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loi normale

Table des matières

1 loi normale

2

1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 2

1.2 activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 4

1.3 activité 3 : Utilisation de la Symétrie de la courbe de la loi normale et propriété des 3 écart-types 5

1.4 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 6

1.5 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 6

2 loi normale centrée réduite

7

2.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 7

2.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 10

2.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 10

3 changement de variables et loi normale centrée réduite

10

3.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 10

3.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 12

3.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 13

3.4 correction exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 approximation d"une loi binomiale par une loi normale

21

4.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 21

4.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 22

4.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 23

4.4 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 24

5 somme de lois normales indépendantes

26

5.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 26

5.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 27

5.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 28

5.4 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 29

6 évaluations35

6.1 évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 35

6.2 devoir maison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 36

6.3 corrigé devoir maison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 37

7 résumé de cours

39

7.1 loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 40

7.2 approximation d"une loi binomiale par une loi normale . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7.3 somme de deux lois normales indépendantes . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

8 tp42

8.1 TP : Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 43

8.2 TP : Loi normale et loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 45

8.3 TP : Loi normale et loi binomiale version 2 . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1

1 loi normale

1.1 activité 1

la répartition des notes à un examen est approximée par la courbe en cloche caractéristique d"une loi normale

ci dessous. On a déterminé qu"une loi normale de moyennem= 10et d"écart typeσ= 3convenait.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

note

On dit que la note l"examen est relativement bien approchée par une variable aléatoireXoùXsuit une loi

normaleN(10 ; 3). les valeurs possibles pourXsont dans l"intervalle]- ∞; +∞[

la probabilité queXsoit compris entre10et11est égale l"aire sous la courbe entre 10 et 11 soit?0,13

Principe de base:

Quels que soient les nombresaetb, aveca < b, la probabilité queXsoit compris entreaetbest donnée

Remarques:

•l"aire totale sous la courbe vaut 1

•la courbe admet la droite d"équationx= 10pour axe de symétrie

Questions :

Déterminer graphiquement et avec un logiciel, les valeurs des probabilités suivantes à 1% près.

1.p(X <10) =...

2.p(X >10) =...

4.p(X≥13)?...

8.p(X≥19)?...

15. la note est d"au moins 12 :

16. la note est de moins de 12 :

...17. la note est de plus de 8 :

18. la note est d"au plus 8 :

Réponses :

on estime graphiquement, grâce au principe de base et la remarque les valeurs des probabilités suivantes

et vérifier avec un logiciel ou une calculatrice ???0,26(symétrie) ???0,64 ???0,95(complément et symétrie) ???0,5(symétrie) ???0,63 ???0,37(complément)

7.p(X≥17)??

???0,01 ???0,99(complément) ???0,5(symétrie)

1.2 activité 2

une usine fabrique des rondelles, une rondelle est conforme si son diamètre appartient l"intervalle[ 89,4 ; 90,6 ]

1. On suppose que le diamètreX1d"une rondelle suit une loiN(90;0,5)

Quelle est la probabilité qu"une rondelle soit conforme à 1%près?

2. On suppose que le diamètreDd"une rondelle suit une loiN(90;σ1)

Quelle est la valeur deσ1pour que probabilité qu"une rondelle soit conforme soit d"environs 68 %?

3. On suppose que le diamètreDd"une rondelle suit une loiN(90;σ2)

Quelle est la valeur deσ2pour que probabilité qu"une rondelle soit conforme soit d"environs 95 %?

4. On suppose que le diamètreDd"une rondelle suit une loiN(90;σ3)

Quelle est la valeur deσ3pour que probabilité qu"une rondelle soit conforme soit de 99 %?

1.3 activité 3 : Utilisation de la Symétrie de la courbe de la loi normale et propriété des 3

écart-types

1. Il faut savoir que :

si une variable aléatoireXsuit une loi normale de moyennemet d"écart typeσ(σ >0) (a) Les valeurs deXsont toutes les valeurs de l"intervalle... (b) La courbe de la fonction de densité de probabilité a pour équationf:x?-→1

σ⎷2πe-12(x-mσ)2

Cette courbe admet pour axe de symétrie la droite d"équationx=m m x 68%

2σ-2σ

95%

3σ-3σ

99%
(d)p(X≥m) =...

