteur S est fermé, le condensateur se charge ( q augmente ) et Uc augmente aussi.

Après prises de valeurs et report sur un graphe, on obtient la courbe de la figure 13. On remarque que la courbe représentant q en fonction de u est une droite Donc la charge du condensateur est proportionnelle à la tension u à ses bornes.

II.b. Capacité d'un condensateur

De l'expérience précédente découle la relation pour le condensateur : q = C.U • q : charge en coulombs (C), • C : capacité du condensateur en farad (F ), • U : tension aux bornes du condensateur en volts ( V ).

Habituellement, les capacités des condensateurs utilisés sont de l'ordre du microfarad voire nanofarad.

II.c. Relation entre i et Uc pour le condensateur

i =dt dq (relation 1) et q = C.U (relation 2), On substitue q grâce à la relation 2 dans la relation 1

Alors i = C. dt

dU car C est une constante. Si i est constante et égale à I0, alors I0 = Cdt dU et donc dt dU= C I0

En intégrant on obtient : U (t) = C

I0t + U (0).

Si à t = 0s U(0) = 0V alors U (t) = C

I0t Ceci justifie la droite passant par l'origine obtenue en a) et q = I0 t. III.Charge d'un condensateur sous tension constante.

III.a. TP sur la charge d'un condensateur

On observe que la courbe est de la forme :

On remarque que la croissance dépend de R et C

La constante de temps

ε est égale :

τ = RC

ε : constante de temps en s.

R : en

C : en F

(1) R = I

Ud'où [R] =

]I[]U[= A V (2) q = C.U d'où [C] = ]U[]q[= V C (3) i = dt dq d'où [q] = A.s (2) et (3) donnent [C] = A.s.V -1 UC t

Donc [R][C] =

A

VA.s.V-1.= s

III.b. Equation différentielle du circuit

(1)

E = UR + UC

De plus

UC = C

qet i = dt dq = C. dt dUC

UR = R.i = RC. dt

dUC

En remplaçant dans (1) , on trouve :

E = RC dt

dUC+ UC soit dt dUC+ RC

UC= RC

E

Or ε = RC donc dt

dUC+ τ

CU= τE (2)

Si on multiplie (2) par C on obtient :

dt )CU(dC+ τ CCU=

τCE or CUC =q d'où dt

)q(d+ τq= τCE III.c. Solution de l'équation différentielle

Recherche de A et B

L'équation différentielle est du type

UC(t) = Ae-mt + B avec A et B des constantes et m constantes positives. Pour trouver les constantes on utilisera les conditions initiales et finales. U C(t = 0s) = 0 V Le condensateur n'est pas chargé au départ lim∞→tUC =E En effet quand le condensateur est chargé le courant i est nul donc U

R = R×i = 0 V et donc UC =E

UC(t = 0s) = A + B = 0 donc A = -B

lim ∞→tUC =E = B donc E = B

D'où A = -B = -E et U

C(t) = -Ee-mt + E = E( 1- e-mt)

E UC UR

UC(t) = E( 1- e-mt)

Recherche de m.

On dérive UC(t) :

U

C(t) = E( 1- e-mt) d'où dt

dUC= E.m.e-mt

On remlace dans l'équation :

dt dUC+ τ CU= τE E.m.e -mt + τE( 1- e -mt) = τE

Soit E.m.e

-mt - τE e -mt = 0

Donc m -

τ1= 0 d'où m = τ1

L'équation devient : U

C(t) = E( 1- τ-te )

III.d. Détermination expérimentale de τ

Méthode 1 :

On calcule l'équation de la tangente en 0.

dt dUC= τE.e

τ-t en t = 0s on a

0CdtdU)

= τE

Donc l'équation de la tangente

T0 (t) = τEt

On cherche l'intersection entre l'asymptote et la tangente T0. Il faut donc résoudre l'équation T0 (t) = E

Soit

τEt = E , la solution est t = εɎ

Donc la tangente coupe l'asymptote de valeur E pour t = εɎ

Méthode 2

UC(t) = E( 1- τ-te )

Pour t = ε

U

C = E( 1- 1e- ) = 0,63 E

UC t E UC t E 0,63E d'où E UC= 0,63 ; pour t = ε le condensateur est chargé à 63%

Méthode 3

UC(t) = E( 1- τ-te )

Pour t = t1/2 le condensateur est a moitié chargé donc UC( t1/2) = 2 E

D'où U

C(t1/2) = E( 1- τ-

2/1t e ) = 2 E

Soit 1-

2/1t e = 2

1 c'est-à-dire que

2

1- τ-

2/1t e = 0

D'où 2

1= τ-

2/1t e donc ln 2 = τ 2/1t

IV.Energie emmagasinée par un condensateur

Lorsqu'un condensateur rdt chargé et possède une tension UC et une charge q, l'énergie E emmagasinée par

celui-ci est égale à : E = 2 1q.UC

Avec q = C.UC

On obtient

E = 2quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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