[PDF] Polycopié de Topologie générale FARHI Bakir

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Polycopié de Topologie généraleéÓAªË@ AJ k.ñËñJ.¢Ë@ úÍ@

ÉgYÓ

Destiné aux étudiants de la :

2

èmeannée Licence de Mathématiques

FARHI Bakir

Université A. Mira de Béjaia - Algérie

Préface

Ce polycopié est issu du cours deTopologie généralede la 2èmeannée Licence de Mathéma-

tiques que j"ai le privilège de diriger depuis l"année universitaire 2016-2017 à l"Université A. Mira de

Béjaia. Il est composé de 8 chapitres, chacun étant poursuivi d"une série d"exercices dont certains

sont étoilés, signifiant qu"ils sont conçus pour être résolus en classe (c"est-à-dire aux travaux dirigés).

Les exercices non étoilés sont -par contre- laissés aux soins de l"étudiant; on ne les résout que s"il

reste du temps après avoir fait tout ce qui est nécessaire. À la fin de ces chapitres, j"ai inclus égale-

ment quelques sujets d"examen des années précédentes pour aider les étudiants à mieux se préparer

aux épreuves de la fin du semestre. J"ai essayé de mon mieux d"alléger le contenu du polycopié en

renvoyant au TD certaines démonstrations techniques. Par contre, aucun résultat n"est admis sans

démonstration à l"exception du théorème de Tychonov (dans son cas général). Aussi, j"ai commencé

mon cours en introduisant en même tempsles espaces métriquesetles espaces topologiques; ce qui

a pour objectif de transmettre au lecteur l"idée intuitive de la construction axiomatique desespaces

topologiques. Cette idée est d"ailleurs avancée dans l"Introduction avant sa réalisation au cours. Ceci

dit, le polycopié est en sa 1 èreversion et toute suggestion ou avis de la part des lecteurs (en particulier

des étudiants) est la bienvenue; cela m"aidera à perfectionner le polycopié progressivement au fils

du temps. Je compte également sur les lecteurs pour m"informer de toute erreur (mathématique ou

typographique) qu"ils prélèveront.

J"espère enfin que ce polycopié constituera un support utile pour nos étudiants et les aidera

à améliorer leurs résultats aux examens, qui ont été jusque là à la limite de la médiocrité pour

l"écrasante majorité d"entre eux. Ci-dessous sont décrits brièvement les contenus des chapitres :

Au 1

erchapitre, nous présentons des généralités sur les espaces métriques et topologiques;

il s"agit bien d"un premier contact avec ces espaces. Cette présentation est illustrée par quelques

exemples usuels et dotée de quelques toutes premières propriétés. Au 2 èmechapitre, nous étudions quelques notions de base de Topologie générale comme celles

defermeture,intérieur,frontière,voisinage, etc. La théorie élémentaire des ensembles (en principe

acquise dès la première année) permet de marier toutes ces notions pour obtenir un bouquet de

jolis résultats qui constituent en fait la base de toute la suite. Nous terminons ce chapitre par

l"introduction desespaces séparésque les anglophones appellentHausdorff spaces. Le grand intérêt

de ces espaces sera précisé au chapitre d"après. Au 3 èmechapitre, nous rentrons dans le vif de la théorie en introduisant les notions delimite

et decontinuité. L"intérêt desespaces topologiques séparéss"éclaircira alors : dans ces espaces, la

i limite (d"une suite ou d"une fonction, lorsqu"elle existe) est unique. Dans la seconde partie de ce

chapitre, nous étudions la très importante notion d"homéomorphisme, avec un premier exemple non

trivial selon lequel " tout intervalle ouvert deRest homéomorphe àR». Nous étudions aussi les

notions detopologie induiteet detopologie produitqui correspondent respectivement à celles d"un sous-espace topologiqueet d"un espace topologique produit. Au 4 èmechapitre, nous rentrons dans le vif de la théorie desespaces métriquesen commençant

par expliciter leur lien avecles espaces topologiques(i.e., la topologie associée à une distance). Nous

verrons en fait qu"un espace métrique est un espace topologiqueséparémais que l"inverse n"a pas

toujours lieu; ce qui fait que la catégorie des espaces métriques est une sous-catégorieproprede la

catégorie des espaces topologiques. Par suite, nous réétudions les notions delimiteet decontinuité

