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Comment calculer la probabilité d'un dé truqué ?
Le coefficient de proportionnalité permettant d'obtenir la probabilité de sortie d'une face à partir du nombre inscrit sur la face est donc de \\cfrac{1}{7}. Le coefficient de proportionnalité permettant d'obtenir la probabilité de sortie d'une face à partir du nombre inscrit sur la face est donc de \\cfrac{1}{20}.Quelle est la probabilité lors d'un lancer dé dé à 6 faces que l'on obtienne un nombre multiple dé 3 ?
Le résultat sera divisible par trois si l'un des dés l'est. Calculons la probabilité P* que le tirage NE soit PAS divisible par trois. La probabilité que le résultat soit divisible est donc 1-P* soit 19/27 soit 70.37 % environ.Quelle est la probabilité d'avoir au moins un 6 ?
La probabilité d'obtenir au moins un six est donc 1?(56)n 1 ? ( 5 6 ) n . Soit A A l'événement "obtenir au maximum une fois le chiffre 6". Alors A A est la somme des événements disjoints A0 A 0 ="ne jamais obtenir six" et A1 A 1 ="obtenir exactement 1 1 fois le chiffre 6".- Pour un simple lancer d'un seul dé à 6 faces, qu'on considère équilibré, la probabilité d'obtenir n'importe quelle valeur 1 à 6 est exactement de 1/6. Le tirage suit donc une loi uniforme discrète.
Exercice 1 : ChingAtome
Voici le tableau représentant la loi de probabilité d'un dé truqué à six faces : ix1 2 3 4 5 6 Total
ip0,15 0,1 0,08 0,17 0,22 0,28 1
Déterminer la probabilité de chacun des évènements ci-dessous :1. A : " Le nombre obtenu est supérieur ou égal à 4 ».
2. B : " Le nombre obtenu est pair ».
Exercice 2 : ChingAtome
On considère un dé truqué à 6 faces. L'expérience aléatoire consiste à lancer le dé et à considérer la valeur de
la face supérieure du dé. Pour k un entier compris entre 1 et 6, on considère l'évènement kF défini par " la valeur obtenue est k ».Pour seule information sur le dé, on a :
- Le tableau incomplet de la loi de probabilité de cette expérience aléatoire : X 1F 2F 3F 4F 5F 6F pX0,11 0,07 0,2 0,15
- La probabilité d'obtenir un nombre pair vaut 0,4.Recopier et compléter le tableau de la loi de probabilité de cette expérience aléatoire en détaillant bien les
étapes de votre raisonnement.
Exercice 3 : ChingAtome
Une urne contient 12 boules blanches, 5 boules noires et 8 boules bleues indiscernables au toucher. On
considère notre univers d'expérience composé des trois événements élémentaires suivants :
A: " La boule tirée est blanche »
B : " La boule tirée est noire »
C : " La boule tirée est bleue »
Compléter le tableau ci-dessous, au centième près, représentant la loi de probabilité de notre expérience :
X A B C pXExercice 4 : ChingAtome
Une urne contient 20% de boules rouges, 50% de boules vertes et le reste est composé de boules bleues. Les
boules sont indiscernables au toucher. L'expérience aléatoire considérée consiste à tirer une boule au hasard dans l'urne. Déterminer la loi de probabilité de cette expérience.Exercice 5 : ChingAtome
Une urne contient quatre boules numérotées de 1 à 4. On suppose que les boules sont indiscernables au toucher,
rendant chaque tirage équiprobable.L'expérience aléatoire consiste à tirer une première boule, puis sans la remettre en tirer une seconde de l'urne.
A chaque expérience, on note la somme des deux numéros marqués sur les boules.1. Construire l'arbre de choix modélisant cette expérience.
2. Quels sont les valeurs possibles de sortie de cette expérience.
3. A l'aide d'un tableau, préciser la loi de probabilité P de cette expérience aléatoire.
Exercice 6 : ChingAtome
Dans une expérience aléatoire, le joueur jette un dé tétraédrique dont les faces sont numérotées de 1 à 4 :
- si la face du dé est paire, le joueur tire une boule dans l'urne A; - si la face du dé est impaire, le joueur tire une boule dans l'urne B.Voici le contenu de ces deux urnes :
L'urne A contient une boule blanche et une boule noire.L'urne B contient deux boules noires.
