loi normale
un calcul de probabilité sur une loi normale quelconque revient un calcul de probabilité sur une loi normale centrée réduite. corrigé exercice 1 : (87 page ...
Loi normale centrée réduite : Exercices Corrigés en vidéo avec le
Loi normale centrée réduite et graphique. Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite. On a tracé la courbe de Gauss.
TS Exercices sur les lois normales
Corrigé. Conseils : • Pour tous les exercices on utilise la Donc Z suit la loi normale d'espérance 0 et d'écart-type 1 (loi normale centrée réduite).
Sujet et corrigé mathématiques bac es obligatoire
https://www.freemaths.fr/corriges-par-theme/bac-es-mathematiques-france-metropolitaine-2018-obligatoire-corrige-exercice-1-probabilites-a-densite.pdf
Loi normale et approximations
Correction de l'exercice 5 △. Si X est de moyenne m et d'écart-type σ alors Y = X−m σ suit une loi centrée réduite. Donc si P[X ⩽ 165] alors. P[X−m σ.
Probabilités - Exercices corrigés
Exercice 3 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale N (500; 202). Pour Z une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite
Cours de probabilités et statistiques
Exercice : soit X de loi uniforme sur [010]. Calculer P[X < 3]
Exercices MQ - série 3 Question 1 Soit Z une variable qui suit une loi
Question 2 Soit Z une variable qui suit une loi normale centrée réduite : ~ (0 ; 1). Utilisez la notation symbolique pour les affirmations suivantes. Ensuite
MASTER 1 GSI - 2012/2013 CORRECTION Exercices Chapitre 5
la loi centrée réduite associée `a X. La variable aléatoire T = X − 120. 14 suit la loi normale centrée réduite N(0 1). On a alors p({110 ≤ X ≤ 130}) = p.
∫ ∫
Exercice 2. On considère une variable aléatoire X suivant la loi normale centrée réduite (d'espérance nulle et de variance égale à 1) et on note Φ la
Loi normale centrée réduite : Exercices Corrigés en vidéo avec le
Loi normale centrée réduite et graphique. Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite. On a tracé la courbe de Gauss.
loi normale
3 changement de variables et loi normale centrée réduite. 10. 3.1 activité . 4.4 corrigés exercices . ... 6.3 corrigé devoir maison .
loi normale - Lycée Les Iscles
corrigé activité. A. utilisation de la table de la loi normale centrée réduite N(0 ; 1) où m = 0 et ? = 1. 1. cas de la forme :.
Probabilités - Exercices corrigés
Exercice 3 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale N (500; 202). Pour Z une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite
Sujet et corrigé mathématiques bac es obligatoire
https://www.freemaths.fr/annales-mathematiques/bac-es-mathematiques-france-metropolitaine-2018-obligatoire-corrige-exercice-1.pdf
Cours et exercices corrigés en probabilités
2.8 Exercices corrigés . 2.12 Exercices corrigés . ... Calcul des probabilités avec la loi normale centrée réduite. Théoriquement si Z ?? N(0
Loi normale et approximations
Exercices : Martine Quinio. Exo7. Loi normale épaisseur qui suit une loi normale de paramètres m = 0.6mm et ? = 0.1. ... suit une loi centrée réduite.
Exercices corrigés de statistiques inférentielles – Tests dhypothèses
Donc par lecture inverse sur la table de la loi normale centrée réduite et interpolation linéaire on obtient : a. 0
Exercices et problèmes de statistique et probabilités
1.8 Lois de la somme de variables indépendantes connues . Corrigés des exercices . ... Dans la table de la loi normale centrée réduite on lit :.