(déjà vues au chapitre d"avant sur les espaces topologiques) dans le cas "particulier" des espaces

métriques. Nous verrons à ce moment là que ces notions s"obtiennent plus intuitivement sur un

espace métrique que sur un espace topologique général. Nous enchaînons avec des notions qui

sont propres aux espaces métriques (i.e., qui n"ont pas lieu sur un espace topologique général),

dont celles decontinuité uniforme,application lipschitzienneetisométrie. Nous élargissons aussi la

notion de " distance entre deux points d"un espace métrique » en définissant la " distance entre

deux parties d"un espace métrique», comme nous définissons par ailleurs la notion dediamètred"une

partie d"un espace métrique. Nous verrons ensuite quelquesformulations séquentielles(i.e., utilisant

des suites) qui caractérisent des propriétés d"une partie d"un espace métrique ou d"une application

entre deux espaces métriques. Nous terminons le chapitre en question par l"introduction des notions

dedistance induiteetdistance produit, qui correspondent respectivement à celles d"un sous-espace

métriqueet d"un espace métrique produit, ainsi que les notions dedistances équivalentesetdistances

topologiquement équivalentes. Au 5 èmechapitre, nous abordonsles espaces completsqui sont quelque part les plus utiles de

tous les espaces métriques. Ces espaces extrêmement importants et riches en applications réappa-

raîtront ultérieurement, un peu partout, dans le cursus d"un étudiant en Mathématiques; pour cette

raison, celui-ci doit maîtriser parfaitement le contenu de ce chapitre. Trois théorèmes fondamentaux

sont présentés :le théorème des fermés emboîtés de Cantor,le théorème du point fixe de Picardet

le théorème de Baire. Au 6 èmechapitre, nous abordonsles espaces compacts. La définition générale de ces espaces

très importants est abstraite; elle se sert de la propriété ditede Borel-Lebesguequi, intuitivement,

est difficile à cerner. Cependant, c"est elle la clef de démonstration d"un grand nombre de théorèmes

fondamentaux sur la compacité. Lorsqu"on se restreint aux espaces métriques, d"autres caractérisa-

tions plus cernables de la compacité sont possibles; parmi celles-ci, on donne la caractérisation de

Bolzano-Weierstrass(un espace métriqueEest compact ssi toute suite deEpossède une sous-suite

convergente) et la caractérisation utilisant la notion d"espace métrique totalement borné(un espace

métriqueEest compact si et seulement s"il est complet et totalement borné). Il est très important

de souligner que la compacité est une propriétéintrinsèque(i.e., une partie compacte d"un espace

topologiqueXreste compacte par rapport à n"importe quel autre sous-espace topologique deXqui ii

la contient, et vice versa). Nous verrons par suite quelques théorèmes fondamentaux liant la com-

pacité à la continuité. Parmi ceux là, le théorème selon lequel " la compacité se conserve par une

application continue » et les deuxthéorèmes de Heine, déjà vus en 1èreannée dans le cas particulier

correspondant àR. On termine le chapitre en question parle théorème de Tychonovselon lequel

