[PDF] Fiche Méthode Fiche Méthode 2 : Unités et Unités et Unités et

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Fiche MéthodeFiche MéthodeFiche MéthodeFiche Méthode 2222 : : : : Unités et Unités et Unités et Unités et Analyse DimensionAnalyse DimensionAnalyse DimensionAnalyse Dimensionnnnnelleelleelleelle ---- 1/2 1/2 1/2 1/2

Le Système International d"Unités (SI)Le Système International d"Unités (SI)Le Système International d"Unités (SI)Le Système International d"Unités (SI) ::::

Le système interna

Le système internaLe système internaLe système international compte 7 UNITES DE BASEtional compte 7 UNITES DE BASEtional compte 7 UNITES DE BASEtional compte 7 UNITES DE BASE

Le

Le Le Le KILOGRAMMEKILOGRAMMEKILOGRAMMEKILOGRAMME (symbole (symbole (symbole (symbole : kg), unité de masse: kg), unité de masse: kg), unité de masse: kg), unité de masse

Le gramme a été introduit lors de l"unification des mesures régionales décidée pendant la Révolution française

(1795). Il était initialement défini comme la masse d"un centimètre cube d"eau à la température de 4 °C, ce qui

correspond à un maximum de masse volumique.

Ce n"est qu"en 1875 que l"unité de masse fut redéfinie comme " kilogramme », qui devint ainsi la seule unité du SI

incluant un préfixe multiplicateur. Pour l"occasion, on coula en 1889 un étalon en platine iridié à 10%. C"est la

masse de cet étalon, conservé depuis lors au Pavillon de Breteuil à Sèvres, qui définit désormais le kilogramme.

Cette définition est plus précise et permet de faire des mesures avec une précision atteignant 10

-6.

La La La La SECONDESECONDESECONDESECONDE (symbole (symbole (symbole (symbole : s), unité de temps: s), unité de temps: s), unité de temps: s), unité de temps

Elle a d"abord été définie comme la fraction 1/86400 du jour solaire terrestre moyen (1/60 minute = 1/60 heure =

1/24 jour...).

La seconde est maintenant définie (depuis 1967) comme la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation

correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins 3 et 4 de l"état fondamental de l"atome de césium 133.

La précision de la mesure d"une durée peut alors atteindre 10 -10.

Le Le Le Le METREMETREMETREMETRE (symbole (symbole (symbole (symbole : m), unité de longueur: m), unité de longueur: m), unité de longueur: m), unité de longueur

Le mètre a d"abord été définit comme le dix millionième de la longueur du quart du méridien terrestre, et a été

imposé à la population en remplacement des mesures " humaines » (pied/pouce) lors de la révolution française en

plaçant 16 mètres-étalons en marbre répartis dans les lieux les plus fréquentés de Paris.

Il est maintenant défini comme la distance parcourue par la lumière en 1/299792458 s, ce qui permet d"atteindre des

précisions de l"ordre de 10 -9.

L"L"L"L"AMPEREAMPEREAMPEREAMPERE (symbole (symbole (symbole (symbole : A), unité d"intensité du courant électrique: A), unité d"intensité du courant électrique: A), unité d"intensité du courant électrique: A), unité d"intensité du courant électrique

C"est l"intensité du courant constant qui, s"il est maintenu dans deux conducteurs linéaires et parallèles, de

longueurs infinies, de sections négligeables, et distants d"un mètre dans le vide, produirait entre ces deux

conducteurs, une force égale à 2×10 -7 newton par mètre linéaire... compliqué...

Le Le Le Le KELVINKELVINKELVINKELVIN (symbole (symbole (symbole (symbole : K), unité de : K), unité de : K), unité de : K), unité de température thermodynamiquetempérature thermodynamiquetempérature thermodynamiquetempérature thermodynamique

C"est la fraction 1/273,16 de la température thermodynamique du point triple de l"eau (coexistence des trois phases

liquide, solide et vapeur).

