[PDF] TD dÉlectrocinétique : Filtres

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TD d"´Electrocin´etique : Filtres

???Ex-TD/E6.1FiltreOn consid`ere le filtre suivant (tension de sortievs1) :

1)Pr´evoir le comportement haute et basse

fr´equence de ce filtre. De quelle famille de filtre est-il voisin?

1?Filtre passe-bas

2?Filtre passe-haut

3?Filtre passe-bande

4?Filtre r´ejecteur de bande.

2)On exprime la fonction de transfert

H

1(jω) =Vs1

Vesous la forme :H1(jω) =

1 +jτ1ω

a+jτ2ωL"expression deaest :

1?a= 1 +R4

R22?a= 1 +R3R1

3?a=R1+R2+R3

R44?a= 1 +R2R43)L"expression deτ1est :

1?τ1= (R1+R2+R3)C

2?τ1= (R1+R2+R3+R4)C

3?τ1= (R2+R4)C

4?τ1= (R1+R2)C

4)L"expression deτ2est :

1?τ2=R3C2?τ2=R2(R1+R3)

R1+R2+R3C

3?τ2=?

R

1+R2+R3+(R1+R3)R2

R4? C

4?τ2=R2(R1+R3)

R1+R2+R3+R4C

5)Dans toute la suite de l"exercice, on fera

l"hypoth`ese queτ1?τ2 a. Le gain en d´ecibel du filtre sera not´eGdB(ω) et?le d´ephasage entre la tension de sortie et la tension d"entr´ee.

Donner une valeur (ou une expression) ap-

proch´ee du gain en d´ecibel et du d´ephasage dans l"intervalle de pulsationω?1

τ1?aτ2:

1?GdB(ω)≈0 et?≈0

2?GdB(ω)≈ -20log(a) et?≈π

2

3?GdB(ω)≈ -20log(a) et?≈0

4?GdB(ω)≈20log(a) et?≈ -π

6)Donner une valeur (ou une expression) ap-

proch´ee du gain en d´ecibel et du d´ephasage dans l"intervalle de pulsation1

τ1?ω?aτ2:

1?GdB(ω)≈0 et?≈0

2?GdB(ω)≈20log(ωτ1)-20log(a) et?≈π

2

3?GdB(ω)≈20log(ωτ2)+20log(a) et?≈π

2

4?GdB(ω)≈20log(ωτ1)-20log(a) et?≈

0

7)Donner une valeur (ou une expression) ap-

proch´ee du gain en d´ecibel et du d´ephasage dans l"intervalle de pulsation1

τ1?aτ2?ω:

1?GdB(ω)≈ -20logτ2

τ1et?≈0

2?GdB(ω)≈ -20log(a) et?≈0

3?GdB(ω)≈ -20log(ωτ2) et?≈0

4?GdB(ω)≈ -20log(ωτ2) et?≈ -π

8)Exprimer la relation entre la fonction de

transfertH

2(jω) =Vs2

VeetH1(jω) en fonction

des valeurs des ´el´ements du circuit. 1?H

1(jω) =R2R4H2(jω) +R1R3

R2R4+R3R4+R2R3+R1R4

2?H

1(jω) =H2(jω)

3?H

1(jω) =R3R4+R3H2(jω)

4?H

1(jω) =R2R4H2(jω) +R3R4

R2R4+R3R4+R2R3

TD d"´Electrocin´etique(Je08/01)2008-2009

???Ex-TD/E6.2Filtre `a structure de Rauch [d"apr`es Morellet/Grossart, p. 258] On r´ealise un filtre `a l"aide du montage suivant. L"amplificateur op´erationnel est suppos´e id´eal et en r´egime lin´eaire.

1)En d´eterminant la tension de sortie du filtre `a

basses et hautes fr´equences, d´eterminer la nature de ce filtre. +_e(t) Se=0 M R xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx vs B i-=0 i +=0 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx C1 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx R RA C 2

2)En utilisant le th´eor`eme deMillmanenAetB, ´etablir l"expression de la fonction de transfert

H du montage que l"on mettra sous la forme :H=H0

1 + 2mjωω0+?jωω0?

2en d´eterminantH0

ainsi que les expressions deω0etmen fonction deR,C1etC2.

On souhaite obtenir une fr´equencef0=ω0

2π= 5Hzet un facteur d"amortissementm=1⎷2.

On choisitR= 470 Ω.

3)Calculer les valeurs des capacit´esC1etC2.

4)Pour les valeurs num´eriques pr´ec´edentes, tracer le diagramme deBodeasymptotique (gain

et phase) ainsi que l"allure des courbes r´eelles. On utilisera comme variable la pulsation r´eduitex=ω

ω0.