" tout produit d"espaces topologiques compacts est compact ». Cet important théorème, dont la

démonstration fait appel à des arguments très raffinés de la théorie des ensembles, sera démontré

uniquement dans son cas "facile" où le produit en question est fini. Quant aux espaces localement compacts, nous nous contentons de donner juste leur définition! Au 7 èmechapitre, nous abordonsles espaces connexes. Intuitivement, une partie connexe d"un espace topologique est une partie d"un seul tenant (i.e., faite d"un seul morceau); ainsi, dansR par exemple, les parties connexes sont simplementses intervalles. Tout comme la compacité, la

connexité est -elle aussi- une propriétéintrinsèque(i.e., nonrelative). La liaison entre la connexité et

la continuité est aussi un des sujets importants de ce chapitre. D"une part, tout comme la compacité,

nous montrons que la connexité se conserve aussi par continuité, et d"autre part, nous généralisons

le théorème des valeurs intermédiaires(vu en terminale et en 1èreannée dans son cas particulier

correspondant àR). Nous enchaînons ensuite par l"importante notion decomposante connexed"un espace topologique, puis nous montrons qu"un produit fini d"espaces connexes est connexe. Nous

terminons avec la notion deconnexité par arcqui est un peu plus forte que la connexité (bien que

dans les cas usuels, elle lui est équivalente). Au 8 èmeet dernier chapitre, nous abordonsles espaces vectoriels normés(e.v.nen abrégé) sur

RouC. Dans ces espaces, qui constituent une sous-catégorie spéciale de la catégorie des espaces

métriques, on dispose plus fortement d"unenormeà la place d"unedistance. Lorsque la complétude

affecte ces espaces, ils deviennent encore plus riches en applications; on les appelleles espaces de Banach. Le cas dese.v.nde dimensions finies est totalement éclairci : on peut dire grosso- modo qu"on a affaire àRnouCn. Pour ces derniers, tout devient simple : toutes les normes sont

équivalentes; une partie compacte n"est autre qu"une partie fermée et bornée; tous sont des espaces

de Banach, etc. C"est par contre en dimension infinie que les choses deviennent plus compliquées;

le cas desespaces fonctionnels(i.e.,e.v.noù les vecteurs sont des fonctions) est particulièrement

important et le module d"Analyse fonctionnelle(qu"on enseigne en 3èmeannée) est lui est entièrement

consacré! Le plus important dans ce chapitre est l"étude desapplications linéaires continuesd"un

e.v.ndans un autree.v.n. Nous verrons que ces applications linéaires continues constituent à leur tour une.v.ntrès remarquable et très riche en applications. Nous terminons le chapitre en

question par l"importantthéorème de F. Rieszselon lequel " une.v.nest de dimension finie ssi on

a équivalence entre une partie compacte et une partie fermée et bornée de cet espace ». Nous clôturons ce polycopié avec quelques sujets d"examen et d"interrogation des années

précédentes, suivis d"une bibliographie-sitographie comportant d"importantes références de Topologie

générale dans les trois langues : le français, l"arabe et l"anglais.

Bakir FARHI

Béjaia, le 11 septembre 2017

iii

Notations

ssiAbrégé de l"expression " si et seulement si ». :Egalité par définition qu"on représente aussi parfois par le signedéf. sgnpfqLe signe d"une expressionf.

Symbole indiquant la fin d"une démonstration.

TDAbrégé de l"expression " Travaux Dirigés ».

ExerciceLorsqu"un exercice est précédé d"une étoile, cela veut dire qu"il sera traité au

TD.

Notation standard d"une topologie.

usLa topologie usuelle deR. grosLa topologie grossière d"un ensemble non vide donné. disLa topologie discrète d"un ensemble non vide donné. cofLa topologie cofinie d"un ensemble non videX. SiXest fini, on acofdis; pour cette raison, on ne parle (généralement) de la topologie cofinie que lorsque l"ensemble en question est infini. VpxqL"ensemble de tous les voisinages d"un pointxd"un espace topologique donné. VpAqL"ensemble de tous les voisinages d"une partieAd"un espace topologique donné. BpxqUne base de voisinages (appelée aussi "un système fondamental de voisinages») d"un pointxd"un espace topologique donné.

BUne base d"un espace topologique donné.