La La La La MOLEMOLEMOLEMOLE (symbole (symbole (symbole (symbole : mol), unité de quantité de matière: mol), unité de quantité de matière: mol), unité de quantité de matière: mol), unité de quantité de matière

C"est le nombre d"atomes présents dans 12g de carbone 12. On définit ce nombre comme étant la constante

d"Avogadro N

A = 6,02.1023.

LaLaLaLa CANDELACANDELACANDELACANDELA (symbole (symbole (symbole (symbole : cd), unité d"intensité lumineuse: cd), unité d"intensité lumineuse: cd), unité d"intensité lumineuse: cd), unité d"intensité lumineuse

La candela (du latin chandelle) est l"intensité lumineuse, dans une direction donnée, d"une source qui émet un

rayonnement monochromatique de fréquence 540.10

12 Hz (555nm dans le vide = maximum de sensibilité de l"œil

humain) et dont l"intensité énergétique dans cette direction est précisément 1/683 Watt par stéradian.

On remarque qu"il s"agit environ de l"intensité émise par une bougie standard, d"où son choix.

Quelques unités secondairesQuelques unités secondairesQuelques unités secondairesQuelques unités secondaires ::::

LeLeLeLes Constantes fondamentaless Constantes fondamentaless Constantes fondamentaless Constantes fondamentales ::::

Nombre d"Avogadro NNNNAAAA = = = = 6,022.106,022.106,022.106,022.1023232323 mol mol mol mol----1111

Constante des gaz parfaits R = R = R = R = 8,314 J.K8,314 J.K8,314 J.K8,314 J.K----1111.mol.mol.mol.mol----1111

Constante de Boltzmann kkkkBBBB = = = = 1,380.101,380.101,380.101,380.10----23232323 J.K J.K J.K J.K----1111

Constante de Planck h = h = h = h = 6,626.106,626.106,626.106,626.10----34343434 J.s J.s J.s J.s----1111

Vitesse de la lumière dans le vide c = c = c = c = 299299299299 792792792792 458 m.s458 m.s458 m.s458 m.s----1111 ≈ 3.10≈ 3.10≈ 3.10≈ 3.108888 m.s m.s m.s m.s----1111

Constante gravitationnelle G = 6,674 mG = 6,674 mG = 6,674 mG = 6,674 m3333kgkgkgkg----1111ssss----2222

Charge élémentaire e = 1,602.10e = 1,602.10e = 1,602.10e = 1,602.10----19191919 C C C C Constante de Faraday F = 96500 C.molF = 96500 C.molF = 96500 C.molF = 96500 C.mol----1111 Masse de l"électron mmmmeeee = 9,109.10 = 9,109.10 = 9,109.10 = 9,109.10----31313131 kg kg kg kg Masse du proton mmmmpppp = 1,673.10 = 1,673.10 = 1,673.10 = 1,673.10----27272727 kg kg kg kg Masse du neutron mmmmnnnn = 1,675.10 = 1,675.10 = 1,675.10 = 1,675.10----27272727 kg kg kg kg

Permittivité du vide εεεε0000 = 8,85.10 = 8,85.10 = 8,85.10 = 8,85.10----12121212 kg kg kg kg----1111mmmm----3333AAAA2222ssss4444

Perméabilité du vide μμμμ0000 = 4π.10 = 4π.10 = 4π.10 = 4π.10----7777 H.m H.m H.m H.m----1111

Alphabet grecAlphabet grecAlphabet grecAlphabet grec ::::

α alpha η êta ν nu τ tau

β bêta θ, Θ thêta ξ, Ξ ksi ou xi υ, Υ upsilon γ, Γ gamma ι iota ο omicron φ, Φ phi δ, Δ delta κ kappa π, Π pi χ khi ε epsilon λ, Λ lambda ρ rho ψ, Ψ psi

Préfixes multiplicateursPréfixes multiplicateursPréfixes multiplicateursPréfixes multiplicateurs ::::

FacteurFacteurFacteurFacteur 10101010 101010102222 101010103333 101010106666 101010109999 1010101012121212 1010101015151515 1010101018181818 1010101021212121 1010101024242424

SymboleSymboleSymboleSymbole da h k M G T P E Z Y NomNomNomNom deca hecto kilo mega giga tera peta exa zetta yotta

