[PDF] Chapitre 7 EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Enoncé des exercices

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Chapitre 7

EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Enoncé des exercices

1Les basiques

Exercice 7.1Soitf(x) =e

x ex+ 1,donner une équation différentielle dontfest solution.

Exercice 7.2Soitf(x) = 1 +e

x

1 +x2,donner une équation différentielle dontfest solution.

Exercice 7.3Résoudre?1 +x2?y?+xy=⎷1 +x2

Exercice 7.4Résoudre|1-x|y?+xy=x

Exercice 7.5Donner une équation différentielle ayante2xete-xcomme solutions. Exercice 7.6Donner une équation différentielle ayantexetxexcomme solutions. Exercice 7.7Donner une équation différentielle ayant1etxcomme solutions. Exercice 7.8Donner une équation différentielle ayantcos3xetsin3xcomme solutions. Exercice 7.9Donner une équation différentielle ayante2xcosxete2xsinxcomme solutions.

Exercice 7.10Résoudrey??-3y?+ 2y=x2-3x

Exercice 7.11Résoudrey??+y?-2y= 9ex-2

Exercice 7.12On considère l"équation différentielley??+y?-2y= 2x+ 1.

1. Déterminer la solution générale de cette équation.

2. Déterminer l"unique solutionftelle quef(0) = 0et la courbe représentative defadmet une asymptote oblique

en+∞. Etudier alors les variations def. Exercice 7.13Résoudre l"équation différentiellech(t)y?+ sh(t)y=11 +t2 Exercice 7.14Résoudre l"équation différentielley??+ 3y?+ 2y=t2+e-t+ sin(t) Exercice 7.15Résoudre l"équation différentielle?1 +x2?y?+xy= 1

Exercice 7.16Deux équations couplées.

1. LES BASIQUESCHAPITRE 7. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

1. Résoudre surRl"équation différentielley??-3y?+ 2y=ex

2. Trouver les solutions du système d"équations différentielles

y ?-z= 0 2y+z ?-3z=ex avec les conditions initialesy(0) = 1etz(0) = 0.Calculer alors? 1 0 z(x)dx.

Exercice 7.17Déterminer une équation différentielle homogène, du secondordre à coefficients constants réels (i.e.

du typeay ??+by?+cy= 0oùa,b,csont des réels aveca?= 0) telle que :

1. Les fonctionse

xete2xsoient solutions.

2. Les fonctionse

-4xetxe-4xsoient solutions.

3. Les fonctionsf(x) = (2cosx+ 3sinx)e

3x,g(x) = (3cosx+ 2sinx)e3xsoient solutions.

4. La fonctionxe

3xsoit solution.

5. La fonctioncosxe

xsoit solution.

6. La fonction4e

5xsoit solution.

Exercice 7.18Résoudre l"équation différentielle ?1 +x

2?y?+ 2xy=ex+x

Exercice 7.19Résoudrey??-5y?+ 6y=?x2+ 1?ex

Exercice 7.20Résoudre(E) :y??-4y?+ 13y= cosx

Exercice 7.21Résoudre(E) :y??+ 4y?+ 5y=xsinxe-2x Exercice 7.22Résoudre les équations différentielles y ??+ 5y?-6y=et y??-4y?+ 3y= 2et y??+y= cos2t Exercice 7.23Résoudre l"équation différentielle 1 +x

2?y?+x

2-1 xy=-2 sur]0,+∞[. Indication : On pourra cherchera,betcréels tels quex 2-1 x(1 +x2)=ax+bx+cx2+ 1. Exercice 7.24Soitmun paramètre réel, on considère l"équation différentielle y ??+ (m-9)y?+ 4y=ex(Em)

1. Résoudre(E

m)pourm= 14.

2. Résoudre(E

m)pourm= 13.

3. Résoudre(E

m)pourm= 9.

Exercice 7.25

-2/46-G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2008 CHAPITRE 7. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES2. LES TECHNIQUES

1. Résoudre l"équation différentielle

(e x+ 1)y?-y=e x

1 +x2(E)

Indication (belge) : Quelle est la dérivée deln(1 +e x)?

2. Donner la solutiony

0(x)telle quey0(0) =-π4.Simplifier l"expression defpourx >0.

3. Quelle est la limite dey

0(x)quandxtend vers+∞?

