Introduction à la topologie PDF Cours et exercices corrigés

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Introduction à la topologie

Cours et exercices corrigés 2.3 Continuité dans un espace topologie . ... Dans ce chapitre nous allons définir le concept de topologie en général

Topologie pour la Licence - Côte d'Azur University

en math´ematiques Comme la topologie repose sur relativement peu de connaissances aquises elle pr´esente l’occasion id´eale pour l’´etudiant de combler d’´eventuelles lacunes en logique ou en th´eorie des ensembles C’est la raison pour laquelle la plupart des ´enonc´es sont suivis d’une preuve compl`ete

Centre Universitaire Belhadj Bouchaib

Ain T emouchentIntroduction a la topologie

Cours et exercices corrig

L2 Math

ematiques

AMIN BENAISSA CHERIF

Institut des Sciences

D epartements Mathematiques et Informatiques E-mail :amine.banche@gmail.comAnnee Universitaire 2016-2017

Avant-propos

Ce polycopie represente le cours de topologie dispense enL2mathematiques fondamentales au premier semestre, au centre universitaire de ain temouchent (Bel- hadj Bouchaib). Toutes les remarques et commentaires sont les bienvenus, ces remarques et commentaires nous permettront certainement d'ameliorer le contenu ainsi que la presentation de la version nale.

Auteur : A. Benaissa Cherif

Table des matieres

I Cours

1 Topologie de la droite reelle

1.1 Les ensembles ouverts

1.2 Les ensembles fermes

2 Espaces topologiques

2.1 Concepts de base en topologie

2.1.1 Denitions d'un topologie et ouvert

2.1.2 Voisinage, Ferme

2.1.3 Interieur, adherence, frontiere d'une partie

2.1.4 Point isole, point d'accumulation

2.1.5 Bases d'ouverts, Bases de voisinages

2.2 Quelques constructions topologiques

2.2.1 Espaces separes

2.2.2 Topologie plus ou moins ne

2.2.3 Topologie induite

2.3 Continuite dans un espace topologie

2.3.1 Continuite en un point

2.3.2 Continuite globale

2.4 Notion de Connexite

2.4.1 Espaces topologiques connexes

2.4.2 Ensembles connexes

2.4.3 Quelques des proprietes

2.5 Notion de Compacite

2.5.1 Notions de base

2.5.2 Espaces topologiques compacts

20 2

Table des Matieres

2.5.3 Ensemble compacts

2.5.4 Quelques des proprietes

3 Espaces metriques

3.1 Quelques generalites

3.1.1 Denitions, Exemples

3.1.2 Proprietes de la distance

3.1.3 Boule ouverte, Boule fermee

3.1.4 Parties bornees, fonctions bornees

3.1.5 Distance entre deux parties, diametre

3.2 Topologie associee a une distance

3.3 Les suites dans un espace metrique

3.3.1 Suite convergente

3.3.2 Suites de Cauchy

3.4 Notion de densite dans un espace metrique

3.5 Notion de completude dans un espace metrique

3.6 Continuite dans un espace metrique

3.6.1 Application continue

3.6.2 Application uniformement continue

3.6.3 Application Lipschitzienne

3.7 Theoreme du point xe

4 Introduction a l'espace vectoriel norme

4.1 Denitions et exemples

4.1.1 Norme

4.1.2 Normes equivalentes

4.1.3 Espaces de Banach

4.2 Applications lineaires continues

II Exercices

40
A-

Enonces41

A.1 Espaces topologiques

A.2 Espaces metriques

A.3 Espaces vectoriels normes

46
3

Table des Matieres

B-Correction des Exercices

B.1 Espaces topologiques

B.2 Espaces metriques

B.3 Espaces vectoriels normes

Bibliographie

63
4

Premiere partie

Cours 5

Chapitre 1

Topologie de la droite reelle

1.1 Les ensembles ouverts

Denition 1.1.1.SoitAun ensemble de nombres reels. On dit queAest ouvert, si pour toutx2A;il existe" >0, tel queI(x;")A; ouI(x;")est un intervalle ouvert de centrexet de rayon": Exemple 1.1.1.Un intervalle ouvertA= ]a;b[est un ensemble ouvert, car pour toutx2]a;b[;on peut choisir"=12 min(xa;bx);on aI(x;")A:

Exemple 1.1.2.Les ensemblesRet;sont des ouverts.