2. On peut aussi en déduire que :

(b)p(X≥m+σ)?... (f)p(X≥m+ 2σ)?... (j)p(X≥m+ 3σ)?... (l)p(X≥m-3σ)?...

3. On sait que la variable aléatoireXsuit une loi normale de moyennem= 10etσ= 3

Déterminer sans calculatrice ni logiciel les probabilitéssuivantes ou déterminer les valeurs cherchées

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

note (h)p(X≥7)?... (i)p(X≥19)?... (n)p(X≥..) = 50% (p)p(X≥1)?... (q)p(X≥13)?...

4. On sait queXsuit une loi normale de moyennem= 100et d"écart typeσinconnu.

5. On sait queXsuit une loi normale de moyennem= 200et d"écart typeσinconnu.

6. On sait queXsuit une loi normale de moyennem= 300et d"écart typeσinconnu.

Sachant quep(X≥321)?0,5%, déterminerσ.

7. On sait queXsuit une loi normale de moyenneminconnue et d"écart typeσ= 5

1.4 à retenir

définition 1

A une????loi normaleN(m;σ)de????moyennemet????d"écart typeσcorrespond une unique courbe en cloche

mx représentative de la fonctionf:x?-→1σ⎷2πe-12(x-mσ)2 oùx?R,m?Retσ >0 Cette courbe admet pour axe de symétrie la droite d"équationx=m, elle admet un maximum enx=m définition 2:

La variable aléatoireXsuit une loi normale de moyennemet d"écart typeσ( on note :X≂N(m;σ))

signifie que :

L"ensemble des valeurs possibles deXest l"ensemble de tous les nombres réels :X?]- ∞; +∞[

est égale à "l"aire sous la courbe" en clocheN(m;σ)entreaetb X X et aussi?

Remarques :(admises)

(a) Quels que soientm?Retσ >0, l"aire "totale" sous la courbe vaut 1. (pourxallant de-∞à+∞) X

Aire= 1

la probabilité d"une "valeur isolée" est nulle b a f(x)dx(en terme d"intégrale)

1.5 exercices

(voir activité)

2 loi normale centrée réduite

2.1 activité

A. utilisation de la table de la loi normale centrée réduiteN(0 ;1)oùm= 0etσ= 1 une table de la loiN(0;1)est donnée FIG.1 ci après(précision de10-4)

1. cas de la forme

(indice : l"aire totale sous la courbe vaut 1 ) c. exprimerp(X≥t)en fonction deΠ(t)pourt?R d. déterminerp(X≥1,05)

2. cas de la forme

(indice : penser aux aires )

3. cas de la forme

d. déterminerp(X≥ -0,5)

4. lecture inverse

B. exemple d"application

1. la températureTdans une chambre froide suit une loiN(0 ;1)oùTest en degrés Celsius

a. déterminer la probabilité que la température soit comprise entre-1,5et1,5degrés corrigé activité A. utilisation de la table de la loi normale centrée réduiteN(0 ;1)oùm= 0etσ= 1 ???0,9332 p(X≥1,5) = 1-p(X <1,5) = 1-Π(1,5)?1-0,933?? ???0,0668 ???0,6915 ???0,3085 c.p(X≥t) = 1-p(X < t) = 1-Π(t) d.p(X≥1,05) = 1-p(X <1,05) = 1-Π(1,05)?1-0,8531?? ???0,1469

2. cas de la forme

???0,1359 ???0,2417 c. ???0,3413

3. cas de la forme

???0,0228 ???0,0668 c. p(X≥ -0,5) = Π(0,5)?? ???0,06915 ???0,2417 or on lit parlecture inversedans la table que :

Π(1,18) = 0,881

donc

Π(1,18) = Π(t)

donc ???t= 1,18 or on ne peut pas trouvertdirectement parlecture inversedans la table car 0,119 <0,5 : on a alors : (par symétrie) :1-Π(t) = Π(-t) = 1-0,119 = 0,881 donc

Π(-t) = 0,881

or

Π(1,18) = 0,881

donc

Π(1,18) = Π(-t)

donc ???t=-1,18 ??Π(t)-(1-Π(t)) = 0,881 ??2Π(t)-1 = 0,881 ??Π(t) = 0,9405 or on lit parlecture inversedans la table que :