Exercice 7.26Résoudre les équations différentielles suivantes y ??+ 5y?-6y=et(E1) y ??+ 4y?+ 13y=e-t(E2) y ??+y= cos2t(E3) Exercice 7.27Déterminer les solutions sur]0,+∞[deln(x)y?+yx= 1

2Les techniques

Exercice 7.28Déterminer les solutions surRde l"équation différentielle t

2y?+ (1-t)y= 1(E)

Exercice 7.29Résoudre?1-x2?y?+?1 +x2?y=ex

Exercice 7.30Résoudre l"équation différentielle suivantes : y ??+ 2y?+ 2y= sin(ax)e-x en fonction du paramètrea.

Exercice 7.31Existe-t-il une solution de l"équation différentielley?+ cos(y) = 0telle quey(π) = 0

Exercice 7.32Résoudrey??-2y?+y=exln(x)sur]0,+∞[ Exercice 7.33Déterminer les solutions surRde l"équation différentielle y ??-2ay?+?a2+ 1?y= sint+teat(E) lorsqueaest un paramètre réel. Exercice 7.34Résoudre l"équationxy?-ny= 0oùn?N?. Exercice 7.35Résoudret2y?+?1 +t2?y= 0. Déterminer les solutions surR. Exercice 7.36Résoudre, surR, l"équation différentielle y ??+y= sinωx en fonction du paramètreω?R.

Exercice 7.37Soitaun paramètre réel, résoudre, en fonction deal"équation différentielle

y ??-(1 +a)y?+ay=ex -3/46-G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2008

3. LES EXOTIQUESCHAPITRE 7. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Exercice 7.38Soitfdéfinie surR, dérivable deux fois surRtelle que ?x?R,f ?(x)2-f(x)2= 1 f ?(0) = 1

Déterminerf.

Même question si on enlève la conditionf

?(0) = 1. Plus dur : Montrer que l"on peut simplement supposerfde classeC 1. Exercice 7.39On considère l"équation différentielle (1 + 2x)y ??+ (4x-2)y?-8y= 0

1. Déterminer une solution de l"équation de la formey(x) =e

αxoùα?R

2. On pose alorsy(x) =e

αxz(x).Quelle est alors l"équation différentielle vérifiée parz?

3. En déduire les solutions de(E)sur?

-1

2,+∞?

4. Déterminer la solution qui vérifiey(0) = 1et la tangente enx= 0coupe l"axeOxau point d"abscissex= 1.

Exercice 7.40Trouver toutes les fonctionsfetgcontinues surRqui vérifient? x 0 f(t)dt=x+g(x)et? x 0 g(t)dt=x+f(x)-1 Pour mémoire sifest continue surR, alorsF(x) =? x

0f(t)dtest l"unique primitive defqui prend la valeur0en

x= 0.En particulierFest dérivable etF ?(x) =f(x).

3les exotiques

Exercice 7.41Résoudre l"équation différentielle ?1 +x

2?y?+ (x-1)2y=x3-x2+x+ 1

On notey

K(x)l"unique solution de cette équation telle queyK(0) =K. On appelle courbe intégrale le graphe de

y

K(x)pourK?R.

1. Que dire de la tangente enx= 1à une courbe intégrale?

2. Montrer que les courbes intégrales ont toutes une asymptote quandxtend vers+∞.

3. Montrer que les courbes intégrales ont toutes deux pointsd"inflexions et que les tangentes aux points d"inflexions

ont une propriété remarquable.

4. Montrer que les points à tangente horizontale des courbesintégrales sont sur une courbe simple que l"on étudiera.

5. Montrer qu"il y a une courbe intégrale ayant une inflexion en un point à tangente horizontale.

6. Déterminer les courbes intégrales ayant un point à tangente horizontale, discuter leur nombre en fonction deK.

Exercice 7.42Déterminer les fonctions réellesfdérivables en0telles que ?(x,y)?R,f(x+y) =e xf(y) +eyf(x)

Exercice 7.43Vous connaissez tous cette fameuse règle de dérivation simplifiée :(fg)?=f?g?,ou en d"autres termes,

la dérivée d"un produit est le produit des dérivées!

