[PDF] Baccalauréat C groupe 11 juin 1984

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?Baccalauréat C groupe 11juin 1984?

EXERCICE15POINTS

Soitz0=cos2π

5+isin2π5.

1.On poseα=z0+z40etβ=z20+z30.

a.Montrer que 1+z0+z20+z30+z40=0 et en déduire queαetβsont solutions de l"équation (1)X2+X-1=0. b.Déterminerαen fonction de cos2π 5. c.Résoudre l"équation (1) et en déduire la valeur de cos2π 5.

2.On appelle A0, A0, A0, A0, A0les points d"affixes respectives 1,z0,z20,z30,z40dans le plan affine

rapporté au repère orthonormé?

O ;-→u,-→v?

a.SoitHlepoint d"intersection deladroiteA1A4avecl"axe?

O,-→u?

.Montrerque

OH=cos2π5.

b.SoitCle cercle de centreΩd"affixe? -1 2? passant par B d"affixe (i). Ce cercle coupe l"axe

O,-→u?

en M et N. (On appellera M le point d"abscisse positive). Montrer que

OM=α,

ON=βet que H est le milieu de [OM].

c.En déduire une construction simple du pentagone régulier dont on connaît le centre O et un sommet A 0.

EXERCICE25POINTS

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé?

O ;-→ı,-→??

. Soit (E) l"ensemble des points du plan dont les coordonnées (x;y) vérifient l"équation

15x2+13y2-2xy?

3=768

et soitfl"application de Pdans P qui à un point M de coordonnées (x;y)associe M?de coordonnées?x?;y??tel que

?x ?=1

4?x+y?3?

y ?=1

4?-?3x+y?

1.Montrer quefest une similitude plane directe que l"on caractérisera. Déterminerf-1.

2.Déterminer une équation de (f(E)) et montrer que (f(E)) est une ellipse dont on précisera les

sommets, les foyers, et l"excentricité.

3.En déduire que (E) est l"ensemble des points M du plan tels queMF1+MF?1= 16 où F1et F?1sont deux points que l"on déterminera.

PROBLÈME10POINTS

1. Amiens, Rouen

Le baccalauréat de 1984A. P. M. E. P.

Partie A

On considère l"équation différentielle

y ?(x)-y(x)=x+2 (E)

1.Déterminer une fonction affineasolution de (E).

2.Montrer que siyest solution de (E), alorsy-aest solution d"une équation différentielle ho-

mogène du premier ordre. La résoudre.

3.Déterminer toutes les solutions de (E).

PartieB

Soitfla fonction numérique définie surRpar

f(x)=ex-x-3.

1.Étudier les variations de la fonctionf.

2.Soit (C) la courbe représentative defdans un repère orthonormé?

O ;-→ı,-→??

a.Montrer que (C)admet une asymptote D dont on précisera l"équation. Préciser laposition de la courbe (C) par rapport à cette asymptote. b.Construire (C) (unité : 2 cm).

3.Déterminer l"aireA(α) du domaine limité par (C), D et les droites d"équationx=0 etx=α,

avecα<0.

Calculer lim

4.Soitf1la restriction defà l"intervalle I = [0 ;+∞[.

a.Montrer quef1est une bijection de I sur un intervalle J que l"on précisera.

b.Étudier la continuité et la dérivabilité def-11. Construire sa courbe représentative (C?)

dans le repère?

O ;-→ı,-→??

c.Montrer que l"équationf1(x)=0 admet une solution unique que l"on encadrera par deux entiers consécutifs.

Partie C

Soitgla fonction définie par

g(x)=ln(x+3).

1.Étudier les variations deget construire sa courbe représentative dans un repère orthonormé·

(unité : 2 cm).

2.Soit(un)la suite définie par

?u0=1 u n+1=ln(un+3)?n?N. a.En utilisant la croissance deg, étudier le sens de variation de la suite(un). b.Montrer que la suite(un)est majorée par 2. c.En déduire que cette suite est convergente. Soit?sa limite.

Amiens, Rouen2juin 1984

Le baccalauréat de 1984A. P. M. E. P.

3.Soit(vn)la suite définie par

?v0=2 v n+1=ln(vn+3)?n?N. a.En utilisant la croissance deg, étudier le sens de variation de la suite(vn). b.Montrer que la suite(vn)est minorée par 1. c.En déduire que cette suite est convergente. Soit??sa limite.

4.Montrer que?=??.

a.Montrer que ?n?N?,vn-un=? vn-1 u n-11 t+3dt. b.Montrer que ?n?N, 0?vn-un?1 4n. c.En déduire une valeur approchée de?à 10-3près.

Amiens, Rouen3juin 1984

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