2 Semestre Bruno Hérault Travail Dirigé n°5 Loi Normale - Corrigés
Page 1 sur 5. Exercice 1. 1°/ Traduction de la relation P (X 2) = 05793. Désignons par F la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite.
loi normale - ac-aix-marseillefr
>loi normale - ac-aix-marseille frhttps://www lyc-les-iscles ac-aix-marseille fr/spip/sites/www lyc-les · Fichier PDF
Loi normale centr ee r eduite : Exercices Fonction de Laplace
>Loi normale centr ee r eduite : Exercices Fonction de Laplace jaicompris com/ /loi-normale/loi-normale-centree-reduite-exerc · Fichier PDF
Loi Normale centrée réduite - u-bordeauxfr
>Loi Normale centrée réduite - u-bordeaux frhttps://www math u-bordeaux fr/~mchabano/Tab0 pdf · Fichier PDF
loi normale - Free
>loi normale - Freesite math free fr/bts/cours_bts_cgo/loi_normale pdf · Fichier PDF
Leçon 10 Exercices corrigés
>Leçon 10 Exercices corrigéshttps://perso math univ-toulouse fr/ledoux/files/2021/06/Exercice · Fichier PDF
Comment calculer la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite ?
La table de la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite donne : P (X < 1,06 ) = P U < = P (U < 2 ) = F ( 2 ) 0,9772 P (X < 1,06) = 0,9772 b) P ( X > 0,9985 ) C'est la surface hachurée suivante : La table de la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite donne :
Comment calculer la loi log-normale ?
Par ailleurs, la loi Gamma admet des mo-ments de tous ordres. En conséquence Rxd (p; ) =i'0(0) =p]0;1[ et 2 . Exercice 9(Loi log-normale). Une variable aléatoireXà valeurs réellesstrictement positives est dite de loi log-normale siY= ln(X)suit une loinormaleN(m; 2). Calculer l’espérance et la variance deXsim= 0et2= 1.
Comment calculer la loi exponentielle ?
mesure de Lebesgue sur]0;1[, appelée loi Gamma (p; )de paramètres(p;)(sip= 1, il s’agit de la loi exponentielleE()). En déduire les premier et secondmoments. Les retrouver par un calcul direct. xd=p
Probabilit´es - Exercices corrig´es
Y. Morel
Exercice 1SoitXune variable al´eatoire qui suit la loi uniforme sur [-5;15]. Calculer : a)P(X?2)Correction :
La fonction densit´e de probabilit´e de la loi uniforme sur [-5;15] estf(x) =115-(-5)=120, et donc,P(X?2) =? 2 -5f(x)dx=?x 20? 2 -5=220--520=720 b)P(-1?X?1)Correction :
De mˆeme qu"au a),P(-1?X?1) =?
1 -1f(x)dx=?x20? 1 -1=120--120=220=110 c)P(X?0)(-1?X?2)Correction :
P(X?0)(-1?X?2) =P?
201520= 2 15 d) SoitYla variable al´eatoire ´egale `aX+ 5
10. CalculerP(X?10)(Y?1).
Correction :
P(X?10)(Y?1) =P(X?10)?X+ 510?1?
=P(X?10)(X+ 5?10) =P(X?10)(X?5) P? (X?10)∩(X?5)?P(X?10)=P(5?X?10)P(X?10)=5
201520= 1 3 Exercice 2SoitXune variable al´eatoire qui suit la loi exponentielle de param`etreλ= 3.
Calculer :
a)P(X?2)Correction :
La fonction densit´e de probabilit´e de la loi exponentielle de param`etreλ= 3 estf(x) =λe-λx= 3e-3x,
et donc,P(X?2) =? 2 03e-3xdx=?
-e-3x?20=-e-3×2+e-3×0=-e-6+ 1 b)P(X?4)Correction :
P(X?4) = 1-P(X <4) = 1-?
4 03e-3xdx= 1-?
-e-3x?40= 1-? -e-12+e0? =e-12 1 c)P(2?X?4)Correction :
P(2?X?4) =?
4 23e-3xdx=?
-e-3x?42=-e-12+e-6 d)P(X?2)(X?4)Correction :
P(X?2)(X?4) =P?
e)P(X?122)(X?124)Correction :
P(X?122)(X?124) =P?
f) Soit deux r´eelsa >0 eth >0. Montrer que la probabilit´eP(X?a)(X?a+h) ne d´epend pas dea.
Correction :
P(X?a)(X?a+h) =P?
(X?a)∩(X?a+h)?P(X?a)=P(X?a+h)P(X?a) avec,P(X?a) = 1-P(X < a) = 1-? a 03e-3xdx= 1-?
