resolution equation differentielle 1er ordre v105
Fabrice Sincère http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ page 1/6. ? SYSTEME DU PREMIER ORDRE. ? RESOLUTION D'EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
EQUATIONS DIFFERENTIELLES
2013 - Gérard Lavau - http://lavau.pagesperso-orange.fr/index.htm II : Equations différentielles linéaires du second ordre. 1) Définition.
resolution equation differentielle 99 00 v6
IUT de Nancy-Brabois http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ page 1/6. RESOLUTION D'EQUATIONS DIFFERENTIELLES. APPLICATION EN SCIENCES PHYSIQUES.
EQUATIONS DIFFERENTIELLES (DEUXIEME ANNEE)
2020 - Gérard Lavau - http://lavau.pagesperso-orange.fr/index.htm II : Equations différentielles du second ordre : 1) Equations linéaires à coefficients ...
Intégration numérique
Cinétique chimique http://cinet.chim.pagesperso-orange.fr. 2. Le problème à résoudre. Etant donné un ensemble de N équations différentielles du premier
Scilab 7. Résolution numérique des équations différentielles
On s'intéresse ici aux équations différentielles ordinaires (EDO) où la fonction inconnue Page d'accueil : http://fabrice.sincere.pagesperso-orange.fr/.
resolution equation differentielle 2eme ordre v008
Fabrice Sincère http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ page 1/10. ? SYSTEME DU DEUXIEME ORDRE. ? RESOLUTION D'EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
Chapitre 7 EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Enoncé des exercices
Exercice 7.9 Donner une équation différentielle ayant e2x cosx et e2x sinx comme solutions. Exercice 7.10 Résoudre y'' ? 3y' + 2y = x2 ? 3x.
Scilab – Feuille dexercices 7. Résolution numérique des équations
Nous savons que l'équation différentielle du premier ordre suivante : Page d'accueil : http://fabrice.sincere.pagesperso-orange.fr/.
Le portrait de phase des oscillateurs
Un logiciel de résolution d'équations différentielles permet de tracer le portrait de phase (figure 3). Figure 3 : Portrait de phase d'un pendule pesant
RESOLUTION D"EQUATIONS DIFFERENTIELLES
APPLICATION EN SCIENCES PHYSIQUES
Sommaire
I- Equations différentielles du premier ordre
I-1- Résolution des équations du type : a××××f "(t) + f(t) = g(t) I-2- Exemple de résolution : circuit électriqueII- Equations différentielles du second ordre
II-1- Résolution des équations du type : a××××f ""(t) + b××××f "(t) + c××××f(t) = g(t)
II-2- Exemple de résolution : oscillation mécaniqueI- Equations différentielles du premier ordre
On s"intéresse aux équations du type : a××××f "(t) + f(t) = g(t) avec : f(t) une fonction d"une variable réelle t fdt df(t)" f&== la dérivée de la fonction f par rapport à la variable t g(t) une fonction d"une variable réelle t a une constante réelle (a ¹ 0)I-1- Résolution
a et g(t) étant données, le problème est de trouver la ou les fonctions f(t) qui vérifient
l"équation différentielle.La résolution se fait en deux parties :
a) Recherche de la solution de l"équation homogène associée : a×f "(t) + f(t) = 0 (c"est l"équation sans second membre) En mathématique, on montre que la solution de l"équation a×f "(t) + f(t) = 0 est : at ekf(t) avec k une constante qui dépend des conditions initiales. b) Recherche d"une solution particulière de l"équation générale : a×f "(t) + f(t) = g(t) (c"est l"équation avec second membre) Lasolution générale est la somme de la solution de l"équation homogène associée et de la
solution particulière. IUT de Nancy-Brabois http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ page 2/6 I-2- Exemple de résolution : circuit électriqueu(t) est la tension électrique aux bornes d"un condensateur C alimenté à travers une résistance
R sous une tension constante E :
Les lois de l"Electricité indiquent que :
Eu(t)dt
du(t) RC=+ Cherchons maintenant la loi d"évolution de la tension électrique u(t) : - Recherche de la solution de l"équation homogène associée :0u(t)dt
du(t) RC=+ u(t) k ehomogène tRC= ×
avec k une constante qui dépend des conditions initiales. - Recherche de la solution particulière de l"équation générale :Eu(t)dt
du(t) RC=+ u(t) particulière = E - Solution générale : u(t) = u(t) homogène + u(t) particulière =keE tRC×+
En prenant comme condition initiale u(t = 0) = 0 V (condensateur déchargé) alors : k = - EFinalement :
-RCt e-1E=u(t) u(t)00,20,40,60,81
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x RC x E u(t) R E C IUT de Nancy-Brabois http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ page 3/6Remarques
t = RC est la constante de temps du circuit électrique. Après 3t, le condensateur est chargé à 95 %. La solution particulière correspond au régime permanent : u(t ® ¥) = E (le condensateur est chargé à 100 %). La solution de l"équation homogène correspond au régime transitoire : u(t) -E ehomogène tRC= ×
On vérifie que le régime transitoire disparaît : u(t ® ¥) homogène ® 0 V IUT de Nancy-Brabois http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ page 4/6II- Equations différentielles du second ordre
On s"intéresse aux équations du type : a××××f ""(t) + b××××f "(t) + c××××f(t) = g(t)
avec : f(t) une fonction d"une variable réelle t fdt df(t)" f&== la dérivée de la fonction f par rapport à la variable t fdt fd(t)"" f22&&== la dérivée deuxième de la fonction f par rapport à la variable t
g(t) une fonction d"une variable réelle t a, b et c des constantes réelles (a ¹ 0)II-1- Résolution
Comme précédemment, la solution générale est la somme de la solution de l"équation sans
second membre et de la solution particulière.a) Recherche de la solution de l"équation homogène associée : a×f ""(t) + b×f "(t) + c×f(t) = 0
On définit l"équation caractéristique : a×r 2 + b×r + c = 0 dont il faut chercher les racines.
