Le concours des hauteurs dun triangle
Les hauteurs AB
Médiatrice cercle circonscrit et médiane dun triangle
Si un point est sur la médiatrice d'un segment alors il est équidistant1 Illustration O est le point de concours des trois médiatrices du triangle ABC.
LES DROITES REMARQUABLES du triangle 1°) Médiatrices
Dans un triangle les trois médiatrices sont concourantes. Le point de concours s'appelle le centre du cercle circonscrit. Il n'est pas toujours à l'intérieur
THEME :
La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des Les médianes d'un triangle sont concourantes ; leur point de concours ( point ...
Droites remarquables dans un triangle - Rappels
Les médiatrices d'un triangle sont concourantes ; leur point de concours ( point d'intersection ) s'appelle « centre du cercle circonscrit » . Circonscrire (
SEMAINE DE LA GEOMETRIE
Pour les triangles obtusangles le point de concours des hauteurs et celui des médiatrices se trouvent en dehors du triangle. Les élèves devront.
3ème les droites remarquables du triangle fiche méthode
Théorème : Les médiatrices des côtés d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le centre du cercle circonscrit à ce triangle. II. Les hauteurs.
Fragments de géométrie du triangle
Les hauteurs d'un triangle sont concourantes. Définition 2.3. On appelle orthocentre d'un triangle le point de concourance de ses hauteurs. 2
Lycée Khar KANE/GOSSAS Discipline : Mathématiques Prof: M
Utiliser les droites remarquables pour démontrer que trois points sont Le point de concours de ces médianes est appelé centre de gravité du triangle.
Sur le pont de Feuerbach
Soit G le point de concours des médianes du triangle ABC; traçons AD'D< D; étant l'extrémité du diamètre DI. On sait que DA
Géométrie du triangle - Droites remarquables - pagesperso-orangefr
Propriété : Les trois médianes d’un triangle sont concourantes Ce point de concours est appelé le centre de gravité du triangle figurs : triangle trois médianes 8 ; 50° et 60 ° Conséquence : si une droite passe par le sommet d’un triangle et son centre de gravité alors c’est une médiane de ce triangle
Chapitre 20 : DROITES REMARQUABLES - Fatoux Matheux
Propriété : Le point de concours des médianes d’un triangle est son centre de gravité Il est situé au 2/3 de la médiane en partant du sommet Illustration : Tracez deux types de triangles Tracez les médianes Codez correctement votre figure Séance 2
Comment lire les démonstrations du concours des médianes ?
Voici cinq démonstrations du concours des médianes. Si on admet que les trois médianes sont concourantes il est possible de lire directement la première démonstration, sachant que, dans le triangle BCC 1, G est sur la droite des milieux (A’G) parallèle à (BC 1 ).
Comment savoir si les médianes sont concourantes ?
Si on admet que les trois médianes sont concourantes il est possible de lire directement la première démonstration, sachant que, dans le triangle BCC 1, G est sur la droite des milieux (A’G) parallèle à (BC 1 ). 2.a. Symétrie centrale Soit G le point d'intersection des médianes [AA’] et [BB’] d'un triangle ABC.
Comment appelle-t-on la médiane issue d’un sommet ?
Définition 1. Dans un triangle, on appelle médiane issue d’un sommet la droite passant par ce sommet et le milieu du côté opposé. Fig. 1. A ? milieu de [ B C]. Donc ( A A ?) médiane issue du sommet A. 2. Dans un triangle, les trois médianes sont concourantes Définition 2.
Comment se coupent les médianes d'un trapèze ?
Dans le trapèze, les diagonales BB'' et CC''et la médiane AA' se coupent en un point unique G. Les médianes du triangle A''B''C'' se coupent en un point unique G. Triangle ABC. Parallèles aux côtés opposés formant le triangle DFH. Il s'agit de montrer que la troisième médiane CC' passe par I. Médianes BB1 et CC1 des triangles bleux.
1 Mediatrice d'un segment
22 Cercle circonscrit a un triangle
43 Mediane d'un triangle
6 ?Geometrie :triangles, cercles, angles 1 3 lairea ce segmenten son milieu.AB I()RemarqueLe milieu d'un segment est toujours situe sur la mediatrice de celui-ci.???????1(Tracer la mediatrice d'un segment a la regle et a l'equerre).Pour tracer la mediatrice d'un segment avec la regle et l'equerre, il faut :
1. P lacerle milieude ce segment.2.T racerla perpendiculairea ce segment passant par le milieu.Illustration??????
?????1(Equidistance).Si un point est sur la mediatrice d'un segment, alors il estequidistant1des extremites de cesegment.
IllustrationDonnees Propriete ConclusionAB
IM()? ()est la mediatrice de[AB]M?()?AB
IM()AM=BM
D emonstration:[Repose sur le theoreme de Pythagore] On s'appuie sur les donnees de l'illustration precedente. Montrons queMA=MB. Etape1 :Le triangle MIAest rectangle enI; appliquons le theoreme theoreme de Pythagore : MA2=MI2+IA2doncMA=⎷MI
2+IA21. equidistant=≪situe a la m^eme (equi-) distance (-distant)≫
2 3 Etape2 :On fait de m ^emea vecle triangle MIBrectangle enI: MB2=MI2+IB2doncMB=⎷MI
2+IB2 Etape3 :Or, comme Iest le milieu de[AB]par construction de la mediatrice, alorsIA=IB; ainsiMB=⎷MI
2+IB2devientMB=⎷MI
2+IA2=MA.
mediatrice(). Demontrer que le trianglePABest isocele et preciser son sommet principal.?????2(Reciproque).Si un point estequidistantdes extremites d'un segment, alors il est situe sur la mediatrice de cesegment.