-e-3x?a0= 1-? -e-3a+ 1? =e-3a et de mˆeme,P(X?a) =e-3(a+h), d"o`u,P(X?a)(X?a+h) =P(X?a+h) Cette probabilit´e ne d´epend donc effectivement pas dea. Exercice 3SoitXune variable al´eatoire qui suit la loi normaleN(500;202).PourZune variable al´eatoire qui suit la loi normale centr´ee r´eduite , on note et donnea=P(Z?0),
Exprimer en fonction dea,b,cetd, puis donner une valeur approch´ee de : a)P(X?520)Correction :
Le calcul peut se faire directement `a la calculatrice (`a utiliser donc pour v´erifier le r´esultat), mais
ici on doit exprimer cette probabilit´e en fonction des donn´eesa,b,cetdde l"´enonc´e. On doit donc se ramener `a la loi normale centr´ee r´eduite.Soit la variable al´eatoireZ=X-500
20; alorsZsuit la loi normale centr´ee r´eduiteN(0;1), et
P(X?520) =P?X-500
20?520-50020?
=P(Z?1) =c?0,8413 b)P(X?540)Correction :
P(X?540) = 1-P(X <540) = 1-P?X-50020<540-50020?
= 1-P(Z <2) = 1-d?0,0228
(carP(Z <2) =P(Z?2), pourZune variable al´eatoirecontinue). 2 c)P(460?X?540)Correction :
P(460?X?540) =P?460-50020?X-50020?540-50020?
=P(-2?Z?2) =P(Z?2)-P(Z?-2) =P(Z?2)-?1-P(Z?2)?
=d-? 1-d? = 2d-1?0,9544 d)P(X?500)(X?510)Correction :
P(X?500)(X?510) =P?
P(500?X?510) =P?500-500
20?X-50020?510-50020?
=P(0?Z?0,5) =P(Z?0,5)-P(Z?0) =b-a etP(X?500) =P?X-50020?500-50020?
=P(Z?0) = 1-P(Z <0) = 1-a.Ainsi,P(X?500)(X?510) =b-a
1-a?0,383
(On se rappelle pour ce dernier calcul que, la loi normale centr´ee r´eduite est sym´etrique, et donc,
a=P(Z?0) =P(Z?0) = 0,5). Exercice 4SoitXune variable al´eatoire suivant la loi normaleN(200;152). D´eterminer le r´eelu >0 tel queP(200-2u?X?200 + 2u) = 0,9.Correction :
On se ram`ene `a la loi normale centr´ee r´eduite : soit la variable al´eatoireY=X-20015qui suit
donc la loiN(0;1), alorsP(200-2u?X?200 + 2u) = 0,9??P?200-2u-200
15?X-20015?200 + 2u-20015?
= 0,9 ??P? -2u15?Y?2u15?
= 0,9 ??P? Y?2u 15? -P?Y?-2u15?
= 0,9 ??P? Y?2u 15? 1-P?Y?2u15?
= 0,9 ??2×P? Y?2u 15? -1 = 0,9 ??P? Y?2u 15? =1 + 0,92= 0,95A l"aide de la calculatrice, ou de la table de valeurs de la loinormale centr´e r´eduite, on trouve
queP(Y?1,65)?0,95.On doit donc avoir2u
15?1,65??u?1,65×152?12,375
Exercice 5SoitXune variable al´eatoire suivant la loi normaleN(μ;σ2). 3On donneμ=E(X) = 120.
D´eterminer l"´ecart-typeσtel queP(100?X?140) = 0,92.Correction :
On se ram`ene `a la loi normale centr´ee r´eduite : soit la variable al´eatoireY=X-120σqui suit
donc la loiN(0;1), alorsP(100?X?140) = 0,92??P?100-120
σ?X-120σ?140-120σ?
= 0,92 ??P? -20σ?Y?20σ?
= 0,92 ??P? Y?20 -P?Y?-20σ?
-= 0,92 ??P? Y?20 1-P?Y?20σ?
= 0,92 ??2P? Y?20 -1 = 0,92 ??P? Y?20 =0,92 + 12= 0,96.A l"aide de la calculatrice, ou de la table de valeurs de la loinormale centr´e r´eduite, on trouve
queP(Y?1,76)?0,96, et on doit donc avoir20σ?1,76??σ?201,76?11,36.
