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ESD2017_14. Problèmes à prise dinitiative

On se propose de construire un château de cartes selon le modèle ci- contre. 1. Combien de cartes sont utilisées si on construit ainsi dix étages ?

RALLYE MATHÉMATIQUE TRANSALPIN - ÉPREUVE II mars-avril

15 Châteaux de cartes Roland a construit une figure beaucoup plus grande en utilisant exactement 55 ... comme celui représenté par la figure ci-contre.

a b 2b b a a

pour construire un château de n étages ? Exercice 17. On construit des carrés à l'aide d'allumettes. Ci-contre est représentée une construction de côté 2.

LE PROBLEME DES CHATEAUX DE CARTES

On peut par ailleurs chercher à exprimer comme fonction de à partir de la relation de récurrence exprimée ci-dessus. 3. Les élèves peuvent chercher à

COR EXOS DE RECHERCHE 1

Max a donc trois chances sur 21 de gagner soit une chance sur sept. Max a donc moins de chance qu'Arnaud de gagner. EXERCICE 2. Un château de cartes à un

Suites numériques

Aug 11 2019 On construit des châteaux de cartes de plus en hauts comme indiqués sur la figure ci- dessous. Un segment représente une carte.

Français interactif

will collect this homework. Page 86 of 345. University of Texas at Austin. 2019 COERLL - French Department. Préparation du vocabulaire. Le visage. The face.

199 défis (mathématiques) à manipuler !

défi lui-même (comme des pièces du puzzle) soit à construire (comme des jetons Par contre tout ... comme l'indique la figure ci-contre.

÷ ? × ? + + + ? × ? + ? - ? × ? - - ? + ? ÷

Marion a construit le petit escalier Sur la figure ci-contre Anne a relié chaque point du haut à ... Alice fait des châteaux de cartes.

Château de cartes

Cette procédure ne permet pas d'obtenir une formule générale. On lui préférera celle-ci issue d'une recherche de proportionnalité entre le nombre de cartes

[PDF] Château de cartes

pas d'obtenir une formule générale On lui préférera celle-ci issue d'une recherche de proportionnalité entre le nombre de cartes et le nombre d'étages

[PDF] ESD2017_14 Problèmes à prise dinitiative

On se propose de construire un château de cartes selon le modèle ci- contre 1 Combien de cartes sont utilisées si on construit ainsi dix étages ?

[PDF] LE PROBLEME DES CHATEAUX DE CARTES

Pour construire un château de cartes à un étage il faut 2 cartes Pour un château de cartes à deux étages il faut 7 cartes Et pour un château de cartes à

Exercice du château de cartes niveau 1 s DM - OpenClassrooms

On me pose les questions suivantes : a) Si le château a 5 étages combien y a t-il de cartes ? b) Si le château a 50 étages

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Transmettre sous forme de textes schémas figures codages sa démarche de recherche à une personne extérieure • Être capable de raisonner avec logique et

Dm suites : exercice de mathématiques de première - 528913

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17 mar 1994 · Victor aimerait construire un grand château utilisant toutes ses cartes Hélas son édifice s'effondre touiours bien âvant qu'il ne

Epreuve sur dossier CAPES Mathématiques

G. Julia. 2017/2018 1

ESD2017_14. Problèmes à prise d'initiative

1. Le sujet

Exercice

On se propose de construire un château de cartes selon le modèle ci- contre.

1. Combien de cartes sont utilisées si on construit ainsi dix étages ?

2. Combien d"étages peut-on construire avec 10000 cartes et combien

restera-t-il de cartes ? Les réponses de deux élèves Elève 1 (Collège)

1. À chaque étage de cartes, il y a trois cartes de plus qu"à l"étage

au dessus. J"ai utilisé le programme ci-contre et j"ai trouvé qu"il y avait 155 cartes pour dix étages.

2. En utilisant un programme ressemblant pour 10000 cartes, j"ai

montré que l"on peut faire 81 étages et qu"il restera 118 cartes.

Elève 2 (Lycée).

1. Je note pour n entier naturel u

n le nombre de cartes utilisées pour construire le n-ième étage. Comme pour

chaque nouvel étage il faut ajouter 3 cartes par rapport à l"étage précédent, j"en déduis que ()nu est une

suite arithmétique de raison 3 avec 2 0=u . ()170102

10322...

1010=´´++=+++uuu. Il faut 170 cartes pour faire dix étages.

2. Je procède de même en cherchant le plus grand entier n tel que 10000...

10£+++nuuu

()170102

10322...

1010=´´++=+++uuu

()100002

322£´++n ; 020000432£-+nn .

En m"aidant du discriminant, je trouve

80=n .