Remarque.Un ensembleAn'est pas ouvert si il existe un pointa2Atel que pour tout" >0; I(a;")*A: Exemple 1.1.3.L'ensemble[a;b[n'est pas ouvert, car pour tout" >0; I(a;")* [a;b[: Proposition 1.1.1.La reunion d'une famille quelconque d'ensembles ouverts deR est un ouvert. Demonstration.Soit (Ai)i2Id'ensembles ouverts deR. Montrons queS i2IAiest un ensemble ouvert deR. Soitx2S i2IAi;alors il existej2I, tel quex2Aj;il existe j>0, tel queI(x;"j)AjS i2IAi;d'ouS i2IAiest un ensemble ouvert de R.Proposition 1.1.2.L'intersection de toute famille nie d'ouverts est un ouvert. 6

Chapitre 1 Topologie de la droite reelle

Demonstration.SoientA1;A2;::;Andes ensembles ouverts deR. Montrons que T i=n i=1Aiest un ensemble ouvert deR. Soitx2Ti=n i=1Ai;alors pour touti2 f1;2;:::;ng, tel quex2Ai;il existe"i>0, tel queI(x;"i)Ai;pour"= min i=1;n"i; on a

I(x;")I(x;"i)Ai, pour touti2 f1;2;:::;ng;

doncI(x;")Ti=n i=1Ai, d'ouTi=n

i=1Aiest un ensemble ouvert deR.Remarque.Une intersection quelconque d'ouverts n'est pas toujours ouverte et une

reunion quelconque de fermes n'est pas toujours fermee. Pour s'en convaincre, on retiendra les deux exemples suivants n2N

1n+ 1;1n+ 1

=f0get[ n2N

1n+ 1;1

= ]0;1]:

1.2 Les ensembles fermes

Denition 1.2.1.SoitAun ensemble de nombres reels. On dit queAest ferme si A cest un ouvert. Exemple 1.2.1.Un intervalle ferme[a;b]est un ensemble ferme puisque[a;b]c= ]1;a[[]b;+1[est un ouvert comme reunion de deux ensembles ouverts.

Exemple 1.2.2.L'ensembleZest ferme puisqueZc=S

n2Z]n;n+ 1[est un ouvert comme reunion innie d'ensembles ouverts. Exemple 1.2.3.Les ensemblesRet;sont fermes puisque leur complementaires, respectivement;etR, sont ouverts. Corollaire 1.2.1.L'intersection de toute famille quelconque de fermes est un ferme.

Demonstration.Elle se deduit par passage au complementaire.Corollaire 1.2.2.La reunion de toute famille nie de fermes est un fermee.

Demonstration.Elle se deduit par passage au complementaire.7

Chapitre 2

Espaces topologiques

Dans ce chapitre, nous allons denir le concept de topologie en general, et passer en revue plusieurs moyens de se donner une topologie sur un ensembleXquelconque. Nous introduisons dans ce chapitre les notions importants d'espaces topologiques, l'interieur, l'adherence, la frontiere d'un ensemble, ou les applications continues

2.1 Concepts de base en topologie

2.1.1 Denitions d'un topologie et ouvert

SoitXun ensemble. On noteP(X) l'ensemble des parties deX. Denition 2.1.1.SoientXun ensemble non vide etT P(X). On dit queTest une topologie denie surXsi les axiomes suivants veries : (1)Xet;sont des elements deT: (2)toute reunion d'elements deTest un element deT. (3)toute intersection nie d'elements deTest un element deT. Les elements deTsont appeles les ouverts de la topologie. Le couple(X;T)est appele un espace topologique. Exemple 2.1.1.La famille de parties d'un ensembleX, donnee parTg=fX;;g, est une topologie surXappelee topologie grossiere. Exemple 2.1.2.La familleTd=P(X)de toutes les parties deXest une topologie surXappelee la topologie discrete. 8

Chapitre 2 Espaces topologiques

Exemple 2.1.3.SurR, l'ensemble forme de;,Ret des reunions quelconques d'in- tervalles de la forme]a;b[est bien une topologie surR. Sauf mention contraire,R sera toujours muni de cette topologieTuappelee topologie usuelle. Exemple 2.1.4.Considerons les familles suivantes de parties deX=fa;b;c;d;eg: T

1=fX;;;fag;fc;dg;fa;c;dg;fb;c;d;egg;

1est une topologie surX:

2=fX;;;fag;fc;dg;fa;c;dg;fb;c;dgg;

2n'est pas une topologie surX, carfa;c;dg;fb;c;dg 2 T2, mais

fa;c;dg [ fb;c;dg=fa;b;c;dg=2 T2: Exemple 2.1.5.Soit(X;T)un espace topologique, tel que, pour toutx2X,fxg 2

T;alors(X;T)est un topologie discrete.

