[PDF] Lensemble N notions arihmétique t.c.international-2

Tronc Commun L'ensemble des entiers naturels - Notions sur l'arithmétique Corrigé de l'exercice 1 1. Soit nun entier naturel non nul 1er cas : Si nest pair : alors ( )2n k k= Îℕ donc ( )1 2 1n k k+ = + Îℕ et par suite ( ) ( )( )( )221 2 2 12 22 2n n k kk kk k k k+ = += +¢ ¢= = + Îℕ 2ème cas : Si nest impair : alors ( )2 1n k k= + Îℕ donc ( ) ( )1 2 1 1 2 2 2 1n k k k k+ = + + = + = + Îℕ et par suite ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )221 2 1 .2 12 2 1 . 12 2 3 12. 2 3 1n n k kk kk kk k k k+ = + += ´ + += ´ + +¢¢ ¢¢= = + + Îℕ D'où le résultat. 2. 22 13a n= + Puisque 22nest pair et 5est impair alors aest impair ( )( )( )3 21 1 1b n n n n n n n= - = - = + - (On sait que d'après le résultat de la question 1 que le produit de deux nombres consécutifs est pair) ( )1n n+est pair donc ( )( )1 1n n n+ -est pair càd 3b n n= -est pair ( )72 1c n= + On sait que ( )2 1n+est impair , càd ( )72 1n+est impair Donc le nombre cest impair .

Tronc Commun L'ensemble des entiers naturels - Notions sur l'arithmétique ( )223 12 11 2 1d n nn n nn n n= + += + + += + + + Puisque ( )1n n+est pair et 2 1n+ est impair Donc ( )1 2 1n n n+ + + est impair D'où dest impair. Corrigé de l'exercice 2 On a 2est pair donc 92est pair Et on a 6 est pair donc 96 est pair Et par suite 9 92 6+est pair. On a 17est impair donc 317 est impair Et on a 5 est impair donc 35 est impair Et par suite 3 317 5-est pair. On a 351est impair donc Et on a 208 est pair Et par suite 351 208´est pair. On a 37013 est impair Et on a 1375est impair Et par suite 37013 1375´ est impair Corrigé de l'exercice 3 Soit nÎℕ On a ( ) ( )12 8 2 6 4 2 6 4n n k k n+ = ´ + = ´ = + Îℕ donc 12 8n+est pair. On a ( ) ( )2 5 2 4 1 2 2 1 2 1 2n n n k k n+ = + + = + + = + = + Îℕ donc 2 5n+est impair. On a ( ) ( )4 6 2 2 3 2 2 3n n k k n+ = ´ + = ´ = + Îℕ donc 4 6n+est pair. On a ( ) ( )8 7 8 8 1 2 4 4 1 2 1 4 4 , 1n n n k k n avec n- = - + = - + = + = - Î ³ℕ donc 8 7n-est impair. On a ( )6 3 3 2 1n n+ = ´ + donc 6 3n+est impair ( produit de deux nombres impairs ).

Tronc Commun L'ensemble des entiers naturels - Notions sur l'arithmétique Corrigé de l'exercice 6 1. Montrons que : ( )11 2 .......2n nn++ + + = On pose 1 2 .......A n= + + + On peut écrire Asous la forme : ( )1 ........ 2 1A n n= + - + + + Donc ( ) ( ) ( )1 2 1 ........ 1A A n n n+ = + + + - + + + Donc ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 ...... 1 1n foisA n n n n n= + + + + + + = + Et par suite ( )12n nA+= 2. Montrons que ndivise le nombre ( )12n nS+- On a ( )( )( )1 11 2 .......2 2n n n nS na n+ +- = + + + + - c -à -d ( )12n nS n a+- = ´ Donc ndivise le nombre ( )12n nS+-. 3. Montrons que si nest impair alors Sest divisible par n Si nest impair alors ( )1n+ est pair c -à -d ( ) ( )1 2n k k+ = Îℕ Donc ( )12n nk n+= ´ et comme ( )12n nS n a+- = ´ alors ( )S n a k= - Et par suite Sest divisible par n. Corrigé de l'exercice 7 · Les nombres entiers naturels qui répondent à la question sont ceux dont la somme de leurs chiffres est divisible par 3 et dont les chiffres des dizaines sont 0ou 5. · Les nombres divisibles par 5 sont : 205 210 215 220 225 230 235 240 245 250255 260 265 270 275 280 285 290 295 · Les nombres divisibles par 3 parmi la liste précédente sont : 210 225 240255 270 285

Tronc Commun L'ensemble des entiers naturels - Notions sur l'arithmétique Corrigé de l'exercice 8 1. On a ( )( )( )( )( )( )( )224 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1A n n n n n n n= - = - = - + = - + + Donc 1n- , 1n+ et 21n+sont des diviseurs du nombre A 2. On a ( )( )( )21 1 1A n n n= - + + Donc : 1 , A, ( )( )21 1n n- + , ( )( )21 1n n+ +sont des diviseurs du nombre A. Corrigé de l'exercice 9 1. Montrons que AÎℕ On a : ( )( )( )( )( )2222 22 2 24A x y xx y x x y xy x yy x y= + -= + + + -= += + On a xÎℕet yÎℕdonc ( )4y x y+ Îℕ Et par suite AÎℕ 2. Montrons que Aest pair On a ( )4A y x y= + c -à -d ( )2 2A y x y= ´ +   Donc Aest pair 3. Montrons que Aest divisible par 4 On a ( )4A y x y= ´ +   Donc Aest divisible par 4. Corrigé de l'exercice 10 1. On pose 8a k= avec kÎℕ Et on cherche kde tel façon 0 76a£ £ Donc 0 8 76k£ £ Donc 7608k£ £ Donc 1902k£ £ Donc { }0,1,2,3,4,5,6,7,8,9kÎ

Tronc Commun L'ensemble des entiers naturels - Notions sur l'arithmétique Corrigé de l'exercice 13 On sait que : 3n³ et 3n-est multiple de 4 Donc il existe un entier naturel ktel que : 3 4n k- = Donc : 3 4n k= + Par suite : ( ) ( )( )222226 5 3 4 6 3 4 59 24 16 18 24 516 48 3216 3 216n n k kk k kk kk kk+ + = + + + += + + + + += + += + +¢= ( )23 2k k k¢= + + Îℕ D'où le résultat. Corrigé de l'exercice 14 1. On a pest un nombre premier tel que 2p>donc pest impair ps'écrit sous la forme ( )2 1p k k= + Îℕ Donc ( )( )22221 2 1 14 4 1 14 44 14 2 8pairp kk kk kk kk k- = + -= + + -= += ´ +¢ ¢= ´ = ´ Donc 21p- est multiple de 8 2. On a : 21 8p k¢- = Et puisque pest impair donc il est clair que 21p+ est pair donc 21 2p k¢¢+ = Et par suite ( )( )( )4 2 21 1 1 8 2 16p p p k k k k¢ ¢¢ ¢ ¢¢- = - + = ´ = ´ D'où 16divise 41p-.