Exercice 6Surr´eservation d"une compagnie a´erienneUne compagnie utilise des avions d"une capacit´e de 320 passagers. Une ´etude statistique montre
que 5 passagers sur 100 ayant r´eserv´e ne se pr´esente pas `al"embarquement. On consid´erera ainsi que
la probabilit´e qu"un passager ayant r´eserv´e ne se pr´esente pas `a l"embarquement est de 0,05.
1. La compagnie accepte 327 r´eservations sur un vol.
SoitXla variable al´eatoire indiquant le nombre de passagers se pr´esentant `a l"embarquement. a. Quelle est la loi de probabilit´e suivie parX?Correction :
On r´ep`eten= 327 fois le tirage al´eatoire d"un passager. C"est une ´epreuve de Bernoulli dont
le succ`es est "le passager se pr´esente `a l"embarquement", ´ev´enement dont la probabilit´e est
p= 1-0,05 = 0,95.Ces r´ep´etitions sont identiques et ind´ependantes (on suppose que chaque personne se pr´esente
ou non `a l"embarquement ind´ependamment du choix des autres passagers). La variable al´eatoireXqui compte le nombre de passagers se pr´esentant `a l"embarque-ment, c"est-`a-dire le nombre de succ`es dans les 327 r´ep´etitions, suit donc la loi binomiale
B(327;0,95).
b. Par quelle loi normale peut-on approcher la loi deX? Les param`etres de la loi seront d´etermin´es `a 10 -2pr`es.Correction :
Commen= 327?30,np= 310,95?5 etn(1-p) = 16,35?5, d"apr`es le th´eor`eme de Moivre-Laplace, la loi de probabilit´e deXpeut-ˆetre approch´ee par la loi normale de param`etreμ=np= 310,65 et d"´ecart-typeσ=? np(1-p)?3,94. c. En utilisant l"approximation par la loi normale, calculerP(X?320). Penser vous que le risque pris par la compagnie en acceptant 327 r´eservations soit important?Correction :
4Avec cette approximation,
P(X?320)?P?X-310,65
3,94?320-310,653,94?
?P?X-310,653,94?2,37? ?Π(2,37)?0,99o`u on a utilis´e la fonction de r´epartition de la loi normale centr´ee r´eduite Π (dont les valeurs
sont donn´ees dans la table ou calcul´ees par la calculatrice). Le risque pris par la compagnie d"avoir plus de passagers quipr´esentent `a l"embarquement que de places r´eellement disponible est faible, il est inf´erieur `a 1%.2. Serait-il raisonnable pour la compagnie d"accepter sur ce mˆeme vol 330 r´eservations? 335
r´eservations?Correction :
En proc´edant de mˆeme, on trouve avec 330 r´eservations :P(X?320)?P?X-313,5
3,96?320-313,53,96?
?P?X-313,53,96?1,64? ?Π(1,64)?0,95 et, avec 335 r´eservations :P(X?320)?P?X-318,25
3,99?320-318,253,99?
?P?X-318,253,99?0,44? ?Π(0,44)?0,67Ainsi, avec 330 r´eservations, le risque qu"il y ait plus de passagers se pr´esentant `a l"embarque-
ment que de places disponibles reste inf´erieur `a 5%, tandis qu"avec 335 r´eservations ce risque
devient de l"ordre de 33% (environ 1 chance sur 3). Ce dernier cas paraˆıt alors d´ej`a bien moins raisonnable.3. La compagnie accepte 337 r´eservation sur ce mˆeme vol d"une capacit´e de 320 passagers.
310 personnes sont d´ej`a pr´esentes `a l"embarquement. Quelle est la probabilit´e que moins de
320 personnes se pr´esentent en tout `a l"embarquement?
Correction :
En proc´edant de mˆeme que pr´ec´edemment, avec 337 r´eservations, on recherche la probabilit´e
conditionnelle : P (X?310)(X?320) =P? (X?310)∩(X?320)?P(X?310)=P(310?X?320)P(X?310)
avec,P(310?X?320)?P?310-320,15
4?X-320,154?320-320,154?
?P? -2,54?X-320,154?-0,04?
