[PDF] Baccalauréat C Orléans-Tours juin 1984

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EXERCICE14POINTS

Soit la suite numérique

(In)n?N?définie pour toutndeN?par : I n=1 n!? 1 0 (1-x)nexdx.

1.CalculerI1.

2.Par intégration par parties, exprimerInen fonction deIn-1pourn?2.

En déduire queIn=e-p=n?

p=01 p!pourn>1.

3.Majorer la fonctionx?-→(1-x)nexsur l"intervalle [0; 1].

En déduire le limite de la suite

(In)n?N?et montrer que : e=limn→+∞? 1+1

1!+12!+13!+···+1n!?

N.B.- on rappelle les notations suivantes :

0!=1 ; 1!=1 ; pourn>1,n!=1×2×···×n.

EXERCICE24POINTS

Soitkun réel différent de 0 et de 1. On considère trois points A, B etC deux à deux distincts tels que--→AC=k--→AB et les cerclesΓ1etΓ2de diamètres respectifs [AB] et [AC].

Une droiteΔnon perpendiculaire à (AB) et distincte de (AB), passant parA, recoupe les cerclesΓ1et

2respectivement en M et N.

1. a.Quelle est la position relative des droites (BM) et (CN)?

b.Pour quelle valeur dekles droites (BN) et (CM) sont-elles parallèles?

2.On suppose désormaiskfixé et différent de-1. Soit P le point d"intersection des droites (BN)

et (CM). a.Soithl"homothétie de centre P telle queh(B) = N. Démontrer queh(M) = C. Calculer le rapport de l"homothétiehen fonction du réelk(on pourra se servir des vecteurs--→BM et--→NC). b.Déterminer le réelαtel que

BP=α--→BN.

Quel est le lieu géométrique du point P lorsqueΔvarie?

En seplaçant dans le casoùk=2 et oùla distance ABest égale à6cm, donner les éléments

géométriques remarquables du lieu géométrique L de P, et faire une figure soignée.

PROBLÈME12POINTS

Partie A

Le baccalauréat de 1984A. P. M. E. P.

Soit?

O ;-→ı,-→??

un repère orthonormal direct du plan. Soitf1la fonction numérique de variable réelle définie par f

1(x)=-2x+?

3?x2-1?.

1. a.Étudier les variations def1.

b.SoitC1sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère?

O ;-→ı,-→??

. Démontrer queC1admet deux droites asymptotes, passant l"une et l"autre parl"origine et déterminer la position deC1par rapport à ces asymptotes. Préciser les tangentes àC1aux points d"abscisse - 1 et 1.

ConstruireC1(on prendra comme unité : 2 cm).

2.Soitf2la fonction numérique de variable réelle définie par

f

2(x)=-2x-?

3?x2-1?.

que la courbeC1?C2a pour équation x

2+4xy+y2+3=0.

Construire cette courbe que l"on noteraC.

PartieB

1.SoitSlatransformation duplan quiau pointMd"affixezfait correspondrele pointM?d"affixe

z ?telle que z 6

2(1+i)z.

Caractériser cette transformation. Trouver l"équation dela courbeHtransformée deCpar cette transformationS.

Donner la nature de la courbeHainsi obtenue.

2.En utilisant la définition bifocale d"une hyperbole montrerque l"image par une similitude

d"une hyperbole est encore une hyperbole. En déduire que la courbeHest une hyperbole dont on donnera les foyers (on précisera les coordonnées de ces deux points).

Orléans-Tours2juin 1984

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