[PDF] TD 02 (Chap. 01) – Oscillateurs harmoniques

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PCSI2019-2020,Lyc´eeLalan de, Bourg-en-BresseAlex andreAlles

TD02(C hap.01)- Oscillateursha rmoniques

IQuestionsdecours

1.Donnerlemod`eled el'osc illateurharmoniquenona morti. Quelleestl'´energiepotentielleassoci´ee ?Quediredeson´energie

m´ecanique?

2.Savoirretrouverlap´e riodesdesoscillations d'unpe ndulesimple.

3.Savoirr´esoudrel'´e quationdi↵´erentielled'unoscillateurharmo niquenonamo rti.

4.Savoirrepr´esentere tcommenterleportraitdephased'unosci llate urharmonique.

IIExercices

Ex1Oscillateurdesmol´eculesdiatomiq ues

Ladist ancequis´eparelesatomesd esmol´ec ulesdiatomiquesosc illeauto urd'unevaleurd'´e quilibre.P ourl'´etudedetellesvibrations

mol´eculaires,onutiliselemod`eledel'osc illate urharmoniquem´ecaniqu e(resso rtdelongueur`avidel0etdeco nstan tederaideurk).

Pourlebromured 'hydrog `ene(HBr),o`ule rapportentrelamassedel'atomedebromee tcelledel'atom ed'hydrog` eneest ´elev´e,on

peutadmettreque l'atomedebromeestfi xedans ler´ef´erentield'obse rvation etquel'atom ed'hydrog` eneoscill eautourdesa positi on

d'´equilibre,laquellesetrouve`aladis tancede141pmdel'atomede brome.

Calculerlaconstantederaide urkde l'oscillateurharmoniqueco rrespon dantsachantques afr´ equen cepropreestf0=7,674.10

13 Hz etque lamassede l'atom ed'hydrog`enees tmH=1,67.10 27
kg.

Ex2Diapason

Undia pasonvibre`alafr´equenced uLa4soitf=44 0Hz.Onmesuresurune photol 'amplitudedumo uvementde l'extr´e mit´edes

branches:A=0,5mm.

1.Quelleestlavitessema ximaled el'extr´ emit´e dudiapason ?

2.Quelleestl'acc´el ´erationma ximaledecepoint?

Ex3Oscillateur´elastiquevertical

Reprendrelependule´elas tique ressort´etudi´eencours(m asseaccroch´ee`aunressortdontl' autreextr´emit´e estfixe),maisen

consid´erantd´esormaisquel'ensembl eestverticaldansler´ef´erent ielterrestre .Enparticulier,exprimerlap´eriod epropredusy st`eme.

Ex4Pointmat´eriel reli´eentredeuxressortshorizon taux Ler´e f´erentielterrestreestsuppos´egalil´een .Unpointmat´erielM demasseme st attach´e`adeuxressort(1)e t(2)ho rizontauxdera ideursk1etk2,et delon gueurs `avi del0,1etl0,2reli´es`adeuxpoint sfixesA etBdistants de(l0,1+l0,2). Lepoi ntMglissesansfrot tem entlelongdel'axe(O x)`apartirde saposition d'´equilibre.Ilestrep´er´esurcetaxepa rsonab scissex=OM.

1.Justifierlapositiond'´eq uilibre enOdupoi ntM.

2.

Etablirl'´equationdi

´erentielledumouvementdeM.E nd´edu irelap´eriodedesoscill ations etlaraideurkduresso rt´equivalent`a

cetteassociation. 3.

Al'instantt=0, lepoin tmat´e rielestabandonn ´esansvitesseinitialedup ointM0d'abscissex0.D´ eterminerl'´equationhorairedu

mouvementx(t).

4.Onsupp osemaintenantquelesd euxressortssontidentiquesetquel amassem=1,00kgest d´eplac´eede 5,00cmversladro iteavec

uneforceh orizontalede1 0,0N.

4.a.Quelleestlap´eriod edesoscil latio nsunefoislamasselˆach ´ee?

4.b.Quelleserasapositio nauboutd e0,200s?

4.c.Undesre ssortsecas se.Quelleestla fr´eque ncedesnouvellesos cillations?

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Ex5Ali nearsimpleharmonic oscillatorI

Abl ockwhosemassmi s680gisfastened toaspringwhos esp ringco nstantkis65N/m.Th eblo ckispulled adistancex=11cm

fromits equilibriu mpositionatx=0o nafri ctionl ess horizontalsurfaceandreleasedfromres tatt=0.

1.Whatforcedoe sthespingexerto ntheblockjust beforethebl ockisreleased?

2.Whatarethean gularfreq uency,the frequency,andtheperi odoftheresultingoscillat ion?

3.Whatistheam plitude oftheosci llation?

4.Whatisthemaxim umsp eedoftheo scillationblock?

5.Whatisthemag nitudeo fthemaxi mumaccelerationofthebloc k?

6.Whatisthepha seco nstantforthe motion?

