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Chapitre 20
Dynamique d"un système électrique20.1 Rappels essentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
20.2 Condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11720.2.1 Intensité du courant en régime variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11720.2.2 Condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11720.2.3 Relation tension-intensité d"un condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11720.3 Circuit RC série : charge d"un condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . .
11720.3.1 Schéma du circuit électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11720.3.2 Équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11820.3.3 Résolution de l"équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11820.4 Circuit RC série : décharge d"un condensateur . . . . . . . . . . . . . . . .
11920.4.1 Équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12020.4.2 Résolution de l"équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12020.5 Applications du condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121116Chapitre 20.Dynamique d"un système électriqueL
"étude du fonctionnement dynamique d"un circuit électrique fait l"objet de ce chapitre. Il nécessite
de maîtriser les outils développés en classes de seconde et de première, notamment laloi des
mailles, laloi des noeudset laloi d"Ohm. Nous verrons comment caractériser le comportementde circuits électriques comportant un générateur et deux dipôles particuliers : larésistanceet le
condensateur. Cette étude se fera dans le cas d"unrégime variable.Vidéo Cours détaillé
Vidéo Cours résumé
20.1 Rappels essentielsLoi des mailles
La somme algébrique des tensions élec-
triques au sein d"une maille d"un circuitélectrique est nulle.
E-U1-U2= 0
E=U1+U2
Remarque :
Attention à tenir compte du sens des ten-
sions électriques en fonction de la convention générateur ou récepteur.Loi des nudsLa somme des intensités entrantes au
niveau d"un noeud est égale à la somme des intensités sortantes.I=I1+I2
Remarque :
Attention à tenir compte du sens du courant
dans chaque branche arrivant au niveau du noeud.Loi d"Ohm La tension aux bornes d"une résistance élec- trique est proportionnelle au courant qui la traverse : U AB=RIUla tension (en V)
Il"intensité (en A)
Rla résistance (en OhmsΩ)Poisson Florian Spécialité Physique-Chimie Terminale20.2.Condensateur11720.2 Condensateur
20.2.1 Intensité du courant en régime variableIntensité du courant en régime variable
Lorsque la tension et l"intensité du courant varient au cours du temps, on dit que le systèmeélectrique évolue enrégime variable. L"intensitéi(t)(en A) du courant électrique se définit
comme ladérivée par rapport au temps de la charge électriqueq(t)(en C) : i(t) =dq(t)dt20.2.2 Condensateur
Un condensateur est constitué de deux armatures conductrices dispo- sées l"une en face de l"autre, et séparées par un isolant. La géométrie des armatures peut varier (planes, cylindriques, sphériques). Lorsqu"une ten- sion électrique est appliquée aux bornes du condensateur, les armatures accumulent respectivement des charges positives et négatives de part et d"autre, laissant le condensateur globalement électriquement neutre. On appelle capacitéC(exprimée en Farad F) du condensateur son pouvoir d"accumulation des charges sur ses armatures.Capacité d"un condensateur LacapacitéCd"un condensateur permet de relier la chargeqpositive accumulée sur l"une des armature, à la tensionucaux bornes du condensateur : q(t) =Cuc(t) q(t)la charge (en C)Cla capacité (en F)
uc(t)la tension aux bornes du condensateur (en V)20.2.3 Relation tension-intensité d"un condensateur
Relation tension-intensité
En combinant la relation charge-tension et la relation charge-intensité, on obtient la relation entre la tensionuc(t)(V) et l"intensitéi(t)(en A) : i(t) =Cduc(t)dt20.3 Circuit RC série : charge d"un condensateur
20.3.1 Schéma du circuit électrique
On s"intéresse à un circuit électrique en régime variable, comprenant un générateur de tension continue
E(en V), un dipôle ohmique de résistanceR(enΩ) et un condensateur de capacitéC(en F). LeSpécialité Physique-Chimie Terminale Poisson Florian
118Chapitre 20.Dynamique d"un système électriqueschéma de la figure20.1 représen tece mon tage.
Initialement, l"interrupteurKest ouvert, les tensions et intensités sont donc nulles dans tout le circuit.
A l"instantt= 0s, on ferme l"interrupteur.Figure 20.1- Schéma du circuit électrique dans le cas de la charge d"un condensateur.