La question est la suivante, sif(x) =e

x2= exp?x2?,déterminer un intervalle[a,b]et une fonctiongdéfinie sur [a,b]telle que(fg) ?=f?g?sur[a,b].

Exercice 7.44Soitftelle quef??(x)-2f?(x) +f(x) = 2ex, indiquez si les propositions suivantes sont vraies ou

fausses :

1. Si?x?R,f(x)>0alors?x?R,f

?(x)>0(Justifiez votre réponse).

2. Si?x?R,f

?(x)>0alors?x?R,f(x)>0(Justifiez votre réponse). -4/46-

G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2008

CHAPITRE 7. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES4. LES OLYMPIQUES

4Les olympiques

Exercice 7.45Soient(k,λ)?R?×R, déterminer les fonctionsfdérivables surRtelles que?x?R,f?(x) =

kf(λ-x)

Exercice 7.46Soienta(x)y?+b(x)y=c(x)une équation différentielle du premier ordre aveca,b,ccontinues surI

sur lequela(x)?= 0.Soitx?I, montrer que les tangentes aux courbes intégrales au point d"abscissexsont concourantes

ou parallèles. Que dire si l"équation différentielle admet une solution affine?

Exercice 7.47Résoudrey??+ 4y= 2tanx.

Exercice 7.48Soientαetβdeux fonctions dérivables surRvérifiant surR ?e xα?(x) =-xβ(x) e xβ?(x) =xα(x)et? ?α(0) = 1

β(0) = 0

1. Prouver queα2(x) +β2(x) = 1pour toutx?R.

2. Prouver quexα

??(x) + (x+ 1)α?(x) +x3e-xα(x) = 0pour toutxdeR.

3. En faisant le changement de fonction inspiré par la première question, trouverα(x)etβ(x).

5Le grenier (non corrigé)

Exercice 7.49Résoudre :

y ??-3y?+ 2y=t+ 1 +et(solutions :C1e2t+C2et+t2+54-te t) y ??+ 2y?+y=?t2+ 1?e-t(solutions :C1e-t+C2te-t+t

4+ 6t2

12e -t) y ??-2y?+ 2y=et(solutions :C1etcost+C2etsint+et) y ??-y?-2y= cost+ 3sint(solutions :C1e2t+C2e-t-sint)

Exercice 7.50Résoudre

y ??+ 5y?-6y=et(solutions :C1et+C2e-6t+e t 7) y ??+y?-6y=tet(solutions :C1e2t+C2e-3t-4t+ 316e t) y ??-4y?+ 3y= 2et(solutions :C1et+C2e3t-tet) y ??-2y?-8y=te4t(solutions :C1e-2t+C2e4t+3t 2-t 36e
4t) 4y ??+ 4y?+y=?t3+ 1?e-t2(solutions :(C1+C2t)e-t2+t

5+ 10t2

80e
-t2) y ??-2y?+ 5y=tet(solutions :(C1cos2t+C2sin2t)et+14te t) y ??+ 4y?+ 13y=e-t(solutions :(C1cos3t+C2sin3t)e-2t+110e -t) y ??-y= cost(solutions :C1e-t+C2et-12cost) y ??-4y?+ 5y=etsint(solutions :(C1cost+C2sint)e2t+15(2cost+ sint)e t) y ??+y= cos2t(solutions :C1cost+C2sint-13cos2t) y ??-2y?+ 2y= cos2t(solutions :(C1cost+C2sint)et-110sin(2t)-120cos(2t) +14) y ??-2y?+y=tetcos(2t)(solutions :(C1+C2t)et+14(sin2t-tcos2t)) y ??+ 4y?+ 4y=te-2tlnt(solutions :(C1+C2t)e-2t+136t

3(6lnt-5)e-2t)

-5/46-

G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2008

5. LE GRENIER (NON CORRIGÉ) CHAPITRE 7. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

y??+ 2y?+y=e -t ch2t(solutions :(C1+C2t)e-t+ ln(cht)) y ??-4y?+ 4y=2te 2t

1 +t2(solutions :(C1+C2t)e2t+?tln?1 +t2?+ 2arctant?e2t

Exercice 7.51On considère l"équation différentielle ch(x)y ?+ sh(x)y= 1 + (2x+ 1)e2x(E)

1. Résoudre l"équation homogène surR.

2. A l"aide de la variation de la constante, trouver une solution particulière de(E)

3. Vérifier quey

p(x) = 2xexest une solution particulière de(E).