Π(1,56)?0,9405

donc

Π(1,56)?Π(t)

donc ???t?1,56

B. exemple d"application

1. la températureTdans une chambre froide suit une loiN(0 ;1)oùTest en degrés Celsius

a. probabilité que la température soit comprise entre-1,5et1,5degrés : ???0,8664 ??Π(t)-(1-Π(t)) = 0,99 ??2Π(t)-1 = 0,99 ??Π(t) = 0,995 or on lit parlecture inversedans la table que :

Π(2,575) = 0,995(on interpole)

donc

Π(2,575) = Π(t)

donc ???t?2,575

2.2 à retenir

définition 3

la loi????N(0 ;1)de moyenne????m= 0et d"écart type????σ= 1est appelée loi????normale centrée réduite

0X t sont regroupées dans ce qu"on appelle la????table de la loi normale

FIG.1 :(valeurs approchées10-4)

remarques :(admises) (a) en général, on pose? (b)Π(t)est égal l"aire sous la courbe de-∞jusqu"atoùt?R propriété 1 :(admise) par symétrie de la courbe de la loi normaleN(0 ;1), on a les égalités suivantes pourt >0: X t

Π(t)1-Π(t)

0X t -tΠ(-t)

1-Π(t)

0X t

2t1Π(t2)-Π(t1)

soit????Π(-t) = 1-Π(t) (6)????Π(t1) = Π(t2)??t1=t2

2.3 exercices

3 changement de variables et loi normale centrée réduite

3.1 activité

A. Changement de variable pour se ramener une loiN(0 ;1)

1. principe :

supposons que le résultat de la note un examenXsuit une loiN(10 ;2) pour estimer cette valeur, on ne dispose pas de la table de la loiN(10 ;2)(on ne dispose que de la table de la loiN(0 ;1)). on procède alors unchangement de variablepour se ramener une loi normale centrée réduite : l"idée est de poser : ???Z=X-mσ=X-102où cette fois????Zsuit une loiN(0 ;1)(admis) revient calculer :p(X-10

2. exemples

calculer les probabilités suivantes 0,0001 près oùX≂N(10 ;2) b.p(X≥14)

B. Applications

1. une machine est réglée pour remplir des sacs de sucre de1000g

en réalité les sacs ne pèsent tous exactement1000gmais on suppose que la masseMd"un sac suit une

loiN(1000 ;20)

a. en utilisant un changement de variables, calculer les probabilités suivantes 0,0001 près et interpréter

les résultats dans le contexte iv.p(M≥1010)

2. on suppose que la valeurTdu Q.I. dans la population suit la loiN(100 ;15)

a. calculer les probabilités des événements suivants 0,0001 près i. le Q.I. est entre 85 et 11 ii. le Q.I. est supérieur 140 iii. le Q.I. est inférieur 70 b. i. touver la valeur du le Q.I. telle que 95% de la populationa un Q.I. inférieur cette valeur

3.2 à retenir

propriété 2 :(admises) si une variable aléatoire????Xsuit une loi normaleN(m;σ)oùm?Retσ >0 alors la variable aléatoire? ???Y=X-mσsuit une loiN(0 ;1)centrée réduite remarques :(admises)

a. un calcul de probabilité sur une loi normale quelconque revient un calcul de probabilité sur une loi

normale centrée réduite. b. si? il suffit de calculerp(X-m oùΠ(a-m

σ)est estimé avec la table de la loiN(0 ;1)

3.3 exercices

exercice 1 : Xsuit la loi normaleN(20;5), calculer les probabilités suivantes

2.p(X≥28)

3.p(X≥12)

exercice 2 : une entreprise dispose d"un parc de 150 camions. la distance parcourue par un camion dans une journée est une variable aléatoireX oùXsuit la loi normaleN(120;14)

calculer la probabilité qu"un camion, au cours d"une journée, parcourt une distance comprise entre 110 et

130 kilomètres (arrondir 0,001)

exercice 3 : dans une entreprise qui produit des bobines de fil pour de l"industrie textile, la longueur d"une bobine est une variable aléatoireXoùXsuit la loi normaleN(50;0,2)

1. calculer les probabilités suivantes

(a) la longueur de la bobine est inférieure 50,19m (b) la longueur de la bobine est supérieure 50,16m (c) la longueur de la bobine est comprise entre 50,16m et 50,19m interpréter le résultat trouvé exercice 4 :

Xsuit la loi normaleN(20;5)

déterminer la valeur du nombrea10-2près dans chaque cas.