RemarqueCette propriete est lareciproquede la propriete precedente : c'est-a-dire, qu'elle fonctionne
dans l' ≪autre sens≫, comme le montre l'illustration suivante.Illustration Propriete reciproque
Donnees Propriete ConclusionABM
AM=BM?AB
I()MM?()ou()est la mediatrice du segment
[AB] D emonstration:[Utilise les losange] On reprend les donnees de l'illustration precedente. On construitNle symetrique deMpar rapport a la droite(AB).
Etape1 :Comme la sym etrieaxiale conserv eles longueurs et N, alors?MA=NAMB=NB.
Etape2 :Mais on sait aussi q ueMA=MB(d'apres les informations initiales) donc le quadrilatereMANB est un losange car il a 4 c^otes de m^eme longueur. Etape3 :Comme MANBest un losange, alors ses diagonales sont mediatrices l'une de l'autre; en parti- culier,(MN)est la mediatrice de[AB].Cest un cercle de centreOet[AB]est une corde2deC.
1.Justie rque OA=OB.
2. Qu edire alors de la m ediatricedu segmen t[AB]et du pointO? Justier.OBC
A2. corde d'un cercle :segment qui joint deux points situessurle cercle. En particulier, un diametre d'un cercle est ue
corde de ce cercle, au contraire du rayon. 3 3???????2(Tracer la mediatrice d'un segment avec le compas).Pour tracer la mediatrice d'un segment avec le compas, il faut
1.P ointersur l'une des extr emitespuis trac erun arc de cercle(derayon superieur a la moitie dusegment)de chaque c^ote du segment susamment grand2.Repeterl'etape precedente avec l'autre extremite du segment de maniere a obtenir deux couplesd'arcs de cercle secants.
3. T racerla dro itepassan tpar les deux p ointscr ees.Illustration2 Cercle circonscrit a un triangle
Illustration
La droite(d)est la mediatrice du c^ote[AB]et elle est une mediatrice du triangleABC.C BA(d)??????
?????3(Concourance des mediatrices).Dans un triangle, les trois mediatrices sontconcourantes3. IllustrationOest le point de concours des trois mediatrices du triangleABC.C B Aad Oe3. droites concourantes :droites qui se coupenten m^eme un point. Ce point commun est lepoint de concoursde droites.
4 3 emonstration:[Repose sur les proprietes d'equidistance de la mediatrice]ABCest un triangle non aplati et on note (A), mediatrice de[BC],(B), mediatrice de[AC],(C), mediatrice de[AB]. On suppose que(A)et(B)sont secantes en un pointOet l'objectif est de demontrer queO?(C). Etape1 :O?(A)doncOest equidistant de extremites du segment[BC], c'est-a-dire :OB=OC. Etape2 :O?(B)doncOest equidistant de extremites du segment[AC], c'est-a-dire :OA=OC.Etape3 :Comme ?OC=OB; (Etape1)
OC=OA; (Etape2), alorsOB=OA.
Etape4 :Comme OB=OA, alorsOest equidistant des pointsAetB, ce qui signie queOappartient a la mediatrice du segment[AB], c'est-a-direO?(C).Illustration
Le triangleABCest iciinscrit dansle cercleCcar ses sommets sont sur le cercle. On peut tout aussi bien dire que le cercleC estcirconscrit autriangleABC.OBC AC?????4(Point de concours des mediatrices d'un triangle).Le point de concours des mediatrices d'un triangle est lecentre du cercle circonscritau triangle.
Remarque3 points non alignes appartiennent donc toujours a un cercle : le cercle circonscrit au triangle
qu'ils forment. D emonstration:[admise]◻ IllustrationCest le cercle circonscrit au triangleABC. Son centreOest le point de concours des trois mediatrices du triangle.C B Aad Oe C avec les instruments de geometrie. On prendra des dimensions au choix pour le triangle. 5 3 IllustrationLa droite(D)est la mediane du triangleABCissue du sommentC,relative au c^ote[AB].C BA(D)??????
?????5(Concourance des medianes, centre de gravite).Les trois medianes d'un triangle sontconcourrantesen un point appelecentre de gravitedutriangle.
IllustrationLe pointGest le centre de gravite du triangleABCC B Ad e fG RemarqueLe centre de gravite d'un triangle est toujours situe a l'interieur du triangle. 1. (a) Construire le triangle GUSveriant :GU=9;5 cm,US=7 cm etGS=4 cm. (b) T racerles m edianesde ce triangle issues des som metsGetS. Ces deux medianes se coupent au point que l'on nommeraZ. 2. (c) Que repr esentele p ointZpour le triangleGUS? Justier. (d) Que repr esentela dro ite(ZU)pour le triangleGUS? Justier. (e) La droite (ZU)coupe-t-elle le c^ote[GS]en son milieu? Justier. 6quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33[PDF] abc est un triangle isocèle en a et de hauteur ah
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