?Π(-0,04)-Π(-2,54) ?1-Π(0,04)-(1-Π(2,54)) ?Π(2,54)-Π(0,04)?0,478 5 et de mˆeme,P(X?310)?P?X-320,15
4?310-320,154?
?P?X-320,154?-2,54? ?1-Π(-2,54)?1-(1-Π(2,54)) ?Π(2,54)?0,994Au final, on a donc,P(X?310)(X?320)?0,478
0,994?0,48.
Exercice 7Une entreprise fabrique des brioches en grande quantit´e.On p`ese les boules de pˆate avant cuisson. On noteXla variable al´eatoire qui, `a chaque boule de
pˆate, associe sa masse. On admet queXsuit la loi normale de moyenne 700 g et d"´ecart type 20 g.
1. Seules les boules dont la masse est comprise entre 666 g et 732 g sont accept´ees `a la cuisson.
Quelle est la probabilit´e qu"une boule, prise au hasard dans la production, soit accept´ee `a la
cuisson?Correction :
Une boule est accept´ee `a la cuisson si (666?X?732) dont la probabilit´e est : (666?X?732) =P?666-70020?X-70020?32-70020?
=P? -1,7?Y?1,6? o`uY=X-70020est une variable al´eatoire suivant la loi normale centr´eer´eduiteN(0;1), et
donc, en notant Π sa fonction d´e r´epartion, (666?X?732) = Π(1,6)-Π(-1,7) = Π(1,6)-(1-Π(1,7)) = Π(1,6)+Π(1,7)-1?0,90 Remarque : le calcul de(666?X?732)peut aussi se faire directement `a l"aide de la calcula-trice, n´eanmoins, cette d´emarche est `a connaˆıtre et estde plus incontournable pour la question
suivante.)2. D´eterminer le r´eel positifhafin que l"on ait :P(700-h?X?700 +h)?0,95.
Enoncer ce r´esultat `a l"aide d"une phrase.
Correction :
Avec les mˆemes notations qu"`a la question pr´ec´edente :P(700-h?X?700 +h) =P?700-h-700
20?X-70020?700 +h-70020?
=P? -h20?Y?h20?
?h 20? -h20? ?h 20?1-Π?h20??
= 2Π ?h 20? -1 et ainsi,P(700-h?X?700 +h)?0,95??2Π?h
20? -1?0,95 ??Π?h 20? ?0,95 + 12= 0,975 6 A l"aide de la table des valeurs de Π ou de la calculatrice, on trouve que Π(x)?0,975 d`es que x?1,89.On doit donc avoir
h20?1,89??h?1,89×20?37,8.
Ce r´esultat siginifie que plus de 95% des boules de pˆate ont une masse comprise entre 700-h?662,2g et 700 +h?737,8g.
3. On admet que 8% des boules sont refus´ees `a la cuisson. On pr´el`eve au hasard, successivement
et avec remise,nboules dans la production. On noteYnla variable al´eatoire qui, `a chaque pr´el`evement denboules, associe le nombre de boules qui seront refus´ees `a la cuisson. Cette variable al´eatoireYnsuit une loi binomiale.Dans le casn= 10,
a. calculer la probabilit´e d"avoir, parmi les 10 boules pr´elev´ees, exactement 3 boules refus´ees `a
la cuisson;Correction :
Y10suit la loi binomialeB(10;0,08), et donc la probabilit´e d"avoir, parmi les 10 boules pr´elev´ees, exactement 3 boules refus´ees `a la cuisson, est :P(Y10= 3) =?10
quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18[PDF] exercice corrigé maintenance préventive
[PDF] exercice corrigé masse salariale
[PDF] exercice corrigé masse volumique et densité seconde
[PDF] exercice corrigé mct mot pdf
[PDF] exercice corrigé métabolisme cellulaire
[PDF] exercice corrigé métaheuristique
[PDF] exercice corrigé mmc pdf
[PDF] exercice corrigé modulation d'amplitude pdf
[PDF] exercice corrigé moment de force
[PDF] exercice corrigé mouvement d un projectile pdf
[PDF] exercice corrigé mouvement d'un projectile
[PDF] exercice corrigé offre et demande
[PDF] exercice corrigé onduleur monophasé
[PDF] exercice corrigé onduleur triphasé