[PDF] TD dÉlectrocinétique : Régimes transitoires (2)

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TD d"´Electrocin´etique : R´egimes transitoires (2) ???Ex-TD/E4.3´Etude d"un circuit RC avec deux sources

At <0, le circuit ci-contre a atteint son r´egime permanent.`A l"instantt= 0, on ferme l"interrupteur.

1)Sans r´esoudre d"´equation diff´erentielle, d´eterminer les

comportements asymptotiques suivants : a)i(0-),i1(0-),i2(0-) etuC(0-) `a l"instantt= 0-. b)i(0+),i1(0+),i2(0+) etuC(0+) `a l"instantt= 0+. c)i(∞),i1(∞),i2(∞) etuC(∞) `a l"instantt=∞. Ci 2 ii 1qR1 E 1 xxxxxxxxxxxxxxx xxxxx uCR2 E 2

2)´Etablir l"´equation diff´erentielle v´erifi´ee paruC(t).

→En d´eduireuC(t). On poseraτ=R2R1C

R1+R2.

3)Sans calcul suppl´ementaire, donner les expressions dei1(t),i2(t) eti(t).

Solution Ex-TD/E4.3

1.a)•L"interrupteur ouvert imposei2(0-) = 0.

•La loi des noeuds conduit `ai(0-) =i1(0-).

•Le r´egime continu ´etant ´etablidepuis suffisamment longtemps pourt <0, le condensateur

se comporte comme un interrupteur ouvert. D"o`u :i(0-) =i1(0-) = 0

•Le condensateur ayant´et´e charg´e sous la tension continueE1, on en d´eduit queuC(0-) =E1

(Une simple loi des mailles donne le mˆeme r´esultat).

1.b)•Commela charge aux bornes d"un condensateur est une fonction continue du temps,

on a u

C(0+) =uC(0-) =E1

•Laloi des maillesdans la premi`ere branche (E1-R1i1(0+)-uC(0+) = 0) conduit `a : i

1(0+) = 0

•Laloi des maillesdans la seconde branche (E2-R2i2(0+)-uC(0+) = 0) conduit `a : i

2(0+) =E2-E1

R2 •Laloi des noeudsconduit `a : i(0+) =i1(0+) +i2(0+) =E2-E1 R2

TD d"´Electrocin´etique(Je27/11)2008-2009

1.c)•Lorsquet→ ∞, le condensateur est `a nouveau en

r´egime permanent continu : il se comporte comme un in- terrupteur ouvert, d"o`ui(∞) = 0 . On obtient le sch´ema ´equivalent ci-contre pour d´ecrire le comportement asympto- tique du circuit. •La loi dePouilletdonne imm´ediatement : i

1(∞) =-i2(∞) =E1-E2

R1+R2 i2 ii 1R1 E 1 xxxxxxxxxxxxxxx xxxxx uCR 2 E

2( )

A

M( )( )

( )= 0 •Et la loi des noeuds en termes de potentiels au pointAdonne : V

M-VA+E1

R1+VM-VA+E2R2+ 0 = 0

Soit :

u

C(∞) =VA-VM=R1E2+R2E1

R1+R2

2)On simplifie le circuit par une s´erie de transformations g´en´erateur deTh´evenin/ g´en´erateur

deNorton: C uCqR1 E 1R 2 E 2 xxxxxxxxxxxxxxx xxxxx xxxxx xxxxxxxxxxxxxxx C xxxxxR1u CqE1 xxxxxR1 xxxxxxxxxxxxxxx xxxxx xxxxxR2E2 xxxxxR2 C uCq xxxxxxxxxxxxxxx xxxxx xxxxx R1 E 1 xxxxxR1 R2 E 2 xxxxxR2 xxxxxxxxxxR1R2+ C uCq xxxxxxxxxxxxxxx xxxxx R1R2 xxxxxxxxxR1R2+R=

R1E2+R2E1R1R2+

xxxxxxxxxxxxxxxxE= xxxx xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxx xxxx xxxx xiA MA AA M MM •La loi des mailles dans le circuit ´equivalent final donne :

E-Ri-uC= 0?duC

dt+uCRC=ERC?duCdt+uCτ=Eτ(?) en posantE=R1E2+R2E1

R1+R2etR=R1R2R1+R2.

•La solution de (?) est de la formeuC(t) =uG(t) +uP, somme de la solution g´en´erale de

l"´equation diff´erentielle homog`ene (uG(t)) et d"une solution particuli`ere de l"´equation diff´erentielle

avec second membre (uP). •Ce second ´etant constant, on cherche une solutionuPconstante : u P=E •Ainsi : u

C(t) =Aexp?

-t +E=Aexp? -tτ? +uC(∞)1?

2http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com

2008-2009TD d"´Electrocin´etique(Je27/11)

•La constante d"int´egration se trouve grˆace aux conditions initiales : u

C(0+) =E1=A+E?A=R1(E1-E2)

R1+R2=uC(0+)-uC(∞)2?

D"o`u :

u

C(t) =R1(E1-E2)

R1+R2exp?

-tτ? +R1E2+R2E1R1+R2

3)Grˆace `a1?et2?:

u

C(t) = (uC(0+)-uC(∞))exp?

-t +uC(∞)

Or, toutes les grandeurs ´electriques de ce circuit d"ordre1 ´evoluent de la mˆeme mani`ere, c"est-

`a-dire suivant la loi temporelle : x(t) = (x(0+)-x(∞))exp? -t +x(∞)

Grˆace `a la question1), on trouve :

i

1(t) =E1-E2

R1+R2((

1-e-tτ))

i2(t) =E2-E1R1+R2+E2-E1R1+R2R

1R2e-tτ

i(t) =E2-E1R2e-tτ qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/3quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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