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La cryptographie RSA
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Rivest Shamir Adleman ou RSA est un algorithme asymétrique de cryptographie à clé publique très utilisé dans le commerce électronique et plus généralement
Comment coder en RSA ?
Protocole RSA pour le codage
e × d + m × (p – 1)(q – 1) = 1 Pour ce faire, elle peut utiliser un algorithme de calcul très connu depuis l'Antiquité (vers 300 ans avant Jésus-Christ) appelé algorithme d'Euclide. Elle calcule également n = p × q.Comment fonctionne l'algorithme RSA ?
Le cryptage RSA fonctionne en utilisant une paire de clés - clés publiques et privées - pour crypter et décrypter les données. La clé publique est utilisée pour chiffrer les données, tandis que la clé privée est utilisée pour déchiffrer les données.Quels sont les algorithmes de cryptographie ?
Algorithmes de cryptographie symétrique (à clé secrète)
Chiffre de Vernam (le seul offrant une sécurité théorique absolue, à condition que la clé ait au moins la même longueur que le message à chiffrer, qu'elle ne soit utilisée qu'une seule fois et qu'elle soit totalement aléatoire)DES.3DES.AES.RC4.RC5.MISTY1.- Le chiffrement est un procédé de cryptographie qui consiste à protéger des données qui sont alors incompréhensibles pour celui qui ne dispose pas de la clef du chiffrement.
The RSA Encryption Scheme
Suppose Alice wants her friends to encrypt email messages before sending them to her. Computers represent text as long numbers (01 for \A", 02 for \B" and so on), so an email message is just a very big number. The RSA Encryption Scheme is often used to encrypt and then decrypt electronic communications.General
Alice's Setup:
Chooses two prime numbers.
Calculates the productn=pq.
Calculatesm= (p1)(q1):
Chooses numberseanddso thatedhas a
remainder of 1 when divided bym.Publishes her public key (n;e).Example
Alice's Setup:
p= 11 andq= 3. n=pq= 113 = 33: m= (p1)(q1) = 102 = 20:Ife= 3 andd= 7, thened= 21 has a
remainder of 1 when divided bym= 20.Publish (n;e) = (33;3).
Bob encrypts a messageMfor Alice:
Finds Alice's public key (n;e).
Finds the remainderCwhenMeis divided
byn. Sends ciphertextCto Alice.Bob encrypts messageM= 14: (n;e) = (33;3).When 143= 2744 is divided by 33, the re-
mainder isC= 5.Sends ciphertextC= 5 to Alice.
Alice receives and decrypts ciphertextC:
Uses her private key (n;d).
Finds remainderRwhenCdis divided byn.
Rmatches the messageMthat Bob wanted
to send to Alice!Alice decrypts ciphertextC= 5: (n;d) = (33;7).When 57= 78125 is divided by 33, the re-
mainder isR= 14.R= 14 =M, the original message from Bob!
Questions
1. Callie wants to send the messageM= 13 to Alice. Using Alice's public and private keys,
calculate the ciphertextC, and the value forRwhen Alice recovers the message.2. Dexter wants to set up his own public and private keys. He choosesp= 23 andq= 19 with
e= 283. Finddso thatedhas a remainder of 1 when divided by (p1)(q1).Connection to the Real World
When your internet browser shows a URL beginning with https, the RSA Encryption Scheme is being used to protect your privacy. For
example, if you log in to Facebook, your computer plays the role of Alice and the Facebook server plays the role of Bob, encrypting and
decrypting the information passed back and forth. In practice, the primespandqare chosen to be very big numbers.
Mathematics is the foundation of modern encryption.For more Real-World Problems Being Solved by Mathematics, visit http://www.cemc.uwaterloo.ca/resources/real-world.html.
Solution:
1.Callie encrypts messageM= 13:
Alice's public key is (n;e) = (33;3).
WhenMe= 133= 2197 is divided by 33, the remainder isC= 19.Callie sends to Alice ciphertextC= 19.
Alice receives and decrypts ciphertextC= 19:
Alice uses her private key (n;d) = (33;7).
When 197= 893;871;739 is divided by 33, the remainder isR= 13.R= 13 =M, the original message from Callie!
2. Withp= 23;q= 19, we havem= (p1)(q1) = 22(18) = 396.
We want to nddso thated= 283dhas a remainder of 1 when divided bym= 396. One way to do this is by simple trial and error, increasing the value ofduntil 283ddivided by 396 leaves a remainder of 1.Remainder when d283d283dis divided by 39612832832566170
384957
41132340
51415227
61698114
719811
We see thatd= 7 works; that ised= 2837 = 1981 leaves a remainder of 1 when divided by 396.In general, trial and error could take a very long time, as the value ofdcould be a big number. Instead, an ancient technique called Euclid's Algorithm can be used to nddin the linear
Diophantine equation 283d+ 396y= 1.
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