1. Construire un arbre de choix représentant les différentes sorties de cette expérience aléatoire.
2. En considérant que les sorties de cette expérience sont équiprobables et qu'on ne considère que la
couleur de la boule tirée, décrire la loi de probabilité attribuée à cette expérience aléatoire.
Exercice 7 : ChingAtome
Dans une expérience aléatoire, le joueur jette un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6 :
- si la face du dé est un multiple de 3, le joueur tire une boule dans l'urne A; - si la face du dé est pas un multiple de 3, le joueur tire une boule dans l'urne B.Voici le contenu de ces deux urnes :
L'urne A contient deux boules blanches et trois boules noires. L'urne B contient quatre boules blanches et une boule noire.1. Construire un arbre de choix représentant les différentes sorties de cette expérience aléatoire.
2. En considérant que les sorties de cette expérience sont équiprobables et qu'on ne considère que la
couleur de la boule tirée, décrire la loi de probabilité attribuée à cette expérience aléatoire.
Exercice 8 : ChingAtome
Une expérience aléatoire consiste à lancer deux dés, rouge et bleu, à six faces simultanément et à considérer
la somme obtenue par ces deux dés. On suppose les dés parfaitement équilibrés.1. Décrire l'univers des issues possibles.
2. a. Compléter le tableau ci-dessous :
Rouge bleu 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 b. Déterminer la loi de probabilité associée à cette expérience aléatoire.CORRIGE Notre Dame de La Merci Montpellier
Exercice 1 : ChingAtome
Voici le tableau représentant la loi de probabilité d'un dé truqué à six faces : ix1 2 3 4 5 6
ip0,15 0,1 0,08 0,17 0,22 0,28
Déterminer la probabilité de chacun des évènements ci-dessous :1. A : " Le nombre obtenu est supérieur ou égal à 4 ».
`A 4;5;6 ^```A 4 5 6 0,17 0,22 0,28 0,67p p p p2. B : " Le nombre obtenu est pair ».
`B 2;4;6 ^```B 2 4 6 0,1 0,17 0,28 0,55p p p pExercice 2 : ChingAtome
On considère un dé truqué à 6 faces. L'expérience aléatoire consiste à lancer le dé et à considérer la valeur
de la face supérieure du dé. Pour k un entier compris entre 1 et 6, on considère l'évènement kF défini par " la valeur obtenue est k ».Pour seule information sur le dé, on a :
- Le tableau incomplet de la loi de probabilité de cette expérience aléatoire : X 1F 2F 3F 4F 5F 6F pX0,11 0,07 0,2 0,15
- La probabilité d'obtenir un nombre pair vaut 0,4.Recopier et compléter le tableau de la loi de probabilité de cette expérience aléatoire en détaillant bien les
étapes de votre raisonnement.
La probabilité d'obtenir un nombre pair vaut 0,4 donc :2 4 60,4p F p F p F
60,07 0,2 0,4pF
60,4 0,07 0,2 0,13pF
La somme des probabilités doit être égale à 1 :51 2 3 4 61p F p F p F p F p F p F
60,11 0,07 0,13 0,2 0,15 1pF
60,66 1pF
61 0,66 0,34pF
Exercice 3 : ChingAtome
Une urne contient 12 boules blanches, 5 boules noires et 8 boules bleues indiscernables au toucher. On
considère notre univers d'expérience composé des trois événements élémentaires suivants :
A: " La boule tirée est blanche »
B : " La boule tirée est noire »
C : " La boule tirée est bleue »
Compléter le tableau ci-dessous, au centième près, représentant la loi de probabilité de notre expérience :
X A B C pXOn doit déterminer chaque probabilité, les boules étant indiscernables au toucher, le tirage est équiprobable :
nb de boules blanches 12Anb total de boules 25p nb de boules noires 5Bnb total de boules 25p nb de boules bleues 8Cnb total de boules 25pOn obtient la loi de probabilité :
XA B C Total
pX 12 255 25
8 25
25
25
Exercice 4 : ChingAtome
Une urne contient 20% de boules rouges, 50% de boules vertes et le reste est composé de boules bleues. Les
boules sont indiscernables au toucher. L'expérience aléatoire considérée consiste à tirer une boule au hasard dans l'urne. Déterminer la loi de probabilité de cette expérience. Les boules étant indiscernables au toucher, le tirage est équiprobable :20rouge pourcentage de boules rouges100p
50verte pourcentage de boules vertes100p
rouge verte bleue 1p p p100 20 50 30bleue 1 rouge verte100 100 100 100p p p
On obtient la loi de probabilité :
issue Rouge Verte Bleue Total probabilité 20 10050
100
30
100
100
100
Exercice 5 : ChingAtome
Une urne contient quatre boules numérotées de 1 à 4. On suppose que les boules sont indiscernables au
toucher, rendant chaque tirage équiprobable.L'expérience aléatoire consiste à tirer une première boule, puis sans la remettre en tirer une seconde de l'urne.