J"ai ainsi utilisé ()97602

322=´++n cartes, il en reste donc 240.

Le travail à exposer devant le jury

Analyser les démarches de chaque élève, en mettant en évidence leurs réussites leurs erreurs éventuelles,

ainsi que l"accompagnement que vous pourriez leur proposer pour les aider à progresser.

2. Présentez une correction de l"exercice telle que vous l"exposeriez devant une classe.

3. Proposez deux trois exercices sur le thème problème à prise d"initiative. Vous motiverez vos choix en

indiquant les compétences qu"ils permettent de développer chez les élèves.

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G. Julia. 2017/2018 2

2. Eléments de correction

Voici un exercice qui contextualise la notion de somme de termes d"une suite arithmétique. Il est ici proposé

dans la rubrique " problème à prise d"initiative ». C"est effectivement le cas au niveau du collège, où il peut

donner lieu à une activité de recherche puisque l"outil principal de résolution n"est pas connu à ce niveau. En

revanche, au niveau du lycée, cet exercice est plutôt un exercice de réinvestissement. La production de

l"élève 2 montre d"ailleurs que la formule donnant une somme de termes d"une suite arithmétique est déjà

connue. Les deux questions, judicieusement choisies, sont du modèle codage / décodage : d"un nombre

d"étages au nombre de cartes nécessaires puis d"un nombre de cartes au nombre d"étages possibles.

1. Analyse de travaux d"élèves.

Chouquerouste (essayons de garder notre sérieux devant le surréalisme de cette production). Propose une solution correcte et de bonnes réponses.

Réalise un programme Scratch avec une boucle itérative. Il est probable que le " programme ressemblant »

comporte un test d"arrêt du style " Tant que ... ». Aux spécialistes du programme Scratch (dont je reconnais

l"intérêt et avec lequel les candidats doivent se familiariser) de commenter davantage.

Elève 2.

Cet élève s"engage dans une démarche pertinente exploitant l"outil des suites. Deux erreurs imbriquées font

échouer le traitement mathématique qu"il doit conduire.

Réussites Erreurs

Une bonne compréhension de la situation, qu"il analyse en détaillant le passage d"un étage à l"étage immédiatement inférieur Une erreur d"harmonisation des index en considérant le premier étage comme " index zéro », mais dans ce cas le n-ième étage est l"index 1 -n Identification correcte de la notion sous-jacente à une modélisation par une suite dans ce contexte (suite arithmétique et somme des termes d"une suite

arithmétique) Application d"une formule incorrecte donnant la somme des termes d"une suite arithmétique. Selon lui,

nuuuunn gjulia´+=++2...00 2017
Résultats numériques cohérents avec sa modélisation

Le choix de l"index zéro comme index initial provient du fait que, le plus souvent, le premier terme d"une

suite est celui d"index zéro. Cet élève en a conclu que sur ce point le contrat didactique était : " Pour toutes

les suites arithmétiques, le terme initial est toujours celui de rang zéro ». Ce choix est malheureux car il

entraîne une erreur d"harmonisation des index. Une autre erreur portant sur la formule de calcul d"une

somme est liée à cette gjharmonisation incorrecte.

Pour que cet élève se rende compte de son erreur, on peut lui conseiller de tester les formules qu"il propose

pour de petites valeurs de n. Il lui appartiendra ensuite de faire en sorte que les formules qu"il utilise soient

synchronisées avec la valeur de l"entier n.

Dans une synthèse portant sur l"expression d"une somme de termes (d"une suite arithmétique ou

géométrique) il y a intérêt pour le professeur à proposer une formule principale (peut-être que la formule

donnée par le professeur dans cette classe est

2...1010

2017
--+´=++nnuunuu gj pour les suites arithmétiques) puis quelques variantes où l"on propose de changer l"index initial ou l"index final. C"est vers cette voie que l"on peut diriger cet élève.

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2. Une correction de l"exercice.

Au niveau lycée

On part de la remarque : " Soit u

n le nombre de cartes utilisées pour construire le n-ième étage. Comme pour

chaque nouvel étage il faut ajouter 3 cartes par rapport à l"étage précédent, ...()nu est une suite arithmétique

de raison 3 » mais on structure davantage la définition de cette suite : l"étage du haut porte le numéro 1, le

terme initial est ainsi : 1

1=u. On en déduit l"expression de ui en fonction de i : ()13132-=-´+=iiui.

Le nombre S

n de cartes nécessaires pour construire un château de n étages est la somme des termes d"une

suite arithmétique : nnuuuS+++=...21. Il reste à traiter le calcul d"une telle somme (voir manuels).