20.3.2 Équation différentielle
On cherche à établir l"équation différentielle régissant l"évolution de la tensionuc(t)aux bornes du
condensateur. Pour cela, on va utiliser une loi des mailles ainsi que les relations tension-intensité pour
la résistance et le condensateur.Équation différentielle 1. On applique la loi des mailles en resp ectantles con ventionsgénérateur et récepteur : uR+uc=E
2. On remplace uR=Rid"après la loi d"Ohm eti=Cducdt RC ducdt +uc=E 3. On divise par τ=RCpour retrouver une forme canonique d"équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants : du cdt +1RC uc=ERCτ=RCest appelé le temps caractéristique de charge du condensateur.20.3.3 Résolution de l"équation différentielle
Pour cette partie, on illustrera le problème avec les valeurs suivantes :E= 12 V,R= 2,5 kΩetC= 150μF.
D"après le chapitre
0 , la solution d"une telle équation différentielle se construit par la somme d"unesolution générale à l"équation homogène associée, que l"on noterauc1(t), et d"une solution particulière
notéeuc2(t).Poisson Florian Spécialité Physique-Chimie Terminale20.4.Circuit RC série : décharge d"un condensateur119Solution de l"équation différentielle
1.Solution générale :
u c1(t) =Ae-tτ AvecA?Rune constante d"intégration etτ=RCle temps caractéristique. 2.Solution particulière :
u c2(t) =E 3.Solution complète :
u c(t) =Ae-tτ +E 4. Détermination de la constan teA: A l"état initial, la tension est nulle (circuit ouvert) doncuc(t= 0) = 0 VA×e-0τ
+E= 0??A+E= 0 Donc la constante vautA=-Ed"où la solution finale en factorisant parE: u c(t) =E?1-e-tτ
?Le temps caractéristique de charge du condensateur vaut :τ=RC= 0,25.106×150.10-6= 0,38 s.Figure 20.2- Tension aux bornes du condensateur en fonction du temps au cours de la charge
20.4 Circuit RC série : décharge d"un condensateur
On s"intéresse à un circuit électrique en régime variable, comprenant cette fois uniquement un dipôle
ohmique de résistanceR(enΩ) et un condensateur de capacitéC(en F)préalablement chargé.
Cela revient à éteindre le générateur de la figure 20.1à la fin de la c harge.
La tension aux bornes du condensateur est une fonction continue du tempsdonc sa valeurinitiale pour la décharge est sa valeur finale pour la charge, à savoiruc(t= 0) =E= 12 V.Spécialité Physique-Chimie Terminale Poisson Florian
120Chapitre 20.Dynamique d"un système électriqueFigure 20.3- Schéma du circuit électrique dans le cas de la décharge d"un condensateur.
20.4.1 Équation différentielleÉquation différentielle
1. On applique la loi des mailles en resp ectantles con ventionsgénérateur et récepteur : uR+uc= 0
2. On remplace uR=Rid"après la loi d"Ohm eti=Cducdt RC ducdt +uc= 0 3. On divise par τ=RCpour retrouver une forme canonique d"équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants, mais cette fois ci sans second membre : du cdt +1RC uc= 0τ=RCest appelé le temps caractéristique de décharge du condensateur.20.4.2 Résolution de l"équation différentielle
On reprend les valeurs suivantes :E= 12 V,R= 2,5 kΩetC= 150μF.Le second membre étantnul, il n"y a pas de solution particulière à trouver.Solution de l"équation différentielle
1.Solution générale :
u c(t) =Ae-tτ AvecA?Rune constante d"intégration etτ=RCle temps caractéristique. 2. Détermination de la constan teA: A l"état initial, la tension estuc(t= 0) =EA×e-0τ
=E??A=E Donc la constante vautA=Ed"où la solution finale : u c(t) =Ee-tτ Poisson Florian Spécialité Physique-Chimie Terminale20.5.Applications du condensateur121Figure 20.4- Tension aux bornes du condensateur en fonction du temps au cours de la décharge
20.5 Applications du condensateur
Le pouvoir d"accumulation de charge d"un condensateur offre plusieurs intérêts dans un circuit élec-
trique. Il peut notamment servir à stabiliser une alimentation électrique, ou bien encore stocker de
l"énergie.Mais il existe également des technologies qui utilisent autrement le pouvoir capacitif du condensateur.
En effet, la capacité du condensateur dépend de plusieurs paramètres comme la nature de l"isolant
situé entre ses armatures, mais aussi de la géométrie de ces armatures et notamment de la distance
qui les séparent.Les écrans tactiles reposent sur cet effet capacitif : chaque " pixel » de l"écran est relié à un conden-
sateur. Lorsque l"utilisateur appuie avec son doigt en un point donné, il modifie la distance entre
les armatures du condensateur, modifiant ainsi la valeur de sa capacité et donc la valeur du signal
électrique fourni par ces condensateurs, ce qui permet de détecter la position du doigt sur l"écran.Spécialité Physique-Chimie Terminale Poisson Florian
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