A chaque expérience, on note la somme des deux numéros marqués sur les boules.1. Construire l'arbre de choix modélisant cette expérience.
Les boules sont indiscernables au toucher, rendant chaque tirage équiprobable : AE :Au premier tirage :
1 4 et au deuxième tirage : 1 32. Quels sont les valeurs possibles de sortie de cette expérience.
`3;4;5;6;73. A l'aide d'un tableau, préciser la loi de probabilité P de cette expérience aléatoire.
`1 1 1 1 23 1 2 2 14 3 4 3 12p p p `1 1 1 1 24 1 3 3 14 3 4 3 12p p p `45 1 4 2 3 3 2 4 112p p p p p `26 2 4 4 212p p p `27 3 4 4 312p p p On peut aussi considérer que tous les chemins sont équiprobables et dire : `nb de chemins menant au score égal à 3 23nb total de chemins 12p On obtient la loi de probabilité de cette expérience : issue 3 4 5 6 7 Total probabilité 2 12 2 12 4 12 2 12 2 12 12 12Exercice 6 : ChingAtome
Dans une expérience aléatoire, le joueur jette un dé tétraédrique dont les faces sont numérotées de 1 à 4 :
- si la face du dé est paire, le joueur tire une boule dans l'urne A ; - si la face du dé est impaire, le joueur tire une boule dans l'urne B.Voici le contenu de ces deux urnes :
L'urne A contient une boule blanche et une boule noire.L'urne B contient deux boules noires.
1. Construire un arbre de choix représentant les différentes sorties de cette expérience aléatoire.
2. En considérant que les sorties de cette expérience sont équiprobables et qu'on ne considère que la
couleur de la boule tirée, décrire la loi de probabilité attribuée à cette expérience aléatoire.
1 1 12 2 4p blanc
1 1 1 1 1 312 2 2 4 2 4p noir
On obtient la loi de probabilité de cette expérience : issue blanc noir Total probabilité 1 4 3 4 4 4Exercice 7 : ChingAtome
Dans une expérience aléatoire, le joueur jette un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6 :
- si la face du dé est un multiple de 3, le joueur tire une boule dans l'urne A ; - B.Voici le contenu de ces deux urnes :
L'urne A contient deux boules blanches et trois boules noires. L'urne B contient quatre boules blanches et une boule noire.1. Construire un arbre de choix représentant les différentes sorties de cette expérience aléatoire.
2. En considérant que les sorties de cette expérience sont équiprobables et qu'on ne considère que la
couleur de la boule tirée, décrire la loi de probabilité attribuée à cette expérience aléatoire.
1 2 2 4 10 2
3 5 3 5 15 3p blanc
1 3 2 1 5 1
3 5 3 5 15 3p noir
On obtient la loi de probabilité de cette expérience : issue blanc noir Total probabilité 2 3 1 3 3 3Exercice 8 : ChingAtome
Une expérience aléatoire consiste à lancer deux dés, rouge et bleu, à six faces simultanément et à
considérer la somme obtenue par ces deux dés. On suppose les dés parfaitement équilibrés.
1. Décrire l'univers des issues possibles.
`2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;122. a. Compléter le tableau ci-dessous :
Rouge bleu 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
b. Déterminer la loi de probabilité associée à cette expérience aléatoire. Le tableau comporte 36 combinaisons possibles toutes équiprobables.Ainsi :
nb de chemins de somme égale à 2 12nb total de chemins 36p somme nb de chemins de somme égale à 3 33nb total de chemins 36p somme nb de chemins de somme égale à 12 112nb total de chemins 36p somme On obtient la loi de probabilité de cette expérience : issue 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total probabilité 1 362 36
3 36
4 36
5 36
6 36
5 36
4 36
3 36
2 36
1 36
36
36
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