???Ex-TD/E6.3Filtre actif (Ecole de l"Air 2004)

Le montage amplificateur ci-contre comporte

un amplificateur op´erationnel id´eal id´eal en r´egime lin´eaire. La tensione(t) est sinuso¨ıdale.

On utilisera la notation complexe.

1)Exprimer l"amplitude complexe du poten-

tielVBen fonction de celle du potentiel enS.

2)Exprimer l"amplitude complexe du poten-

tielVAenAen fonction de celles des potentiel enEetS, des admittancesY i=1Ziet deα. mc3) En d´eduire la fonction de transfertH=VS

E(o`uEest l"amplitude complexe de la force

´electromotricee(t) etV

Scelle de la tension de sortievs) en fonction des admittancesYiet de

4)On poseY

1=Y3=1RetY2=Y4=jCω.

Montrer queH

peut s"´ecrire sous la forme :H(jω) =A

1 + 2jmωω0-ω2ω20Donner les expressions deA,metω0.

R´eponse partielle :H

=VS E=Y1? (Y

1+Y2+Y3)Y3+Y4

Y3-Y3?11 +α-Y2

5) `A quelle condition a-t-on amplification du signal?

6)Tracer l"allure du diagramme deBode(pour le gain) des trois courbes correspondant aux

cas suivants :m= 0,1,m= 0,707 etm= 1.

2http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com

2008-2009TD d"´Electrocin´etique(Je08/01)

Solution Ex-TD/E6.1

1)2?;2)4?;3)1?;4)3?;5)3?;6)2?;7)1?;8)4?: AppliquerMillmanenA.

Solution Ex-TD/E6.2

1)•Puisqu"un condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert `a basses fr´equences

(1 Cω→ ∞siω→0), alorsVA=VBcar parcourue pari-= 0. CommeBest une masse virtuelle (pour un AO id´eal :VB=VE-=VE+=VM= 0), on en d´eduit queVA= 0. La loi des noeuds en termes de potentiels enAdonne :E -VA R+V S-VA R+V B-VA

R+0 = 0,

d"o`u :V

S=-E?vS(t) =-e(t)?H(ω= 0) =-1.

•Puisqu"un condensateur se comporte comme un interrupteur ferm´e `a hautes fr´equences (1

Cω→

0 siω→ ∞), on avs(t) =uBM= 0?H

(ω→ ∞) = 0. •Cl :Le filtre se comporte comme unfiltre passe-bas.

2)•Le th´eor`eme deMillmanappliqu´e au noeudAdonne :

V

A=ER+V

B R+V S

R+jC2ωVM

3

R+jC2ω?V

A=E+VB+VS

3 +jRC2ω1?

•Le th´eor`eme deMillmanappliqu´e au noeudBdonne : V B=V A

R+jC1ωVS+ 0

1

R+jC1ω?V

B=VA+jRC1ωVS

1 +jRC1ω2?

•CommeBest une masse virtuelle (cf1), on aV

B= 0 et1?et2?conduisent `a la relation :

E+VS

3 +jRC2ω+jRC1ωVS= 0?E+VS+ (3 +jRC1ω)jRC1ωVS= 0

?→H =VS

E=-11 + 3RC1(jω) +R2C1C2(jω)2(?)

•Par comparaison avec la forme canonique d"un filtre passe-basd"ordre 2, on obtient : H =H0

1 + 2mjωω0+?jωω0?

2??????H

0=-1

ω0=1R⎷C1C2m=32RC1ω0=32?

C1 C2

3)•De ce qui pr´ec`ede on tire deux relations liantC1etC2:

0=1

R⎷C1C2?C1C2=1R2ω203?etm=32?

C1

C2?C1C2=49m24?.

•On en tire :C1=m

3Rπf0= 32μFetC2=94m2C1=34mRπf0= 144μF

4)•La fonction de transfert peut s"´ecrire :

H =H01-x2+j2mx=j2mx+j(x2-1)=Hej?en posantx=ωω0. •On en d´eduit :H=1 ?(x2-1)2+ 4m2x2et?=π2-arctan?12m? x-1x?? car?=argH=argj-arg[2mx+j(x2-1)] =π2-arctan?x2-12mx? •La gain en d´ecibels est :GdB(ω) = 20logH=-10log[(x2-1)2+ 4m2x2] •Asymptote basses fr´equences :pourω?ω0?x?1, on a : G dB→GdB(ABF) = 0dB et?→?(0) =π qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/3

TD d"´Electrocin´etique(Je08/01)2008-2009

On en d´eduit que pourx?1, la courbe de r´eponse en gain en d´ecibels pr´esente une asymp-

tote horizontale de valeur 0dBet que la courbe de r´eponse en phase pr´esente une asymptote horizontale de valeur 180 •Asymptote hautes fr´equences :pourω?ω0?x?1, on a : G dB→GdB(AHF) =-40logx dB et?→?(∞) = 0

On en d´eduit que pourx?1, la courbe de r´eponse en gain en d´ecibels pr´esente une asymptote

de pente-40dB/dcpassant par l"origine et que la courbe de r´eponse en phase pr´esente une asymptote horizontale de valeur 0 •Pourω=ω0?x= 1, on aH =-jH02m=j1⎷2.

