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Cours d'analyse numerique de licence de
mathematiquesRoland Masson
16 novembre 2011
1IntroductionObjectifs
Plan du cours
Exemples d'applications du calcul scientique
Debouches
Calendrier du cours
Evaluation
2Quelques rappels d'algebre lineaire en dimension nieEspaces vectoriels
Applications lineaires
Matrices
Transposition de matrices et matrices symetriques
Determinants
Normes matricielles
3Methodes directesMethode d'elimination de Gauss et factorisation LU
4Methodes iteratives5Solveurs non lineaires
Analyse numerique: objectifs
Analyse numerique: concoit et analyse mathematiquement les algorithmes a la base des simulations numeriques de la physiqueObjectifs du cours Introduction a quelques algorithmes de bases en calcul scientique Fondements mathematiques (complexite, stabilite, convergence, consistance, ...)Exemples d'applications et mise en oeuvre informatique sous scilab (TDs et TPs)Plan du cours
Resolution des systemes lineairesAx=b,A2 Mn,b;x2RnMethodes directes: methode d'elimination de Gauss, factorisation LU,
factorisation de CholeskiMethodes iteratives: methodes de Richardon, de Jacobi, de Gauss Seidel Resolution des systemes non lineairesf(x) = 0,f:Rn!RnMethodes de Newton Algorithmes d'optimisation:x= argminy2Rnf(y),f:Rn!RMethodes de descente selon le gradient Resolution des equations dierentielles ordinaires (EDO):y0=f(y;t), f:RnR!RnSchemas d'Euler explicite et impliciteReferences
Cours d'analyse numerique de Raphaele Herbin (Universite de Provence): Livre de Quateroni et al: \Methodes numeriques, algorithmes, analyse et applications", Springer, 2007.Domaines d'applications du calcul scientique
EnergieNucleaire
Petrole
Fusion nucleaire
Eolien, hydrolien, solaire, ...
Transport
Aeronautique
Spatial
Automobile
Environnement
Meteorologie
Hydrologie
Geophysique
Climatologie
Finance, Biologie, Sante, Telecommunications, Chimie, materiaux, ... Exemple de la simulation des reservoirs petroliersPetrole = huile de pierreBassin de paris
Exemple de la simulation des reservoirs petroliersReservoir: piege geologique rempli
d'hydrocarbures Exemple de la simulation des reservoirs petroliersEnjeux de la simulation
Prediction de la production
Optimisation de la production (ou du rendement economique)Integration des donnees
Evaluation des incertitudes sur la production
Debouches
Competences
Analyse numerique
Modelisation
Informatique
Metiers
Developpements de codes de calculs scientiques
Etudes en modelisation numerique
Ingenieur de recherches en calcul scientique
Chercheur academique en mathematiques appliquees
Employeurs
SSII en calcul scientique
EPIC: CEA, ONERA, IFPEN, BRGM, IFREMER, INRA, CERFACS, ... Industrie: EDF, EADS, Dassault, Michelin, Areva, Total, CGGVeritas, Thales, Safran, Veolia, Rhodia, ...Academique: Universites, CNRS, INRIA, Ecoles d'ingenieurs, ...Calendrier du cours
Cours en amphi biologie le mercredi de 17h a 18h30: semaines1,2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15TD et TP en M31/PV212-213 le jeudi de 15h a 18h15: semaines
2,3,5,7,8,10,11,12,13,14,15Un seul groupe en TD
salle M31A priori deux groupes en TP
salles PV212 et PV213 deuxieme groupe avec AUDRIC DROGOULEvaluation
Un examen partiel semaine 11 en cours: notePContr^ole continu: noteC= (C1 +C2)=2une interrogation ecrite en TD semaine 7: noteC1une interrogation ecrite en TP semaine 13: noteC2Un examen nal: noteF
Note nale: 0:4F+ 0:3P+ 0:3C
Espaces vectoriels
Denition d'un e.v. surK=RouC: ensemble E muni d'une loi de composition interne notee + et d'une loi d'action deKsurEnotee:telsque:(E;+) est un groupe commutatif1:x=x, ():x=:(:x) (associativite)(+):x=:x+:x,:(x+y) =:x+:y(distributivite)Exemple:Rne.v. surR(Cne.v. surC):x=0
B @x 1 x n1 CA,x+y=0
B @x 1+y1 x n+yn1 CA,:x=0
B @x1 xn1 C AFamilles libres, generatrices, base, dimension
Famille libre demvecteursv1;;vmdeE:P
mi=1ivi= 0)i= 08i= 1;;mFamille generatrice demvecteursv1;;vmdeE:E= Vectfv1;;vmgBase: famille libre et generatrice
Dimension (supposee nie): toutes les bases ont m^eme dimension appeleedimension de l'espace vectorielEnoteenUne famille libre denvecteurs est generatrice, c'est une baseUne famille generatrice denvecteurs est libre, c'est une base
Espaces vectoriels normes
Denition: e.v. muni d'une norme, ie une application deE!R+, noteex! kxksatisfaisant les proprietes suivanteskxk= 0)x= 0k:xk=jjkxkkx+yk kxk+kykUne norme denit surEune topologie d'espace metrique avec