3.4 correction exercices

corrigé exercice 1 : Xsuit la loi normaleN(20;5), calculer les probabilités suivantes

2.p(X≥28)

p(X≥28) = 1-p(X <28) p(X≥28) = 1-Π(1,6) ???p(X≥28)?0,0548

3.p(X≥12)

p(X≥12) =p(X-20

5≥12-205)

p(X≥12) =p(Z≥ -1,6)oùZsuit une loiN(0;1) p(X≥12) = 1-Π(-1,6) p(X≥12) = 1-(1-Π(1,6)) p(X≥12) = Π(1,6)) ???p(X≥12)?0,9452 corrigé exercice 2 : une entreprise dispose d"un parc de 150 camions. la distance parcourue par un camion dans une journée est une variable aléatoireX oùXsuit la loi normaleN(120;14)

calculer la probabilité qu"un camion, au cours d"une journée, parcourt une distance comprise entre 110 et

130 kilomètres (arrondir 0,001)

14)-Π(-1014)

14)-(1-Π(1014))

14)-1 corrigé exercice 3 : dans une entreprise qui produit des bobines de fil pour de l"industrie textile, la longueur d"une bobine est une variable aléatoireXoùXsuit la loi normaleN(50;0,2)

1. calculer les probabilités suivantes

(a) la longueur de la bobine est inférieure 50,19m (b) la longueur de la bobine est supérieure 50,16m il suffit de calculer la probabilité suivante :p(X≥50,16) p(X≥12) =p(X-50

0,2≥50,16-500,2)

p(X≥50,16) =p(Z≥0,8)oùZsuit une loiN(0;1) p(X≥50,16) = 1-Π(0,8) p(X≥50,16)?1-0,7881 ???p(X≥50,16)?0,2119 (c) la longueur de la bobine est comprise entre 50,16m et 50,19m interpréter le résultat trouvé p(50-a-50 a

0,2)-Π(-a0,2) = 0,9

a

0,2)-(1-Π(a0,2)) = 0,9

2Π(

a

0,2)-1 = 0,9

a

0,2) =0,9 + 12

a

0,2) = 0,95

on trouve par lecture inverse dans la table queΠ(1,645)?0,95 a

0,2)?Π(1,645)

a

0,2?1,645

a?0,2×1,645 ???a?0,329

???la probabilité qu"une bobine ait une longueur comprise entre 49,671m et 50,329m est d"environs 90%

corrigé exercice 4 :

Xsuit la loi normaleN(20;5)

déterminer la valeur du nombrea10-2près dans chaque cas. p(X-20

5) = 0,99oùZsuit une loiN(0;1)

a-20

5) = 0,99

on trouve par lecture inverse dans la table queΠ(2,33)?0,9901 a-20

5)?Π(2,33)

a-20

5?2,33

a?5×2,33 + 20 ???a?31,65 p(X-20

5) = 0,01oùZsuit une loiN(0;1)

a-20

5) = 0,01

on trouve par lecture inverse dans la table queΠ(2,33)?0,9901 donc (par symétrie de la courbe) :Π(-2,33)?1-0,9901?0,01 a-20

5)?Π(-2,33)

a-20

5? -2,33

a?5×(-2,33) + 20 ???a?8,35

4 approximation d"une loi binomiale par une loi normale

4.1 activité

1. Exemple de 10 lancers indépendants d"une pièce équilibrée

on lance 10 fois une pièce équilibrée avec indépendance des lancers, on noteXla variable aléatoire qui compte le nombre de "piles" obtenuparmi les 10 lancers (a) justifier pourquoiXsuit une loi binomiale et donner ses paramètres (c) Voici le diagramme en bâtons de la loi binomialeB(10;0,5),

ainsi que la courbe de la loi normaleN(m;σ)de même moyenne et de même écart type que la loi

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