Facteur

FacteurFacteurFacteur

10101010 10101010----2222 10101010----3333 10101010----6666 10101010----9999 10101010----12121212 10101010----15151515 10101010----18181818 10101010----21212121 10101010----24242424

SymboleSymboleSymboleSymbole d c m μ n p f a z Y NomNomNomNom deci centi milli micro nano pico femto atto zepto yocto

GrandeurGrandeurGrandeurGrandeur Unité (symb)Unité (symb)Unité (symb)Unité (symb) DimensionDimensionDimensionDimension

Vergence Dioptrie (δ) LLLL----1111

Fréquence Hertz (Hz) TTTT----1111

Force Newton (N) MLTMLTMLTMLT----2222

Energie Joule (J) MLMLMLML2222TTTT----2222

Puissance Watt (W) MLMLMLML2222TTTT----3333

Pression Pascal (Pa) MLMLMLML----1111TTTT----2222

Charge Coulomb (C) ITITITIT

GrandeurGrandeurGrandeurGrandeur Unité (symb)Unité (symb)Unité (symb)Unité (symb) DimensionDimensionDimensionDimension

Tension Volt (V) MLMLMLML2222TTTT----3333IIII----1111 Résistance Ohm (Ω) MLMLMLML2222TTTT----3333IIII----2222 Conductance Siemens (S) MMMM----1111LLLL----2222TTTT3333IIII2222 Capacité Farad (F) MMMM----1111LLLL----2222TTTT4444IIII2222 Champ magnétique Tesla (T) MTMTMTMT----2222IIII----1111 Flux magnétique Weber (Wb) MLMLMLML2222TTTT----2222IIII----1111 Inductance Henry (H) MLMLMLML2222TTTT----2222IIII----2222

Fiche Méthode Fiche Méthode Fiche Méthode Fiche Méthode 2222 : : : : Unités et Analyse Dimensionnelle Unités et Analyse Dimensionnelle Unités et Analyse Dimensionnelle Unités et Analyse Dimensionnelle ---- 2222/2/2/2/2

LLLL"analyse dimensionnelle"analyse dimensionnelle"analyse dimensionnelle"analyse dimensionnelle ::::

Il s"agit d"un outil important, car elle permet notamment de contrôler la validité d"une expression littérale

Dimension et UnitéDimension et UnitéDimension et UnitéDimension et Unité ::::

Il importe de faire la distinction fondamentale entre la DIMENSION d"une grandeur physique et son

UNITE. Par exemple, une distance a pour dimension une longueur, mais elle pourra s"exprimer dans diverses

Une grandeur purement numérique, comme le rapport de deux longueurs, est dite SANS DIMENSION, ou

ADIMENSIONNEE. Ainsi, un angle (dans le plan) est sans dimension bien qu"il ait une unité : le radian, le degré ou

le grade. Il est définit comme le rapport entre une longueur d"arc de cercle et le rayon du cercle (En effet, l = αR).

CONCLUSION : La dimension

d"une grandeur renseigne sur sa nature physique, C"est une caractéristique beaucoup plus générale que son unité Equation aux dimensionsEquation aux dimensionsEquation aux dimensionsEquation aux dimensions ::::

On constate que la dimension de n"importe quelle grandeur physique peut s"exprimer en fonction de

seulement sept dimensions. Ce choix n"est pas unique et les physiciens ont adopté sept dimensions de bases,

auxquelles sont associés des symboles dimensionnels :

Dimension Symbole Unité dans le SI

Masse M kg

Longueur L m

Temps T s

Intensité électrique I A

Température θ K

Intensité lumineuse J cd

Quantité de matière N mol

Attention, il faut absolument faire la distinction entre le symbole dimensionnel (très général), et le symbole

de l"unité (qui dépend du choix du système d"unité). On appelle alors équation aux dimensions l"écriture de la

dimension d"une grandeur physique en fonction des sept dimensions définies précédemment. Si G est cette

grandeur, sa dimension est notée entre crochet, par exemple s"il s"agit d"une longueur :

