[PDF] Cours Bissectrices et Equidistance

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Cours de M. JULES v 2.0 Classe de Quatrième Contrat 8 Page 1 sur 12

NOM et Prénom 4ème

BISSECTRICES ET EQUIDISTANCE

" L'étude des Mathématiques est comme le Nil, qui commence en modestie et finit en magnificence. » Colton1

Eric Temple Bell2

I. ______________________________________________________2 II. ____________________________________________________________3

III. Trois propriétés de la bissectrice. ______________________________________________________4

IV. Reconnaître une bissectrice. __________________________________________________________7 V. Exercices récapitulatifs. ____________________________________________________________10

VI. Pour préparer le test et le contrôle. ____________________________________________________11

¾ Matériel usuel de géométrie : Compas, rapporteur, équerre et règle. ¾ Pré requis pour prendre un bon départ :

A refaire A revoir Maîtrisé

Symétrie axiale : axe de symétrie, propriétés de conservation.

Bissectrices : définition.

Bissectrices : construction au rapporteur ou au compas. Bissectrices : propriété angulaire caractéristique.

Equidistance.

Tangente à un cercle.

1 Charles Caleb Colton (1780 1832) : Ecrivain anglais.

2 Eric Temple Bell (1883

1960) : Mathématicien écossais.

Cours de M. JULES v 2.0 Classe de Quatrième Contrat 8 Page 2 sur 12

I. LE (SIXIEME).

A. Définition de la bissectrice :

Repasser en rouge le codage.

Par abus de langage, on dit que : " la bissectric » B. : ¾ Soit un angle MxAy. On veut tracer au compas la bissectrice de cet angle.

Construction au Compas.

Ó Tracer un arc de cercle de centre A.

Cet arc coupe le côté [Ax) en M et le côté [Ay) en N.

N Ó, l'un de centre

M, l'autre de centre N. Ces deux arcs se recoupent en un point I. O Tracer (AI). La droite (AI) est la bissectrice de MxAy.

Les 2 demi-

Traits de construction légers !

Codage !

Remarque : Cette construction au compas de la bissectrice utilise la propriété des diagonales du losange :

" Les deux diagonales du losange sont ses deux axes de symétrie ».

¾ Exercice :

1. Au compas, construire

MABC. 2. ?

3. Tracer [AC]. La droite verte coupe [AC] en M.

La bissectrice coupe-t-elle le côté [AC] en son milieu ?

Codage !

x A y C M A B

Figure et codage

C B A Cours de M. JULES v 2.0 Classe de Quatrième Contrat 8 Page 3 sur 12

II. IANGLE.

A. Bissectrices et triangle quelconque :

un triangle. On dit aussi " bissectrice relative à un sommet » : elle passe par ce sommet du triangle.

¾ Figure :

1. Tracer en rouge les 3 bissectrices du triangle ci contre (codages !).

Que remarquez-vous

Appelez I le point de concours rsection) de ces trois bissectrices.

2. Projeter perpendiculairement

Appeler M ce projeté orthogonal.

Tracer le cercle de centre I et de rayon IM.

Ce cercle, intérieur au triangle, semble-t-il tangent aux 3 côtés du triangle

B. Bissectrices et triangle isocèle :

principal est en même temps médiatrice, médiane et hauteur.

¾ Figure : Voici un triangle isocèle ABC.

Tracez en rouge la seule bissectrice qui est en même temps hauteur etc.

C. Bissectrices et triangle équilatéral :

!), alors les 3 bissectrices ¾ Figure : Voici un triangle équilatéral ABC dont on a tracé les trois bissectrices.

1. Montrer que (FC)

(AB).

2. Montrer que le point E est le milieu du segment [BC].

Codages !

B C A Cours de M. JULES v 2.0 Classe de Quatrième Contrat 8 Page 4 sur 12

III. TROIS PROPRIETES DE LA BISSECTRICE.

A. Propriété angulaire caractéristique de la bissectrice : Propriété angulaire caractéristique de la bissectrice : (3 résultats ou conclusions)

Quand MAMB alors M = M =

M 2

Autrement dit : rtage cet angle en

Remarque : Cette propriété est à rapprocher de la signification du mot " bissectrice » qui veut dire " bissecteur » c-à-d " qui

coupe un angle en deux secteurs (de même mesure) ».