AL"adhérence d"une partieAd"un espace topologique donné. AL"intérieur d"une partieAd"un espace topologique donné. FrpAqLa frontière d"une partieAd"un espace topologique donné. ALa topologie induite surAde la topologie deX(lorsqueAest une partie d"un espace topologiqueX). i:XÑXiLaièmeprojection canonique d"un espace topologique produit

XX1X2 Xn(oùnPN).

dNotation standard d"une distance. d usLa distance usuelle deR. E FL"ensemble de toutes les applications deFdansE(oùEetFsont des ensembles non vides). C

0pra;bs;RqL"ensemble des fonctions continues surra;bs, à valeurs dansR(aveca;bPR,

aăb). Lorsqu"il est muni des deux lois de composition(addition usuelle des applications) et(multiplication d"un réel par une application), qui sont respectivement interne et externe, il devient unR-espace vectoriel. C npra;bs;RqL"ensemble des fonctions de classeCnsurra;bs, à valeurs dansR(avecnPN, a;bPR,aăb). C"est unR-espace vectoriel (un sous-espace vectoriel de C

0pra;bs;Rq).

iv C8pra;bs;RqL"ensemble des fonctions de classeC8surra;bs, à valeurs dansR(aveca;bPR, aăb). C"est unR-espace vectoriel (un sous-espace vectoriel deC0pra;bs;Rq). d

1C"est une distance définie surRn,CnouC0pra;bs;Rqentre autres.

- SurKn(KRouC,nPN), elle est définie par : d

1px;yq:n¸

i1|xiyi|@xtpx1;:::;xnq;ytpy1;:::;ynq PKn: - SurC0pra;bs;Rq(aveca;bPR,aăb), elle est définie par : d

1pf;gq:ż

b a |fpxq gpxq|dx@f;gPC0pra;bs;Rq: d

2Elle désigne la distance euclidienne (surRn,CnouC0pra;bs;Rqentre autres).

- SurKn(KRouC,nPN), elle est définie par : d

2px;yq:d

n i1|xiyi|2@xtpx1;:::;xnq;ytpy1;:::;ynq PKn: - SurC0pra;bs;Rq(aveca;bPR,aăb), elle est définie par : d

2pf;gq:d

b a |fpxq gpxq|2dx@f;gPC0pra;bs;Rq: d entre autres), oùpPN. - SurKn(KRouC,nPN), elle est définie par : d ppx;yq: n¸ i1|xiyi|p

1{p@xtpx1;:::;xnq;ytpy1;:::;ynq PKn:

- SurC0pra;bs;Rq(aveca;bPR,aăb), elle est définie par : d ppf;gq: żb a |fpxq gpxq|pdx

1{p@f;gPC0pra;bs;Rq:

v d8C"est une distance définie surRn,CnouC0pra;bs;Rqentre autres. - SurKn(KRouC,nPN), elle est définie par : d - SurC0pra;bs;Rq(aveca;bPR,aăb), elle est définie par : d

8pf;gq:sup

xPra;bs|fpxq gpxq|@f;gPC0pra;bs;Rq: SurC0pra;bs;Rq, cette distanced8est connue sous le nom de " la distance de la convergence uniforme ». On peut montrer que l"on a :d8limpÑ8dp (que se soit surRn,CnouC0pra;bs;Rq). Bpa;rqLa boule ouverte de centreaet de rayonr(oùaest un point d"un espace métrique donné etrě0). Bpa;rqLa boule fermée de centreaet de rayonr(oùaest un point d"un espace métrique donné etrě0). Spa;rqLa sphère de centreaet de rayonr(oùaest un point d"un espace métrique donné etrě0). dLa topologie associée à la distancedd"un espace métrique donné. d XLa distance considérée sur un ensembleX. Cette notation est utilisée lorsqu"on dispose de plusieurs espaces métriquesX;Y;Z, etc. Les distances respectives de ces derniers sont alors (généralement) désignées pardX;dY;dZ, etc. dpx;AqLa distance d"un pointxpar rapport à une partieAd"un espace métrique donné. dpA;BqLa distance entre deux partiesAetBd"un espace métrique donné. pAqLe diamètre d"une partieAd"un espace métrique donné. d ALa distance induite surAde la distance deX(lorsqueAest une partie d"un espace métriqueX). clpxqC"est une notation utilisée exclusivement au chapitre 7 . Elle désigne la com- posante connexe d"un pointxd"un espace topologique donné. On montre que clpxqest la plus grande partie connexe, de l"espace topologique en question, qui contientx. e.v.nAbrégé de l"expression " espace vectoriel normé ». 0