d(x;y) =kxykLimite de suite de vecteurs:limk!+1vk=v,limk!+1kvkvk= 0Exemples de normes surRnkxk1=Pn i=1jxij;kxk2=Pni=1jxij21=2;kxk1= maxi=1;;njxij.En dimension nie toutes les normes sont equivalentes ie il existec;C>0
telles queckxk kxk?Ckxk(attentioncetCdependent den).Espaces vectoriels euclidiens
e.v. muni d'un produit scalaire ie une forme bilineaire symetrique denie positive noteeh:;:iSurRnle produit scalaire canonique esthx;yi=Pn i=1xiyikxk=hx;xi1=2est une norme appelee norme euclidienneApplications lineaires
f:E!F,f(:x) =:f(x),f(x+y) =f(x) +f(y)L(E;F) espace vectoriel des applications lineaires deEdansFL(E) espace vectoriel des applications lineaires deEdansEou
endomorphismes deEL(E);+;:;
anneau unitaire non commutatif munie de la loi decomposition des applicationsfg(x) =f(g(x))Noyau def, Ker(f) =fx2Etels quef(x) = 0g(sous e.v. deE)Image def, Im(f) =ff(x);x2Eg(sous e.v. deF)Endomorphismes deEinversibles:Application bijective ssi il existef12 L(E) telle queff1=f1f=Idfbijective,finjective: Ker(f) =f0gfbijective,fsurjective: Im(f) =E
Matrice d'une application lineaire
Bases e j;j= 1;;n deEet f i;i= 1;;m deFf2 L(E;F) telle quef(ej) =Pm i=1Ai;jfix=Pn j=1xjej2Ey=f(x) =Pm i=1 Pn j=1Ai;jxj f iX=0 B @x 1... x n1 CA2Rn,Y=0
B @y 1... y m1 CA2Rm,Y=AXRetenir que lesncolonnesjdeAsont donnees par les imagesf(ej)Espace vectoriel des matrices de dimensionm;n:Mm;n(a coecients dans
K=RouC)Matrices remarquables: diagonale, symetrique, triangulaires inferieure ou superieureExercice: produit de matrices versus composition
d'applications lineairesSoientE;F;Gdes e.v de dimensions resp.n,m,p,f2 L(E;F) et g2 L(F;G)Des bases etant donnees,fa pour matriceA2 Mm;netga pour matriceB2 Mp;mgfa pour matrice le produitBA2 Mp;ntel que
(BA)i;j=mX k=1Bi;kAk;jProduit de matrices:Mp;m Mm;n! Mp;nproduit matrice vecteur:Mm;n Mn;1! Mm;1produit scalaire de deux vecteurs: ligne . colonneM1;n Mn;1! M1;1produit tensoriel de deux vecteurs: colonne. ligneMn;1 M1;n! Mn;n
Exercice: changements de base pour les vecteurs et les matricesP: matrice de passage d'une base dans une autre ~ej=Pn k=1Pk;jek(colonnes de la nouvelle base dans l'ancienne)Changement de base pour les coordonnees des vecteurs:X=P~X.Changement de base pour les matrices des applications lineaires:X=P~X,
Y=Q~Yet~Y=~A~X,Y=AXimplique que
A=Q1AP:
Matrices carres inversibles
A2 Mn;n=Mnest inversible ssi l'une des proprietes suivantes est verieeIl existeA12 Mn;ntel queAA1=A1A=IAest injective ieAX= 0)X= 0Aest surjective ie Im(A) =fAX;X2Rng=RnA;B2 Mninversibles
(AB)1=B1A1Transposition de matrices
A2 Mm;n, on denitAt2 Mn;mpar
(At)i;j=Aj;ipour tousi= 1;;n;j= 1;;mProduit scalaire canonique de deux vecteurs (colonnes)X;Y2Rn: X tY=nX i=1X iYiMatrice carreeA2 Mnest symetrique ssi A t=ADiagonalisation d'une matrice carree symetriqueA2 MnLes valeurs propres surCd'une matrice reelle symetriqueAsont reelles et il
existe une base orthonormee de vecteurs propresFi2Rn,i= 1;;ntelle que AFi=iFiet (Fi)tFj=i;jpour tousi;j= 1;;nSiPest la matrice de passage de la base canonique dans la baseFi,
i= 1;:::;n, alors on a P 1=Pt et P tAP=0 B 10 0n1 C A Determinants denvecteurs dans un e.v.Ede dimensionn pour une base donneeUnique forme n-lineaire alternee surEvalant 1 sur la baseDet v1;;v;;v;;vn
= 0 (alternee)Antisymetrie: Det v1;;vi;;vj;;vn
=Det v1;;vj;;vi;;vnOn a donc aussi pour toute permutationdef1;;ng,
Det v 1;;vn = sign()Det v (1);;v(n)Determinant d'une matrice carreeA= determinant des vecteurs colonnes Det A = Det A :;1;;A:;n =X 2nn Y i=1sign()A(i);iProprietes du determinant
Les vecteurs colonnes deAsont libres ssi Det(A)6= 0DoncAest inversible ssi Det(A)6= 0Det(AB) = Det(A)Det(B) = Det(BA)Det(At) = Det(A)Developpement par rapport aux lignes ou aux colonnes
Det(A) =nX
i=1(1)i+jDet(A(i;j)) =nX j=1(1)i+jDet(A(i;j))Normes matricielles
Une norme matricielle sur l'e.v.Mnest une norme telle que kABk kAkkBkUne norme matricielle induite par une normek:ksurRnest la norme matricielle denie par kAk= sup X6=0kAXkkXkOn a pour une norme matricielle induite:kAXk kAkkXkpour tout X2RnExercice: exemples de normes induites
kAk1= SupX6=0kAXk1kXk1= maxi=1;;nPn j=1jAi;jjkAk1= SupX6=0kAXk1kXk1= maxj=1;;nPn i=1jAi;jjkAk2= SupX6=0kAXk2kXk2=(tAA)1=2 Convergence de la suiteAkpourA2 MnRayon spectral(A),A2 Mnest le module de la valeur propre maximale deAdansC.On admettra le lemme suivant:quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] Exercices de Licence - Analyse numérique 1 Normes matricielles
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