Entre autres possibilités, le calcul de

nS2 sous la forme : ()()()1121...22017uuuuuuSnnnngjulia++++++=- en remarquant que pour tout entier i tel que ni

££1 : niniuuuu+=+-+11

On obtient par cette méthode :

()nnuunS+´=12 puis () 2

1nnuunS+´= (distinguer la différence ave la

formule de l"élève 2). Faire aussi remarquer que ce nombre est bien un nombre entier, quelle que soit la

parité de l"entier n. En particulier : 155

10=S ce que le collégien avait obtenu.

La recherche des entiers n tel que 10000£

nS conduit à la résolution dans N* de l"inéquation ()100002

13£+´nn et à la conclusion :

2400111+-££n. Le plus grand d"entre eux est 81, il reste 118

cartes, ce que le collégien avait aussi obtenu.

Une variante.

La situation peut aussi s"étudier avec comme unique savoir la formule donnant une expression factorisée de

la somme n des premiers entiers : 2

1...21+=+++nnn. Pour cela, on incite les élèves à " décomposer » le

château. Il faut construire à chaque étage les murs d"appartements de deux cartes et les planchers (qui sont

plafonds pour l"étage du dessous). On note que le nombre de planchers est égal au nombre d"étages diminué

d"une unité. Au niveau d"un étage, il y a un appartement de plus qu"à l"étage inférieur et le plafond a une

carte de plus que le plancher. Pour n étages, on aboutit à : ()()()1...21...2122017-+++++++´=nnSiagilbertjuln soit : ( )()() 2 13 2

11+´=-++=nnnnnnS

3. Commentaire

Chouquerouste représente l"élève idéal que les partisans de l"algorithmique imaginent sur les bancs du

collège. C"est-à-dire un élève capable, de façon autonome, d"analyser un problème se ramenant à une

itération, de caractériser l"itération en question, de construire un algorithme prenant en charge cette action et

d"agrémenter cet algorithme d"un test d"arrêt permettant d"obtenir le résultat souhaité. Tout cela est très

séduisant. Encore faut-il que l"élève en question ait une culture mathématique générale suffisante pour

appréhender ce type de problème avec suffisamment de hauteur. En est-on là dans une classe de collège

ordinaire ? Il y a de quoi provoquer quelques quintes de toux.

Ici, très clairement, ce n"est pas un élève de collège authentique qui a rédigé le travail attribué à

Chouquerouste, mais un nègre littéraire auquel on a demandé de chanter les louanges de Scratch, planqué

dans l"arrière boutique du Ministère de l"Education Nnationale. Mission certes en tout point réussie :

Chouquerouste a la même ingéniosité que Bibi Fricotin.quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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ESD2017_14. Problèmes à prise d'initiative

1. Le sujet

Exercice

1. Combien de cartes sont utilisées si on construit ainsi dix étages ?

2. Combien d"étages peut-on construire avec 10000 cartes et combien

1. À chaque étage de cartes, il y a trois cartes de plus qu"à l"étage

2. En utilisant un programme ressemblant pour 10000 cartes, j"ai

Elève 2 (Lycée).

1. Je note pour n entier naturel u

10322...

1010=´´++=+++uuu. Il faut 170 cartes pour faire dix étages.

2. Je procède de même en cherchant le plus grand entier n tel que 10000...

10£+++nuuu

10322...

1010=´´++=+++uuu

322£´++n ; 020000432£-+nn .

En m"aidant du discriminant, je trouve

80=n .

J"ai ainsi utilisé ()97602

322=´++n cartes, il en reste donc 240.

Le travail à exposer devant le jury

2. Présentez une correction de l"exercice telle que vous l"exposeriez devant une classe.

3. Proposez deux trois exercices sur le thème problème à prise d"initiative. Vous motiverez vos choix en

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2. Eléments de correction

1. Analyse de travaux d"élèves.

Elève 2.

Réussites Erreurs

2...1010

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2. Une correction de l"exercice.

Au niveau lycée

On part de la remarque : " Soit u

1=u. On en déduit l"expression de ui en fonction de i : ()13132-=-´+=iiui.

Le nombre S

Entre autres possibilités, le calcul de

££1 : niniuuuu+=+-+11

On obtient par cette méthode :

1nnuunS+´= (distinguer la différence ave la

10=S ce que le collégien avait obtenu.

La recherche des entiers n tel que 10000£

13£+´nn et à la conclusion :

2400111+-££n. Le plus grand d"entre eux est 81, il reste 118

Une variante.

1...21+=+++nnn. Pour cela, on incite les élèves à " décomposer » le

11+´=-++=nnnnnnS

3. Commentaire