Trois possibilités se présentent suivant la valeur du discriminant : D = b2 - 4ac
· D > 0 : deux racines réelles distinctes r
1 et r2.
La solution est alors :
trtr homogène21eBeAf(t)×××+×= avec :D--=D+-=
a2 bra2br 21· D = 0 : une racine double réelle r.
La solution est alors : f(t) A t + B) e
homogèner t= × ××( avec : a2 br-= · D < 0 : deux racines complexes conjuguées : r = a ± bjLa solution est alors :
[])tsin(B)tcos(Aef(t)t homogène×b×+×b××=×a avec :D-=b-=a
a2a2 b IUT de Nancy-Brabois http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ page 5/6 A et B sont deux constantes réelles qui dépendent des conditions initiales.b) Recherche d"une solution particulière de l"équation : a×f ""(t) + b×f "(t) + c×f(t) = g(t)
II-2- Exemple de résolution : oscillation mécanique Considérons une masse m suspendue à un ressort de constante de raideur k. x désigne la position de la masse par rapport à sa position d"équilibre. Le frottement est supposé proportionnel à la vitesse v = x"(t). l est le coefficient de frottement (l > 0)Les lois de la Mécanique du mouvement nous indiquent que : m×x""(t) + l×x"(t) + k×x(t) = 0
- Résolution de l"équation différentielle :Equation caractéristique : m×r
2 + l ×r + k = 0
Discriminant : D = l
2 - 4mk
Si le coefficient de frottement l est suffisamment faible, nous sommes dans le cas D < 0 et nous avons deux racines complexes conjuguées : m2 -4mkj 2m-=r2 l±l
Solution générale :
×l×+))
×l××=
×l-t2m-4mksinBt2m-4mkcosAex(t)
2 2 t2m
- Conditions initiales : A l"instant t = 0, on pousse la masse vers le bas à la vitesse v (la masse étant initialement dans sa position d"équilibre) : x(t = 0) = 0 et x"(t = 0) = v x0 (position
d"équilibre) mIUT de Nancy-Brabois http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere/ page 6/6 d"où : A = 0
et2 -4mk2mv
B l=En définitive :
×l l=×l-t2m-4mksin e
-4mk2mv x(t)2 t2m
2 Il s"agit d"un mouvement oscillatoire amorti (la masse retrouve sa position d"équilibre après une série d"oscillations) : (C) Fabrice Sincère x(t)quotesdbs_dbs24.pdfusesText_30[PDF] 1 Équations di érentielles linéaires du premier ordre
[PDF] Page 1 Les équations différentielles Laurent Serlet Janvier 2001
[PDF] 1 Equations différentielles du premier ordre
[PDF] Résumé de cours sur les équations différentielles Table des - IECL
[PDF] Résolution des équations différentielles linéaires du second ordre `a
[PDF] CORRIGE Je résous des équations du premier degré EXERCICE
[PDF] CHAPITRE 7 ÉQUATION DE PROPAGATION DU RADAR
[PDF] SECOND DEGRE - Maths-et-tiques
[PDF] 1 Equations-produits
[PDF] Cours de mécanique M12-Chute libre avec frottements - Physagreg
[PDF] Chapitre 2: Mouvements Rectilignes
[PDF] équations et inéquations avec ln ou exp - IES Eugeni D 'Ors
[PDF] Exercices sur la fonction logarithme Exercice 1 : Résoudre dans les
[PDF] Équations : exercices - Xm1 Math