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Bissectrices

Daniel Perrin

Introduction

Le but de ce texte est d'essayer de donner une reference able sur la question des bissectrices, pour traiter notamment l'expose de CAPES intitule Droites remarquables du triangle. Parmi les questions epineuses : quelle denition des bissectrices, bissectrices de quoi? de quelle nature : droites, demi-droites? en termes d'angles ou d'axes de symetrie?, etc. bissectrices interieures et exterieures, problemes de position, centre du cercle inscrit et barycentres, cercles exinscrits, etc.

1 Rappels

Tous les rappels sur les questions de position, les secteurs, etc., ainsi que les rappels sur les angles, sont dans mon cours de M1 et peuvent^etre consultes sur ma page web, a la rubriqueProjet de geometrie, Cours 1, axiomatique et convexite et Cours sur les angles. Au depart, on dispose des notions de points, droites, demi-droites et seg- ments.

1.1 Demi-plans

1.1 Axiome.Une droiteDpartage le plan en trois parties non vides dis-

jointes :Det deux demi-plans ouverts notesE+etE. Deux pointsa;bsont dans le m^eme demi-plan (on dit aussi \du m^eme c^ote deD") si et seulement si[ab]ne rencontre pasD.

1.2 Corollaire.SoitDune droite et soienta;b62D. Alors,aetbsont

dans des demi-plans dierents (on dit aussi \de part et d'autre" deD) si et seulement si[ab]rencontreD.

1.3 Proposition.1) SoitDune droite,oun point deDetaun point deE+.

Alors, la demi-droite[oa)(resp.]oa)) est entierement contenue dansE+[D (resp.E+).

2) La demi-droite opposee est contenue dansE[D.

1

1.4 Proposition.SoientD;D0des droites paralleles et distinctes et soit

a2D0. La droiteD0est toute entiere dans le demi-plan ouvert limite parD qui contienta.

1.2 Secteurs

1.5 Denition.Soient= [oa)et= [ob)deux demi-droites d'origineo,

non portees par la m^eme droite. SoientU+(resp.V+) le demi-plan (ferme) limite par(oa)contenantb(resp. par(ob)contenanta). On appellesecteur saillantdeni par ces demi-droites l'intersectionU+\V+. Le secteur saillant est note[caob]. Le pointoest lesommetdu secteur, les demi-droites[oa)et [ob)sont sesc^otes. On denit aussi le secteur nul (cas[oa) = [ob)) et plat (cas[oa)et[ob)opposees). Les deux lemmes suivants sont essentiels pour travailler avec les secteurs :

1.6 Lemme.Soientaetodeux points distincts etb;cdeux points situes

dans le m^eme demi-plan ouvertE+limite par(oa). Alors, sicn'est pas dans caob], on a deux proprietes :

1)[ac]coupe la demi-droite[ob),

2)b2[caoc].

1.7 Lemme.Soit[caob]un secteur saillant et soitcun point de ce secteur,

non situe sur les demi-droites[oa)et[ob). Alors, les pointsaetbsont situes de part et d'autre de la droite(oc)et, plus precisement, le segment[ab]coupe la demi-droite[oc).

1.3 Angles

On suppose qu'on a une distance dans le plan pour laquelle la ligne droite est le plus court chemin. La distance deaab, ou longueur du segment [ab], est noteeab.A partir de cette notion, on denit les longueurs d'arcs, ce qui se fait par la methode habituelle avec la borne superieure des lignes brisees (mais n'est pas totalement trivial). On peut alors denir les angles geometriques :

1.8 Denition.On considere un secteur[caob]. Quitte a changera;bsur les

demi-droites on peut supposer qu'on aoa=ob= 1.L'angle geometrique1 c aob, angle des demi-droites[oa)et[ob), est la longueur de l'arc de cercle_ab,

intersection du cercle de centreoet de rayon1et du secteur.1. Attention, les puristes parleraient de mesure de l'angle.

2 Si on appelle 2la longueur du cercle unite, les angles sont des elements de [0;]. L'angle du secteur nul (resp. plat) vaut 0 (resp.). L'angle droit est l'angle=2.

1.9 Proposition.Soient[caob]un secteur saillant etcun point du plan,

distinct deo. Les proprietes suivantes sont equivalentes :

1) On a la relation de Chasles geometrique :caob=caoc+ccob.

2) Le pointcest dans le secteur[caob].

3) Les pointsaetbsont de part et d'autre de(oc)et on acaoc+ccob.

On utilisera librement plusieurs autres proprietes des angles : i) les notions de complementaire et de supplementaire, ii) il y a deux demi-droites de part et d'autre d'une demi-droite donnee faisant le m^eme angle, mais une seule d'un c^ote donne, iii) les angles alternes-internes et correspondants (relativement a des pa- ralleles) sont egaux, iv) la somme des angles d'un triangle vaut.

1.4 Symetries, isometries

Nous aurons besoin des proprietes des symetries axiales, notamment le fait que la symetrie d'axeDxeD, conserve distance et angles et echange les demi-plans limites parD. Une possibilite alternative, souvent plus simple mais non conforme aux programmes actuels, est d'utiliser les triangles isome- triques.