7.Whatisthemec hanica lenergyof thelinearoscillator?

8.Whatisthepot ential energyoft hisoscillatorwhentheblocki shalfwaytoitsend point ,thatis,when x=±

1 2 xm?

9.Whatisthekin eticen ergyofthe oscillatorwhenx=

1 2 xm?

Ex6Al inearsimpleharmonic oscillatorII

Att=0,thedisplacementx(0)ofthe block inaline aroscillatoris8,50cm.Itsv elocit yv(0)thenis 0.920m/s,anditsaccelerat ion

a(0)is+47 .0m/s 2

1.Whatarethean gularfreq uency!0andthefrequ encyf0ofthiss yste m?

2.Whatarethepha secons tantandtheamplitude ofthemotion ?

Ex7Oscillateurenpente

Soitunemasse mattach´e e`aunressortdelo ngu eur`avidel0etdeco nstan tederaideurK.Ce ttemasseglisse sansfrottementsu r

unsuppo rtinclin´ed'unan gle↵parrapport` al'horizontale.

1.D´eterminerl'´equationdi↵´erentieller´egissantlemouvem entdelamasse.

2.R´esoudrecette´equationdi ↵´erentielle.

3.Comparerlecasd'unoscil lateu rsursuppo rthorizontal,v ertical,d'inclinaisoninterm´ediai re.4.Reprendrelar´esolutionp ourle sjeux

decond itionsinitialessuivantes(donn ´eespourlalongueurl(t)dures sort): l(0)=l0; dl dt t=0 =v0. l(0)=l0+a; dl dt t=0 =0. l(0)=l0+a; dl dt t=0 =v0.

Ex8Saut`al '´elas tique

Unsaut eur`al'´elastique,mo d´elis ´eparunpointmat´erielMdemassem=70kgtombedepuisunpont(enA)avecun´elastique

accroch´eauxpieds.Pendan tles20prem iersm`etresdechute( jusqu'enB),l'´ elastiquen'estd'aucuneutilit´eetlesauteurestdonc en

chutelibre.

Apa rtirdupremierpas sageen B,l 'actiondel'´elastiquees tmod´e lisableparunressort,demassen´egligeab le,delon gueur

`avi del0=20 metderaid eurk=120Nm 1 Onn´eg ligetouslesfrottements.On imposeuner´e solution parlasecondeloideNewton!

1.D´eterminerlavitessedusauteure nB.

2.D´eterminerlahauteurtotaledech ute.

3.D´eterminerl'acc´el´erationmaxi malependantlesaut.

4.Critiquerlemod`eleutilis´ e

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IIIProbl`emes

Pb1Associationderessortsetressort ´eq uivalent

Oncherc he`arepr´esenterl' ensemb lededeuxressorts,deconstantesderaid eurk1etk2,d elongu eurs`avideidentiques,par unresso rt

unique´equiva lent.

1.Lesdeuxress ortssontas soci´esens´erie,c' est-`a-diremi sbout`aboutl'un`alasuited el'aut re.

1.aExprimerlaraideurkduresso rt´equivalent,en fonctiondek1etk2.

1.bLesressort ssontceuxdedeuxdyn amom`etresid entiques,qui s'´eti rentde10cmso usl'e↵etd'un etractionde10N. Quevautk?

1.cOnsub stitueausecondressort,unres sortdera ideurk2k1.Commenterlavaleurdekainsiobtenue.

1.dOnscin deunressortderaideur k1ennfra gme ntsidentiques.Quelleest laraideurdel'undecesressorts?Ens'in spirantdu

r´esultatpr´ec´edent,´etab lir,pouruntypederessortdonn´e,unegrandeu rcaract´eristiqueform´ee`ap artirdesaraide uretd esalongueur

`avi de.

2.Lesressorts sontd´esormaisasso ci´esenparall `ele,assembl´esensortequele ursallongementsrespectifssoien ttoujo ursidentiques.

2.aTrouverlarelationli antk`ak1etk2.

2.bCalculerkpourlesvaleursp r´e c´edentesde k1etk2.Quedevientksion choisitk2⌧k1?

3.Unemasselotte,de massem=1 00g,estattach´e e`aunress orthorizontaldontl'autreextr´ emit´e estfixe .Ellepeutgliss er,

pratiquementsansfrottement,surunpla nhorizontal,e toscilleainsiavecunep´eriod eT=2,4s.

3.aLemˆe meressort,toujoursd ispos´ehorizontale ment,maissesdeuxe xtr´emit´es´etantfixeset distantesdelalongueur`avide,on

fixelamass elotte aumilieuduressort:quelleestlano uvell ep´eriodeT 0 desoscill ations?

3.bEnvou sservantdel'ex ercice"Oscillateur ´el astiquevertical",leressort´et antdispos´everticalement,trouverlap´e riode.

Pb2Mesureduchampdepes ant eurterrestre

Peut-on`al'aided'unem asseet d'uneressort,acc ´eder`alamesure duchampdepesant eurte rrestre? 8quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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