[PDF] Actuariat de lAssurance Non-Vie # 7 A. Charpentier (Université de

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Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Actuariat de l"Assurance Non-Vie # 7

A. Charpentier(Université de Rennes 1)

ENSAE 2017/2018

credit: Arnold Odermatt Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Modèlisation des coûts individuels

Références: Frees (2010), chapitre 13, de Jong & Heller (2008), chapitre 8, et

Denuit & Charpentier (2005), chapitre 11.1> sinistre=read.table("http://freakonometrics.free.fr/sinistreACT2040.txt",header=TRUE,sep=";")

2> contrat=read.table("http://freakonometrics.free.fr/contractACT2040.txt",header=TRUE,sep=";")

3> contrat=contrat[,1:10]4>n ames(contrat)[10]="region"5> sinistre_DO=sinistre[(sinistre$garantie=="2DO")&(sinistre$cout> 0),]6> sinistre_RC=sinistre[(sinistre$garantie=="1RC")&(sinistre$cout> 0),]7> base_DO=merge(sinistre_DO,contrat)8>d im(base_DO)9[1] 1735 1310> base_RC=merge(sinistre_RC,contrat)11>d im(base_RC)12[1] 1924 13@freakonometricsfreakonometricsfreakonometrics.hypotheses.org2

Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Modèlisation des coûts individuels

Préambule: avec lemo dèlelinéaire , nous avionsn? i=1Y i=n? i=1? Yi1> reg=lm(dist~speed, data=cars)2>s um(cars$dist)3[1] 21494>s um(predict(reg))5[1] 2149

C"est lié au fait que

n? i=1?εi= 0, i.e.

"la droite de régression passe par le barycentre du nuage".@freakonometricsfreakonometricsfreakonometrics.hypotheses.org3

Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017 Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017 Cette propriété était conservée avec la régression log-P oisson , nous avions que n? i=1Y i=n?

i=1?μiEi, où?μi·Eiest la prédiction faite avec l"exposition, au sens où1>s um(freq$nombre_RC)2[1] 19243> reg=glm(nombre_RC~1+offset(log(exposition)),data=freq,4+f amily=poisson(link="log"))5>s um(predict(reg,type="response"))6[1] 19247>s um(predict(reg,newdata=data.frame(exposition=1),8+ type="response")*freq$exposition)9[1] 1924

et ce, quel que soit le modèle utilisé !1> reg=glm(nombre_RC~offset(log(exposition))+ageconducteur+2+ zone+carburant ,data=freq,family=poisson(link="log"))3>s um(predict(reg,type="response"))4[1] 1924@freakonometricsfreakonometricsfreakonometrics.hypotheses.org5

Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017 ... mais c"est tout. En particulier, cette propriété n"est pas vérifiée si on change

de fonction lien,1> reg=glm(nombre_RC~1+log(exposition),data=freq,2>s um(predict(reg,type="response"))3[1] 1977.704

ou de loi (e.g. binomiale négative),1> reg=glm.nb(nombre_RC~1+log(exposition),data=freq)2>s um(predict(reg,type="response"))3[1] 1925.053

Conclusion: de manière généralen?

i=1Y i?=n? i=1? Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

La loi Gamma

La densité deYest ici

f(y) =1yΓ(φ-1)? yμφ

φ-1

exp? -yμφ ,?y?R+ qui est dans la famille exponentielle, puisque f(y) = exp?y/μ-(-logμ)-φ+1-φφ logy-logφφ -logΓ?φ-1?? ,?y?R+

On en déduit en particulier le

lien canonique ,θ=μ-1(fonction de lien inverse). De plus,b(θ) =-log(μ), de telle sorte queb?(θ) =μetb??(θ) =-μ2. Lafonction variance est alors ici V(μ) =μ2.

Enfin, la déviance est ici

D= 2φ[logL(y,y)-logL(μ,y)] = 2φn?

i=1? yi-μiμ i-log?yiμ i?? Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

La loi lognormale

La densité deYest ici

f(y) =1y ⎷2πσ2exp? (logy-μ)22σ2? ,?y?R+ SiYsuit une loi lognormale de paramètresμetσ2, alorsY= exp[Y?]où Y ?≂ N(μ,σ2). De plus,

E(Y) =E(exp[Y?])?= exp[E(Y?)] = exp(μ).