2.1.2 Voisinage, Ferme

Denition 2.1.2(Ferme).Soit(X;T)un espace topologique. On appelle ferme, toute partie deXdont le complementaire est ouvert. Exemple 2.1.6.Considerons la topologieT=fX;;;fag;fc;dg;fa;c;dg;fb;c;d;egg surX=fa;b;c;d;eg. Les fermes deXsont les ensembles

X;;;fb;c;d;eg;fa;b;eg;fb;eg;fag:

Proposition 2.1.1.Soit(X;T)un espace topologique. La famille des fermes deX verie les proprietes suivantes : (F1)X;;sont fermes. (F2)L'union d'une famille nie de fermes est un ferme. (F3)L'intersection d'une famille quelconque de fermes est un ferme. Demonstration.Elle se deduit par passage au complementaire a partir de (1), (2) et (3).Denition 2.1.3(Voisinage).Soit(X;T)un espace topologique etx2X. On dit qu'une partieVdeXest un voisinage dexsi elle contient un ouvert qui contient x. 9

Chapitre 2 Espaces topologiques

Exemple 2.1.7.Par exemple, dansRmuni de la topologie usuelle etx2R, ]x2;x+ 1]est un voisinage dex. Proposition 2.1.2.Pour qu'une partie d'un espace topologique soit un ouverte, il faut et il sut qu'il soit voisinage de chacun de ses points.

Demonstration.

SoitUun ouverte, c'est un voisinage de chacun de ses points. Reciproquement, siUest voisinage de chacun de ses points, alors, pour chaquequotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

[PDF] Introduction à la topologie Cours et exercices corrigés

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L2 Math

AMIN BENAISSA CHERIF

Institut des Sciences

Avant-propos

Auteur : A. Benaissa Cherif

Table des matieres

I Cours

1 Topologie de la droite reelle

1.1 Les ensembles ouverts

1.2 Les ensembles fermes

2 Espaces topologiques

2.1 Concepts de base en topologie

2.1.1 Denitions d'un topologie et ouvert

2.1.2 Voisinage, Ferme

2.1.3 Interieur, adherence, frontiere d'une partie

2.1.4 Point isole, point d'accumulation

2.1.5 Bases d'ouverts, Bases de voisinages

2.2 Quelques constructions topologiques

2.2.1 Espaces separes

2.2.2 Topologie plus ou moins ne

2.2.3 Topologie induite

2.3 Continuite dans un espace topologie

2.3.1 Continuite en un point

2.3.2 Continuite globale

2.4 Notion de Connexite

2.4.1 Espaces topologiques connexes

2.4.2 Ensembles connexes

2.4.3 Quelques des proprietes

2.5 Notion de Compacite

2.5.1 Notions de base

2.5.2 Espaces topologiques compacts

Table des Matieres

2.5.3 Ensemble compacts

2.5.4 Quelques des proprietes

3 Espaces metriques

3.1 Quelques generalites

3.1.1 Denitions, Exemples

3.1.2 Proprietes de la distance

3.1.3 Boule ouverte, Boule fermee

3.1.4 Parties bornees, fonctions bornees

3.1.5 Distance entre deux parties, diametre

3.2 Topologie associee a une distance

3.3 Les suites dans un espace metrique

3.3.1 Suite convergente

3.3.2 Suites de Cauchy

3.4 Notion de densite dans un espace metrique

3.5 Notion de completude dans un espace metrique

3.6 Continuite dans un espace metrique

3.6.1 Application continue

3.6.2 Application uniformement continue

3.6.3 Application Lipschitzienne

3.7 Theoreme du point xe

4 Introduction a l'espace vectoriel norme

4.1 Denitions et exemples

4.1.1 Norme

4.1.2 Normes equivalentes

4.1.3 Espaces de Banach

4.2 Applications lineaires continues

II Exercices

Enonces41

A.1 Espaces topologiques

A.2 Espaces metriques

A.3 Espaces vectoriels normes

Table des Matieres

B-Correction des Exercices

B.1 Espaces topologiques

B.2 Espaces metriques

B.3 Espaces vectoriels normes

Bibliographie

Premiere partie

Chapitre 1

Topologie de la droite reelle

1.1 Les ensembles ouverts

Exemple 1.1.2.Les ensemblesRet;sont des ouverts.

Chapitre 1 Topologie de la droite reelle

I(x;")I(x;"i)Ai, pour touti2 f1;2;:::;ng;

1n+ 1;1n+ 1