[G] se lit "[G] se lit "[G] se lit "[G] se lit " dimension de Gdimension de Gdimension de Gdimension de G » » » » et [G] = Let [G] = Let [G] = Let [G] = L

L"équation aux dimensions d"une vitesse v s"écrira : [v] = L.T[v] = L.T[v] = L.T[v] = L.T----1111

L"équation aux dimensions d"une grandeur sans dimension se note : [G] = 1[G] = 1[G] = 1[G] = 1

Pour établir l"équation aux dimensions d"une grandeur, on peut utiliser soit sa définition, ou une relation

qui la définit en fonction d"autres grandeurs de dimension connues.

Par exemple, quelle est l"équation aux dimensions d"une force ?... La première loi de Newton énonce le fait que la

force - appliquée à un point matériel - est proportionnelle à l"accélération et à la masse du corps :

F m a= ×?? ?

On en déduit de manière immédiate l"équation aux dimensions :

2F m a m a M L T-? ? ? ? ? ?= × = × = × ×? ?? ?? ? ? ? ? ??? ? ?

Exercice : Etablir l"équation aux dimensions de  La masse volumique ρ ?  La charge électrique q ?  L"énergie cinétique 21

2CE mv= ?

Homogénéité d"une expressionHomogénéité d"une expressionHomogénéité d"une expressionHomogénéité d"une expression ::::

On dit qu"une expression est HOMOGENE si elle est valable du point de vue de l"analyse dimensionnelle.

C"est le cas si :

 Les deux membres d"une égalité ont la même dimension  Les termes d"une somme ou d"une différence ont la même dimension  L"argument d"une fonction transcendante (sin, cos, tan, exp, ln...) est sans dimension

L"analyse de l"homogénéité constitue un puissant outil pour détecter une erreur, en vertu du fait qu"une

expression non homogène est nécessairement fausse. A la fin de tout calcul littéral, il est donc vivement

recommandé de vérifier l"homogénéité de l"expression obtenue. Bien sûr, il ne faut surtout pas avoir utilisé en cours

de calcul des valeurs numériques :

TOUJOURS RESOUDRE LITTERALEMENTTOUJOURS RESOUDRE LITTERALEMENTTOUJOURS RESOUDRE LITTERALEMENTTOUJOURS RESOUDRE LITTERALEMENT !!!!!!!!!!!!

ExerciceExerciceExerciceExercice :::: Analyser l"homogénéité des expressions suivantes :

1. 1 2 1 1

eqRR R= +, où eqR est la résistance équivalente à l"association parallèles de R1 et R2.

2.

()()expu t E t= -, où u(t) est la tension au cours du temps aux bornes d"un dipôle soumis à la tension E.

3. ( )2

0122x t gt v t= + +, où x(t) est l"abscisse d"un mobile lancé avec la vitesse v0 dans le champ de

pesanteur g (on sait que [g] = LT -2)

Un eUn eUn eUn exemple détailléxemple détailléxemple détailléxemple détaillé ::::

On trouve que la constante de temps dans un circuit RL est τ = R/L. Pour analyser l"homogénéité, on

dispose de la loi d"Ohm u = Ri et de la relation dans la bobine : diu Ldt=. Du point de vue dimensionnel, cela donne : [u] = [R] I et [u] = [L] I T -1 En combinant ces deux équations, on obtient directement : LTR Cela montre que notre expression de τ = R/L est forcément FAUSSE !

ATTENTION CEPENDANT : Une expression homogène n"est pas forcément juste. Autrement dit, rien ne permet

d"affirmer que la bonne réponse est l"inverse τ = L/R

ExerciceExerciceExerciceExercice :::: Vérifier l"homogénéité des expressions suivantes :

1.

2gTlp=, où T est la période des petites oscillations d"un pendule de longueur l.

2. τ = RC, où τ est la constante de temps d"une circuit RC

3. v fl=, où λ est la longueur d"onde (en m) pour une fréquence f et une vitesse v.

4. Equation différentielle

1duu Edtt+ =, vérifiée par la tension u(t) aux bornes d"un dipôle soumis à la

tension E.quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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