Rappelons queE(Y) =eμ+σ2/2, et Var(Y) = (eσ2-1)e2μ+σ2.1>p lot(cars)2> regln=lm(log(dist)~speed, data=cars)3> nouveau=data.frame(speed=1:30)4> preddist=exp(predict(regln, newdata=nouveau))@freakonometricsfreakonometricsfreakonometrics.hypotheses.org8

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5>l ines(1:30,preddist, col="red")6> (s=summary(regln)$sigma)7[1] 0.44633058>l ines(1:30,preddist*exp(.5*s^2),col="blue")@freakonometricsfreakonometricsfreakonometrics.hypotheses.org9

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Remarquelà encore,n?

i=1Y i?=n? i=1? Yi=n? i=1exp? ?Y?i+σ22

?1>s um(cars$dist)2[1] 21493>s um(exp(predict(regln)))4[1] 2078.345>s um(exp(predict(regln))*exp(.5*s^2))6[1] 2296.015

même si on ne régresse sur aucune variable explicative...1> regln=lm(log(dist)~1,data=cars)2> (s=summary(regln)$sigma)3[1] 0.77647194>s um(exp(predict(regln))*exp(.5*s^2))5[1] 2320.144

(estimateur du maximum de vraisemblance?=estimateur de la méthode des moments) Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Loi Gamma ou loi lognormale ?50010001500

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

50010001500

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

Mixture of two distributions@freakonometricsfreakonometricsfreakonometrics.hypotheses.org11 Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017 Loi Gamma ou loi logno rmale? Loi Gamma ? Mélange de deux lois Gamma ?50010001500

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

Lognormal distribution

50010001500

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

Mixture of lognormal distributions@freakonometricsfreakonometricsfreakonometrics.hypotheses.org12 Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Loi Gamma ou loi

logno rmale? Loi lognormale ? Mélange de deux lois lognormales ?50010001500

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

Gamma distribution

50010001500

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

Mixture of Gamma distributions@freakonometricsfreakonometricsfreakonometrics.hypotheses.org13 Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Autres lois possibles

Plusieurs autres lois sont possibles, au sein de la famille exponentielle, comme la loi inverse Gaussienne f(y) =?λ2πy3? 1/2 exp?-λ(y-μ)22μ2y? ,?y?R+ de moyenneμ(qui est dans la famille exponentielle) ou la loiloi exp onentielle f(y) =λexp(-λy),?y?R+ de moyenneλ-1.@freakonometricsfreakonometricsfreakonometrics.hypotheses.org14 Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017 Les régressions Gamma, lognormale et inverse Gaussienne

Pour la régression

Gamma (et un lien log

i.e. E(Y|X) = exp[X?β]), on a1> regg=glm(cout~agevehicule+carburant+zone,data=base_RC,2+f amily=Gamma(link="log"))3>s ummary(regg)4(Intercept) 7.72660 0.09300 83.079 < 2e-16* **5agevehicule -0.04674 0.00855 -5.466 5.27e-08* **6carburantE -0.14693 0.06329 -2.321 0.02038* 7zoneB -0.14876 0.12690 -1.172 0.241248zoneC -0.04275 0.09924 -0.431 0.666689zoneD -0.11026 0.10416 -1.058 0.2899810zoneE -0.12129 0.10478 -1.158 0.2471911zoneF -0.47684 0.18142 -2.628 0.00865* *12

13(Dispersion parameterf orG ammaf amilyt akent ob e1 .686782)@freakonometricsfreakonometricsfreakonometrics.hypotheses.org15

Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Les régressions Gamma

Régression Gamma, avec un lien logarithmique1> regg=glm(cout~agevehicule+carburant+zone,data=base_DO,family=Gamma(link="log"))

2> nd=data.frame(agevehicule=seq(0,15,by=.25),carburant="E",zone="A")

3> yp=predict(regg,newdata=nd,type="response")4>p lot(seq(0,15,by=.25),yp,type="l",col="red",lwd=2)

5>a bline(h=mean(base_DO$cout),lty=2)051015

1000
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Age du véhicule

Coût Moyen@freakonometricsfreakonometricsfreakonometrics.hypotheses.org16 Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Les régressions Gamma

Régression Gamma, avec un lien logarithmique, avec du lissage (splines)1>l ibrary(splines)2> reggbs=glm(cout~bs(agevehicule)+carburant+zone,data=base_DO,family=Gamma(link="log")

3> yp=predict(regg,newdata=nd,type="response")4>p lot(seq(0,15,by=.25),yp,type="l",col="red",lwd=2)051015

1000
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Age du véhicule

Coût Moyen@freakonometricsfreakonometricsfreakonometrics.hypotheses.org17 Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Les régressions Gamma

Régression Gamma, avec un lien inverse (lien canonique)1> regg=glm(cout~agevehicule+carburant+zone,data=base_DO,family=Gamma)

2> nd=data.frame(agevehicule=seq(0,15,by=.25),carburant="E",zone="A")

3> yp=predict(regg,newdata=nd,type="response")4>p lot(seq(0,15,by=.25),yp,type="l",col="red",lwd=2)

5>a bline(h=mean(base_DO$cout),lty=2)051015

1000
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1800
2000

Age du véhicule

Coût Moyen@freakonometricsfreakonometricsfreakonometrics.hypotheses.org18 Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Les régressions Gamma

Régression Gamma, avec un lien inverse, avec du lissage (splines)1>l ibrary(splines)2> reggbs=glm(cout~bs(agevehicule)+carburant+zone,data=base_DO,family=Gamma)

3> yp=predict(regg,newdata=nd,type="response")4>p lot(seq(0,15,by=.25),yp,type="l",col="red",lwd=2)051015

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