ELe vecteur nul d"un espace vectorielE.

dimELa dimension d"un espace vectorielE. KerfLe noyau d"une application linéairefd"un espace vectoriel dans un autre espace vectoriel. Vectpx1;:::;xnqLe sous-espace vectoriel d"un espace vectoriel donné, engendré par des vecteurs x

1;:::;xnde cet espace (oùnest un entier strictement positif).

} }Notation standard d"une norme sur un espace vectoriel donné, lequel est défini surRouC. vi } }1C"est une importante norme qu"on peut définir sur plusieursK-espaces vectoriels (KRouC) dontRn,CnetC0pra;bs;Rq. - Sur leK-espace vectorielKn(KRouC,nPN), elle est définie par : }x}1:n¸ i1|xi|@xtpx1;:::;xnq PKn: - Sur leR-espace vectorielC0pra;bs;Rq(aveca;bPR,aăb), elle est définie par : }f}1:ż b a |fpxq|dx@fPC0pra;bs;Rq:

2C"est la très importante " norme euclidienne » qu"on peut définir sur plusieurs

K-espaces vectoriels (KRouC) dontRn,CnetC0pra;bs;Rq. - Sur leK-espace vectorielKn(KRouC,nPN), elle est définie par : }x}2:d n i1|xi|2@xtpx1;:::;xnq PKn: - Sur leR-espace vectorielC0pra;bs;Rq(aveca;bPR,aăb), elle est définie par : }f}2:d b a |fpxq|2dx@fPC0pra;bs;Rq: peut définir sur plusieursK-espaces vectoriels (KRouC) dontRn,Cn etC0pra;bs;Rq. - Sur leK-espace vectorielKn(KRouC,nPN), elle est définie par : }x}p: n¸ i1|xi|p

1{p@xtpx1;:::;xnq PKn:

- Sur leR-espace vectorielC0pra;bs;Rq(aveca;bPR,aăb), elle est définie par : }f}p: żb a |fpxq|pdx

1{p@fPC0pra;bs;Rq:

vii } }8C"est une importante norme qu"on peut définir sur plusieursK-espaces vectoriels (KRouC) dontRn,CnetC0pra;bs;Rq. - Sur leK-espace vectorielKn(KRouC,nPN), elle est définie par : - Sur leR-espace vectorielC0pra;bs;Rq(aveca;bPR,aăb), elle est définie par : }f}8:sup xPra;bs|fpxq|@fPC0pra;bs;Rq: SurC0pra;bs;Rq, cette norme} }8est connue sous le nom de " la norme de la convergence uniforme ». On peut montrer que l"on a :} }8limpÑ8} }p (que se soit surRn,CnouC0pra;bs;Rq). ELa norme considérée sur unK-e.v.nE(oùKRouC). Cette notation est utilisée lorsqu"on dispose de plusieursK-e.v.nE,F,G, etc. Les normes respectives de ces derniers sont alors (généralement) désignées par} }E,} }F,

G, etc.

LpE;FqL"espace vectoriel des applications linéaires deEdansF, oùEetFsont des espaces vectoriels définis sur un même corps commutatifKRouC. L cpE;FqL"espace vectoriel des applications linéaires continues deEdansF, oùEet Fsont des espaces vectoriels définis sur un même corps commutatifKR ouC. CeK-espace vectorielLcpE;Fqest muni d"une importante norme (voir ci-dessous); c"est donc, à son tour, unK-e.v.n. Notation standard de la norme deLcpE;Fq(oùEetFsont des espaces vectoriels normés définis sur un même corps commutatifKRouC), définie par : f~:sup xPEx0E}fpxq}F }x}Ep@fPLcpE;Fqq: Cette importante norme deLcpE;Fqest appelée " la norme subordonnée » aux normes} }EdeEet} }FdeF. viii