D"o`uGdB(ω0) = 20log1

⎷2=-3,0dBet?= 90◦. Rq :le fait queGdB(ω0)-GdB(max) =-3,0dBindique queω0repr´esente la pulsation de coupure du filtre.

±80±60±40±2002040

±1

±0.50.5 1 1.5 2y

(a)GdB(log(x))

00.511.522.53

±2 ±1 1 2

y (b)?(log(x))

Solution Ex-TD/E6.3

1)Pour un A.O. id´eal en r´egime lin´eaire,VB=V+=V-=VC. Alors, la Loi des noeuds en

termes de potentiels enCdonne : V M-VC r+V S-VC

αr+ 0 = 0 soit :VB=VC=VS

1 +α1?.

2)LaL.N.T.P.appliqu´ee au pointAs"´ecrit :

E -VA Z1+V S-VA Z2+V B-VA

Z3= 0?(Y1+Y2+Y3)VA=Y1E+Y2VS+Y3VB

Soit, grˆace `a1?:V

A=Y 1E+? Y2+Y3

1 +α?

VS

Y1+Y2+Y3

2?

3)Commei+= 0, laL.N.T.P.appliqu´ee enBs"´ecrit :

V A-VB Z3+V M-VB

Z4+ 0 = 0?VA=Y3+Y4

Y3VB1?---→VA=Y3+Y4

Y3V S

1 +α3?

2?3?---→Y

3+Y4 Y3V S

1 +α=Y

1E+? Y2+Y3

1 +α?

VS

Y1+Y2+Y3

?→H =VS E=Y1? (Y

1+Y2+Y3)Y3+Y4

Y3-Y3?11 +α-Y2

4?

4http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com

2008-2009TD d"´Electrocin´etique(Je08/01)

4)En utilisantY1=Y3=1RetY2=Y4=jCω, la fonction de transfert devient :

H =VS

E=1 +α1 +j(2-α)RCω-R2C2ω2

qu"on peut ´ecrire sous la forme :H(jω) =A

1 + 2jmωω0-ω2ω20

5? en posantA= 1 +α ,m= 1-α2etω0=1RC.

5)La forme canonique de la fonction de transfert est celle d"unfiltre passe-bas.

Mais un filtre passe-bas donc le facteur d"amortissement est param´etr´e par la valeur deαqui,

sur un certain intervalle, permet au moduleH(ω) de la fonction de transfert de passer par un maximum.

En effetH(ω) =|H

(jω)|=A? (1-ω2ω20)2+ 4m2ω2ω20= A ?f(X), en posantf(X)≡(1-X)2+ 4m2X=X2+ 2(2m2-1)X+ 1 etX≡ω2

ω20.

H(ω) passe par un maximum (Hmax) lorsquef(X) passe par un minimum, c"est-`a-dire lorsque, pourw=wm:df dX(Xm) = 2Xm+ 2(2m2-1) = 0?Xm= 1-2m2>0 ?→ωm=ω0?

1-2m2< ω0avec : 0< m <1⎷2

Dans ce cas (m <1⎷2), le filtre se comporte comme un amplificateur de tension.

6)•La courbe de r´eponse en gain revient `a tracer l"´evolutiondu gain en d´ecibels :GdB=

20logHen fonction de logx= logω

ω0:GdB= 20logA-10log((1-x2)2+ 4m2x2)•Les asymptotes `a basses fr´equences et `a hautes fr´equences `a cette courbes de r´eponses en gain

ont les ´equations suivantes :

ω?ω0GdB-→GdB(ABF) = 20logA

: droite horizontale passant par (0,20logA).

ω?ω0GdB-→GdB(ABF) = 20logA-40logx

: droite de pente-40dB/decpassant par (0,20logA).

±40±30±20±1010

20 ±1

±0.8 ±0.6 ±0.4 ±0.2 0.2 0.4 0.6 0.81y

(c)GdBpourm= 0,1,m= 0,707 etm= 1

±40±30±20±10010

±1quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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