2 Bissectrices de demi-droites

2.1 Denition a la maniere d'Euclide

2.1 Denition.Soient[Ox)et[Oy)deux demi-droites distinctes issues du

m^eme pointOet soit[dxOy]le secteur saillant ou plat deni par ces demi- droites. Une droiteDpassant parOest appeleebissectricedu secteur (ou des demi-droites) si les deux demi-droites[Oz)et[Oz0)portees parDverient dxOz=dzOyet\xOz0=\z0Oy.

2.2Remarques.

1) Il sut de verier l'une des egalites, l'autre s'en deduit par passage au

supplementaire.

2)A cause de cette remarque, certains auteurs denissent les bissectrices

comme des demi-droites (et il y en a deux opposees a ce moment la). 3

3) Si les demi-droites [Ox) et [Oy) sont egales, toute demi-droite [Oz) verie

l'egalite d'angles. On ne denit donc pas de bissectrice au sens d'Euclide dans ce cas.

2.3 Proposition.SiDest bissectrice des demi-droites (distinctes)[Ox)et

[Oy), l'une des demi-droites portees parD, disons[Oz), est dans le secteur dxOy]. On en deduitdxOy= 2dxOz= 2dzOy. Les demi-droites[Ox)et[Oy) sont de part et d'autre deD. Demonstration.Si ce n'etait pas le cas, l'une des demi-droites deD, disons [Oz), serait dans le m^eme demi-plan limite par (Ox) que [Oy), mais pas dans le secteur. Alors, le lemme 1.6 montre que [Oy) est dans [dzOx] et, par Chasles geometrique 1.9, on en deduit dxOz=dzOy+dxOy=dxOz+dxOy, doncdxOy est nul, ce qui est absurde. L'egalite d'angles vient de 1.9, le fait que [Ox) et [Oy) sont de part et d'autre deDde 1.7.

2.2 La version axe de symetrie

2.4 Proposition.La droiteDest bissectrice des demi-droites (distinctes)

[Ox)et[Oy)si et seulement si elle est axe de symetrie de ces demi-droites. Demonstration.Supposons que la droiteDest axe de symetrie et soitcette symetrie. Soit [Oz) l'une des demi-droites portees parD. On a([Ox)) = [Oy) et([Oz)) = [Oz) (carxeD) et donc, par conservation des angles par les symetries, dxOz=dyOz, de sorte queDest bissectrice. Inversement, si on a l'egalite des angles, on appelle encorela symetrie par rapport aDet on note [Oy0) la demi-droite image de [Ox) par. Les demi-droites [Ox) et [Oy0) sont de part et d'autre deD, donc [Oy) et [Oy0) sont du m^eme c^ote deD. Par conservation des angles on adxOz=\zOy0, d'ou \zOy0=dzOyet on a le resultat en vertu de la proprieteii) des angles rappelee ci-dessus.

2.5Remarque.La proposition precedente permet de denir la bissectrice

lorsque l'on a [Ox) = [Oy) : c'est la droite (Ox).

2.3 Existence et unicite

2.6 Proposition.SoitS= [dxOy]un secteur saillant. Il existe une bissectrice

deSet une seule. Demonstration. (Existence)On choisit un pointAsur [Ox), dierent deO, et on considere le pointBde [Oy) deni parOA=OB. SoitMle milieu de 4 [AB] etDla droite (OM). Alors, elle convient. Voici deux pistes de preuves possibles, selon les programmes : Les trianglesOAMetOBMsont isometriques (trois c^otes), donc on a \AOM=\BOM. La symetried'axe (OM) echangeAetB(on regarde le cercle de centreOet de rayonOA, il est invariant, et le cercle de centreMet de rayon MA, il est invariant aussi. Ces cercles se coupent enA;Bqui sont echanges car ils sont de part et d'autre de (OM)). (Unicite)On prendA;BavecOA=OBcomme ci-dessus. La bissectrice coupe [AB] enM(c'est 1.7). Alors,Mest le milieu de [AB]. La encore plusieurs voies : les trianglesOAMetOBMisometriques, la formule d'Al- Kashi, la symetrie par rapport a (OM) (elle echange les demi-droites [OA) et [OB) doncAetB).

2.4 Propriete caracteristique

2.7 Proposition.Soient[Ox)et[Oy)deux demi-droites distinctes,[Oz)la

demi-droite portee par la bissectriceDet situee dans le secteurS= [dxOy]. L'ensemble des points deSequidistants des droites(Ox)et(Oy)est la demi- droite[Oz).