Table des matières

Préface

i

Notations

iv

Introduction

1

1 Généralités sur les espaces métriques et topologiques

2

1.1 Espaces métriques

2

1.1.1 Définitions et exemples

2

1.1.2 Quelques parties importantes d"un espace métrique

4

1.2 Espaces topologiques

5

Exercices

8

2 Etude de quelques notions de base en topologie générale

10

2.1 Voisinage d"un point ou d"une partie

10

2.2 Fermeture et adhérence

12

2.3 Intérieur, extérieur et frontière d"une partie

14

2.4 Parties denses et partout denses

16

2.5 Espaces séparés

16

Exercices

17

3 Les notions de limite et de continuité sur un espace topologique

20

3.1 Limite et valeur d"adhérence d"une suite

20

3.2 Limite d"une fonction et fonctions continues

21

3.2.1 Définitions et premiers résultats

21

3.2.2 Composition d"applications continues

23

3.2.3 Homéomorphismes d"espaces topologiques

23

3.3 Topologie induite - Sous-espaces topologiques

24

3.4 Un exemple important de sous-espaces homéomorphes deR

26

3.5 Topologie produit - Espace produit

28

3.5.1 Le cas d"un produit fini d"espaces topologiques

28

3.5.2 Le cas général

30
ix Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

4 Espaces métriques

32

4.1 Topologie associée à une distance

32

4.2 Caractérisation des voisinages et des ouverts d"un espace métrique

35

4.3 Limite et continuité dans un espace métrique

35

4.3.1 Limite et valeur d"adhérence d"une suite

35

4.3.2 Limite d"une fonction

36

4.3.3 Continuité et continuité uniforme

36

4.3.4 Fonctions lipschitziennes et fonctions contractantes

36

4.3.5 Isométries

37

4.4 Distance entre deux ensembles et diamètre d"un ensemble

38

4.4.1 Distance d"un point par rapport à un sous-ensemble d"un espace métrique

38

4.4.2 Distance entre deux sous-ensembles d"un espace métrique

38

4.4.3 Diamètre d"une partie d"un espace métrique

40

4.5 Formulation séquentielle

40

4.6 Distance induite et sous-espace métrique

43

4.7 Distance produit et espace produit

44

4.8 Distances équivalentes et topologiquement équivalentes

45

Exercices

47

5 Espaces complets

49

5.1 Suites de Cauchy

49

5.1.1 Quelques propriétés simples des suites de Cauchy

49

5.2 Espaces métriques complets

52

5.2.1 Quelques propriétés des espaces complets

52

5.3 Quelques grands théorèmes classiques sur les espaces complets

55

Exercices

59

6 Espaces compacts

61

6.1 Définitions et premières propriétés

61

6.2 Propriétés des espaces topologiques compacts

65

6.3 Caractérisation des espaces métriques compacts

67

6.4 Espaces totalement bornés

69

6.5 Compacité et continuité

70

6.6 Espaces localement compacts

76

Exercices

77

7 Espaces connexes

80

7.1 Définitions et premières propriétés

80
x

7.2 Continuité et connexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

7.3 Les parties connexes deR

83

7.4 Les composantes connexes d"un espace topologique

84

7.5 Espaces totalement discontinus

85

7.6 Produit fini d"espaces connexes

86

7.7 Connexité par arc

87

Exercices

88

8 Espaces vectoriels normés

89

8.1 Norme sur un espace vectoriel réel ou complexe

89

8.1.1 Définition et propriétés immédiates

89

8.1.2 Distance associée à une norme

90

8.1.3 Quelques exemples de notions sur une.v.ndécoulant de sa structure métrique

90

8.1.4 Normes équivalentes et topologiquement équivalentes

90

8.1.5 Exemples de normes surRnetCn

91
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