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Mohamed El Founani2èmeannée baccalauréat

Lycée Ibn MajaSérie Sciences Physiques

Les systèmes oscillants :

Un système oscillant, est tout simplement un corps ou plusieurs corps, effectuent un mouvement d"aller-retour autour de son position d"équilibre.

Lors de cette étude, on remarquera une analogie entre les systèmes oscillants (le pendule élastique,

de torsion, pesant...) et les circuits (LC, RLC...). On parle des oscillateurs harmoniques.

Pendule élastique :

Pendule élastique horizontal :

Étude dynamique :

Sur un plan lisse on attache à l"extrémité d"un ressort de spires non jointives et de masse néglige-

able, un corps(S)de massem, on l"écarte de sa position d"équilibre, et on le lâche sans vitesse

initiale, le solide effectue donc un mouvement rectiligne oscillatoire. y i G -xm x m x O G y T R P ∆l=x

Étudions ce système dynamiquement :

Le système étudié :{(S)}

Bilan des forces :8><

P:Le poids du corps

⃗R:La réaction du plan ⃗T:La tension du ressort

Dans le référentiel terrestre supposée galiléen on associe le repère(Ox), On applique la deuxième

loi de Newton :

X⃗F=m⃗a

P+⃗R+⃗T=m⃗a

-kx=m¨x k m x+ ¨x= 0 1

C"est une équation différentielle linéaire du seconde ordre, sa solution s"écrit sous forme :

x=xmcos2π T

0t+φ

Où :

8>< :x mAmplitude maximale en (m) T

0La période propre des oscillations (s)

φPhase à l"origine des dates en (rad)

t x x m xm T 0

En dérivantxon trouve l"expression du˙x=v:

dx dt=d dt x mcos2π T

0t+φ

˙x=-xm2π

T

0sin2π

T

0t+φ

On posexm2π

T

0= ˙xm, on obtient :

˙x=-˙xmsin2π

T

0t+φ

Et en dérivant cette dernière on trouve l"équation de l"accélération : d˙x dt=d dt -˙xmsin2π T

0t+φ

¨x=-2π

T

0˙xmcos2π

T

0t+φ

On pose :

2π T

0˙xm= ¨xm, on obtient donc :

¨x=-¨xmcos2π

T

0t+φ

La périodeT0et la fréquencef0:

On a :

¨x=-¨xmcos2π

T

0t+φ

¨x=-2π

T 0 2 x mcos2π T

0t+φ

¨x=-2π

T 0 2 x 2 C"est l"équation caractéristique du mouvement rectiligne oscillatoire. On sait d"après l"équation différentielle que :

¨x=-k

m x

Par suite :

k m =2π T 0 2 T

20= (2π)2m

k T

0= 2πr

m k

C"est la période propre du pendule élastique en oscillations libres non amorties. La fréquence est

donc : f 0=1 T 0=1

2πr

k m Remarque :Sinest le nombre des oscillations effectuées par l"oscillateur (le pendule) pendant la durée∆t, alors : T

0=∆t

n

Détermination deφ:

Afin de déterminer la phase à l"origine des dates, on utilise les conditions initiales, soit la fonction

suivante : x=xmcos2π T

0t+φ

On a trois cas possibles, selon la représentation graphique dexen fonction du temps :

Cas 1 :

Si la représentation graphique est :

t x x m -xm

Àt= 0on ax=xm, c"est-à-dire :

x m=xmcos2π T

0×0 +φ

=xmcos(φ)

1 = cos(

La solution estφ= 0.

Cas 2 :

Si la représentation graphique est :

3 t x x m -xm

Àt= 0on ax= 0, c"est-à-dire :

0 =xmcos2π

T

0×0 +φ

=xmcos(φ)

0 = cos(φ)

La solution estφ=±π

2 . Dérivonsxet trouvons la réponse correcte : dx dt=d dt x mcos2π T

0t+φ

=-xm2π T

0sin2π

T

0t+φ

Àt= 0on a :dx

dt t=0=-xm2π T

0sin(φ)

Or cette expression doit être négative alors :sin(φ)>0 =⇒φ=π 2

Cas 3 :

Si la représentation graphique est :

t x x m -xm

Àt= 0on ax= 0, c"est-à-dire :

0 =xmcos2π

T

0×0 +φ

=xmcos(φ)

0 = cos(φ)

La solution estφ=±π

2 . Dérivonsxet trouvons la réponse correcte : dx dt=d dt x mcos2π T

0t+φ

=-xm2π T

0sin2π

T

0t+φ

4 t= 0on a :dxdt t=0=-xm2πT

0sin(φ)

Or cette expression doit être positive alors :sin(φ)<0 =⇒φ=-π 2

Étude énergétique :

E pp= 0 G

L"énergie cinétique :C"est l"énergie qu"un corps possède du fait de son mouvement, son unité

est Joules (J), elle est donné par la relation suivante : E c=1 2 mv2=1 2 m˙x2

L"énergie potentielle :C"est l"énergie que possède le corps potentiellement, et capable d"être

transformé en autre forme d"énergie, son unité est Joules (J), dans notre cas c"est la somme

de l"énergie potentielle du pesanteur, et potentielle élastique, en choisissant l"axe passant par le

centre d"inertieGcomme l"origine de l"énergie, on obtient :Epp=mg(z0-z0) = 0. Pour l"énergie

élastique, son expression est :

E pe=1 2 kx2+C

On prendEpe= 0lorsquex= 0, doncC= 0et :

E pe=1quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

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