Demonstration.On notela re

exion par rapport aD. SoitM2[Oz). SoientP;Qses projetes sur les droites (Ox) et (Oy). On a(M) =M, ([Ox)) = [Oy), donc aussi((Ox)) = (Oy) donc la perpendiculaire a (Ox) passant parMest transformee en la perpendiculaire a (Oy) passant parM. Il en resulte qu'on a(P) =Q, doncMP=MQ. Une autre voie consiste a montrer que les trianglesOMQetOMPsont isometriques. Inversement, siMest un point du secteur, equidistant des droites (Ox) et (Oy), on appelleP;Qses projetes sur ces droites et on aMP=MQ. On considereD= (OM) et la symetriepar rapport aD. Le cercle de diametre [OM] est invariant paretPetQsont les intersections de avec les droites (Ox) et (Oy), mais aussi avec le cercle de centreMet de rayon MP, cercle lui aussi invariant par. Il en resulte que la pairefP;Qgest invariante paret on a(P) =Q(car les pointsP;Qsont de part et d'autre deDpuisqueMest dans le secteur). La encore on peut montrer { et c'est bien plus simple { que les trianglesOMQetOMPsont isometriques. 5

3 Bissectrices de droites

3.1 Denition

3.1 Proposition-Denition.SoientD1;D2deux droites secantes enO. Il

existe deux droites (et deux seulement)1et2, telles que les re exions associees echangent lesDi. Ces droites sont perpendiculaires enO. On les appelle lesbissectrices des droitesD1;D2. Demonstration.On xe deux demi-droites [Ox) et [Oy) sur lesDiet on considere leur bissectrice

1. La symetriepar rapport a 1echange donc

lesDi. Comme la symetrie centraleOles conserve, le produitO, qui est la symetrie par rapport a la droite

2perpendiculaire a 1enO, les echange.

Une preuve elementaire peut se faire en utilisant la relation de Chasles geometrique et les angles complementaires et opposes par le sommet. Montrons que ce sont les seules. Sinon, on aurait une autre droite , axe de symetrie desDi, faisant avec iun angle6= 0;=2. Mais alors le produit iserait une rotation d'angle 2autour deOqui laisserait stable chacune des droitesDiet hormis Id etOqui sont d'angles 0 et, aucune rotation ne laisse stable une droite passant parO.

3.2 Propriete caracteristique

3.2 Proposition.Un pointMest sur l'une des bissectrices des droitesDi

si et seulement si il est equidistant desDi. Demonstration.Le sens direct est evident. Pour la reciproque on utilise les demi-droites qui contiennent les projetes et on est ramene a 2.7.

4 Bissectrices d'un triangle

4.1 Denition.SoientA;B;Ctrois points non alignes du plan. On appelle

triangle pleinde sommetsA;B;Cet on noteT=ABCl'intersection des trois secteurs[\BAC],[\CBA]et[\ACB]. L'interieur du triangleTest egal a

Tprive des c^otes[BC],[CA]et[AB].

4.1 Denition et concours

4.2 Proposition-Denition.SoitABCun triangle,Dla bissectrice des

demi-droites[AB)et[AC),D0la perpendiculaire aDpassant parA. Alors, D;D

0sont les bissectrices des droites(AB)et(AC). Seule la droiteDcoupe

6 le segment[BC]enA0. On l'appellebissectrice interieurede l'anglebAet D

0en est labissectrice exterieure. La bissectrice exterieure ne rencontre

le secteur[\BAC]et le triangle plein qu'au pointA. On a l'egalite d'angles orientes de vecteurs :(!AB;!AA0) = (!AA0;!AC). Demonstration.On sait que l'une des demi-droites portees parD, disons [Ax), est dans le secteur [\BAC]. En vertu de 1.7, cette demi-droite coupe [BC]. L'autre bissectrice ne rencontre le secteur qu'enA. Sinon, elle porte- rait une demi-droite [Ay) contenue dans le secteur, donc dans l'un des sec- teurs [ \BAx] ou [\xAC]. Si elle est, disons, dans le premier, on a, par Chasles geometrique, \BAx=\BAy+dyAx. Mais, commedyAx==2 et\BAC= 2\BAx, l'angle \BACserait plus grand queet c'est absurde.

4.3 Theoreme.Les bissectrices interieures deABCsont concourantes en un

pointI. Ce point est equidistant des c^otes du triangle et centre de l'unique cercle inscrit dans le triangle. Il est interieur au triangle. Les bissectrices exterieures enB;Cet la bissectrice interieure enAsont concourantes en un pointJ, centre d'un cercle tangent aux trois c^otes du triangle, mais a l'exterieur de celui-ci (cercle exinscrit dans l'anglebA).

Demonstration.On montre d'abord :

4.4 Lemme.Les bissectrices interieures issues deBetCse coupent en un

pointI. Demonstration.En eet, on a vu que la bissectrice interieure issue deB (resp.C) coupe ]AC[ enB0(resp. ]AB[ enC0). Par rapport a (BB0) les pointsAetCsont donc de part et d'autre, disons dans les demi-plansE+et E . Mais alors, en vertu de 1.3, la demi-droite [BA) est tout entiere dansE+, en particulierC0est dansE+. Il en resulte que [CC0] coupe (BB0). Le m^eme raisonnement dans l'autre sens montre que [BB0] coupe (CC0), de sorte que lessegmentsse coupent enI. Revenons au theoreme en montrant d'abord le concours des bissectrices interieures. Le pointIest equidistant des droites (BC) et (AB) d'une part et (CA) et (BC) d'autre part, donc aussi de (AB) et (CA). Il est donc situequotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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