Utilité : Cette propriété se

Figure :

¾ Application : Sur la figure ci-contre, on sait que MBUS = 56°. y M y Calcul des mesures des angles MBUT et MTUS : ¾ Exercice : Sur la figure codée ci-contre, on sait que MBAC = 50° et MACB = 80°.

Trouver la mesure de MAIC.

A M B P

Bissectrice de MAMB

A M B P S U B T A B C I Cours de M. JULES v 2.0 Classe de Quatrième Contrat 8 Page 5 sur 12 C BA D

B. Bissectrice et équidistance :

¾ Puisque la symétrie axiale conserve les longueurs, alors on peut affirmer : rice : Quand MKOL alors A est équidistant des 2 côtés de MKOL. c-à-d AM = AN.

Autrement dit

Utilité

Figure :

¾ Exercice : Soit un angle MABC et (BD) sa bissectrice (codage ?).

1. Projeter perpendiculairement le point D sur le côté (BA). Appeler M

ce projeté orthogonal de D sur (BA). Projeter perpendiculairement le point D sur le côté (BC). Appeler N ce projeté orthogonal de D sur (BC).

2. Justifier que DM = DN.

3. Tracer le cercle de rayon DM. Montrer que ce cercle est tangent au

AM = AN

A bissectrice de MKOL K O L A K O L A M N Cours de M. JULES v 2.0 Classe de Quatrième Contrat 8 Page 6 sur 12

C. : Cercle inscrit.

¾ (page précédente) et à sa réciproque (p.7), on peut montrer les propriétés suivantes : X

Y cercle inscrit au triangle ABC.

R Ce cercle inscrit est tangent aux 3 côtés du triangle.

Autrement dit, le centre I du cercle inscrit à un triangle est équidistant des 3 côtés de ce triangle.

Autrement dit, IN = IM = IP.

[ Figure :

Placez tous les codages manquants.

¾ 2 remarques :

N Attention : une bissectrice coupe-t-elle forcément le côté opposé en son milieu !

¾ Application :

1. Construire en rouge, à la règle et au compas, le centre K du cercle inscrit au triangle CAT ci-dessous.

2. Que peut-on dire des distances du point K à chacune des droites (AC), (AT) et (CT) ? Justifier.

3. Projeter K perpendiculairement sur les trois côtés [AT], [AC] et [CT] du triangle respectivement en P,

Q et R. Que peut-on dire des longueurs KP, KQ et KR ? Justifier.

4. Tracer le cercle inscrit au triangle CAT.

Codages !

A B C M N P I P T A C Cours de M. JULES v 2.0 Classe de Quatrième Contrat 8 Page 7 sur 12 A bissectrice de MKOL

IV. RECONNAITRE UNE BISSECTRICE.

A. : La réciproque de la propriété angulaire de la bissectrice existe : Réciproque de la propriété angulaire caractéristique de la bissectrice : Quand

MBMP = MPMA

( ou MBMP = MBMA/2 ) alors (M

Autrement dit

Utilité

Figure :

¾ Conséquence : Puisque la propriété angulaire directe et sa réciproque sont vraies, on dit que cette propriété angulaire

caractérise la bissectr B. :

Réc :

Quand un point A est équidistant des 2 côtés de MKOL. c-à-d AM = AN alors A est sur la bissecMKOL

Autrement dit

Utilité

Figure :

¾ Conséquence

métrique caractérise la bissectrice. En gros, dés que vous avez une bissectrice, il faut penser à équidistance avec les côtés de

A M B P A M B P

Bissectrice de MAMB

AM = AN

K O L A M N K O L A M N Cours de M. JULES v 2.0 Classe de Quatrième Contrat 8 Page 8 sur 12 (AO) bissectrice de MKOL A B C I

¾ : la

Quand une droite passe : Ó par un point A équidistant des 2 côtés de MKOL

N MKOL

alors cette droite (OA) est la MKOL.

Autrement dit

Utilité

Figure :

Plus généralement : " deux

¾ Exercice

Le but de cet exercice est de pro

Soient donc un triangle ABC et deux de ses trois bissectrices. La bissectrice de MBAC et la bissectrice de MACB se coupent en le point I. Codages ! On va montrer que la troisième bissectrice (de MCBA) passe aussi par ce point I.

1. Montrer que le point I est équidistant des côtés [BA] et [BC].

2. Montrer que la droite (BI) est une bissectrice puis conclure.

AM = AN

K O L A M N K O L A M N Cours de M. JULES v 2.0 Classe de Quatrième Contrat 8 Page 9 sur 12 I A B C C. En utilisant le centre du cercle inscrit à un triangle : Soit un triangle ABC et I le centre de son cercle inscrit. itions ou hypothèses) Quand une droite passe :

Ó par le sommet B du triangle ABC

N et par le centre I de son cercle inscrit alors

M

Autrement dit

Utilité

Figure :

1. Tracez en rouge (BI). (BI) coupe-t-elle [AC] en son milieu

2. triangle ABC puis tracez ce cercle.

3. Montrez que MABI = MCBA / 2.

A B C I centre du cercle inscrit

Bissectrice de MABC

(rajouter le codage) A B C I Cours de M. JULES v 2.0 Classe de Quatrième Contrat 8 Page 10 sur 12 A B C A B C E A B E C T Ó : " Montrez que I est équidistant des côtés [AB] et [BC]. » ou " Montrez que I est à égale distance des 3 côtés du triangle. ». Cette question est souvent supprimée mais reste sous entendue.

N : " Montrez que MABC = 2 MIBC. »

O Cet exercice de base exploite la situation classique suivante : On part plus ou moins directement de 2 bissectrices, puis on exploite la troisième (question 3).

V. EXERCICES RECAPITULATIFS.

A. Bissectrices et Equidistance.

¾ Exercice 1 : Dans chacun des cas, tracer en rouge tous les points situés à la même distance :

des deux côtés de cet angle. de ces deux droites. de ces deux droites. ¾ Exercice 2 : Laissez visible les traits de construction. o [AB) et [AC). o et en même temps équidistant des villes B et A.

Où placer la décharge D qui doit être :

o équidistante des routes [AB) et [AC). o située à plus de 500 m de la route [AC). o et à plus de 750 m de la ville E.

Repassez en violet la zone possible.

(échelle 2 cm pour 1 km)

Où :

o équidistante des lignes électriques (AB) et (EC). o équidistante des villes B et C. o et à moins de 1 km du transformateur T. (échelle 1 cm pour 1 km). Cours de M. JULES v 2.0 Classe de Quatrième Contrat 8 Page 11 sur 12 A B C A B C ¾ Exercice 3 : Dans chacun des cas, hachurer en rouge la zone pavillonnaire : qui est plus proche de la route [AC) que de la route [AC). qui est en même temps plus proche des rues [AB] et [BC] que de la rue [AC]. ¾ Exercices pages suivantes " cahiers Mathenpoche 4ème ».

VI. POUR PREPARER LE TEST ET LE CONTROLE.

A. Je dois savoir :

¾ Remplissez ce tableau : A refaire A revoir Maîtrisé Construction de la bissectrice au rapporteur ou au compas. Propriété angulaire caractéristique de la bissectrice. Concourance des bissectrices. Cercle inscrit : définition, construction. Equidistance du centre du cercle inscrit aux trois côtés du triangle.

Triangle isocèle et bissectrices.

Triangle équilatéral et bissectrices.

Aimer les bissectrices.

¾ Pour préparer le test et le contrôle : Livre (Diabolo Maths 4ème Hachette 2006) p.237 et 242.

B. Conseils :

¾ Constructions :

o Laissez les traits de construction, légers et nets. o COULEURS + CODAGES Cours de M. JULES v 2.0 Classe de Quatrième Contrat 8 Page 12 sur 12 o Quand o Penser aux propriétés angulaires des triangles isocèles, équilatéraux. o Penser à la propriété angulaire de la bissectrice.

¾ Preuves :

o Ne pas essayer de répondre en une fois aux questions mais en plusieurs étapes.

o Etre précis : isocèle où, rectangle où, bissectrice de quel angle, hauteur issue de quel sommet etc.

o

RIEN !

o Revoyez les exos fondamentaux : deux droites remarquables sont données plus ou moins directement, puis on exploite la 3ème.

C. Erreurs fréquentes :

¾ ; attention aux notations !

¾ Confusion bissectrice-médiane : une bissectrice coupe ultra rarement le côté opposé en son milieu ; et

ou équilatéraux). ¾ Inventer des hypothèses ou du codage qui nous arrangent.

¾ Inventer des théorèmes.

D. Fiche de révision à faire :

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