4. Déterminer la solution de(E)telle quey(ln2) = 0.

Exercice 7.52Soit l"équation

y ??-4y?+ 4y=e 2t t2(7.1)

1. Résoudre l"équation homogène surR

2. En posanty(t) =z(t)e

2t,résoudre(7.1)surR?

+ouR?

Exercice 7.53Soit l"équation

y ??+y=2sin3t(7.2)

1. Résoudre l"équation homogène surR.

2. Soity

0une solution de l"équation homogène (à vous de la choisir), en posanty(t) =z(t)y0(t),résoudre(7.2)

sur]0,π[ (On trouvera comme solutions :C

1cost+C2sint+1sint)

Exercice 7.54On considère l"équation différentielle x

2y??-4xy?+ 4y=x+ 1(7.3)

On désire la résoudre surR

+ouR?

1. Chercher les valeursα

1,α2deαtelles quey(x) =xαsoit solution de(7.3).

2. Pourα=α

1ouα2,on posey(x) =z(x)xα. Montrer queu=z?vérifie une équation différentielle d"ordre1.

Résoudre cette équation différentielle pour la valeur deαqui vous semble la plus intéressante.

3. En déduire les solutions de(7.3)surR

+ouR? -puis surR.

Exercice 7.55Résoudre les équations différentielles suivantes , on précisera les intervalles sur lesquels il y a une

solution. On traitera les problèmes de raccords lorsqu"ilsse présentent. a)y ?+ty= 0i)y?+ycotan(t) = sint b)y ?-sinty= 0j)ty?-y= (1 +t2) c)?1 +t

2?y?+ 2ty= 0k)|1 +t|y?+y= 1 + 2t

d)y ?+y= sin(t) + 3sin(2t)l)y?+ cos(t)y= sin(t)cos(t) e)ty ?+?2 +t2?y= 0m)y?-ytan(t) =-cos2(t) f)(1 +t

2)y?+ty= 1 + 2t2n)sin3(t)y?-2cos(t)y= 0

g)y ?-(t+ 1)(y+ 1) = 0o)xy?-ny= 0oùn?N? h)y?+ 2ty=e2t-t2p)

Exercice 7.56Déterminer le lieu des points d"inflexions des courbes intégrales de l"équationxy?-3y= 2x2

-6/46-G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2008 CHAPITRE 7. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 5. LE GRENIER (NON CORRIGÉ)

Exercice 7.57Résoudrexy?+(x+ 1)y= ln?1 +x2?e-xet traiter les problèmes de raccord (attention, il faut leDL2

deex)

Exercice 7.58Résoudre(1 +|x|)y?+xy= 0.

Exercice 7.59Résoudre?1-x2?y??-2xy?+ 2y= 0après avoir chercher une solution polynômialeP(x),et en

posant ensuitey(x) =P(x)z(x)(attention, les primitives passent par des décompositionsen éléments simples···).

Exercice 7.60Résoudrecos(t)y??-2sin(t)y?-2cos(t)y=eten posanty(t) =z(t)cost. -7/46-

G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2008

5. LE GRENIER (NON CORRIGÉ) CHAPITRE 7. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

-8/46-G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2008

Chapitre 7

EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Solution des exercices

1Les basiques

Exercice 7.1La fonctionfest dérivable et

f ?(x) =?e x+ 1-1 ex+ 1?

1-1ex+ 1?

e x (ex+ 1)2 Ainsi (e x+ 1)f?(x) =f(x) Une équation différentielle vérifiée parfest (e x+ 1)y?-y= 0

Autre méthode :Posonsy=f(x),alorsy=e

x ex+ 1??(e x+ 1)y=ex??ex(y-1) =-y??ex=y1-y= y-1 + 1

1-y=11-y-1(en effetyne prend jamais la valeur1care

x ex+ 1-1 =-1ex+ 1?= 0). On sait que la fonction x?→e xvérifie l"équation différentielle(ex)?=ex.On a donc ?1

1-y-1?

=y1-y??y (1-y)2=y1-y??y ?=y(1-y)

Or1-y= 1-e

x ex+ 1=1ex+ 1donc y ?=yex+ 1 On retrouve bien la même équation différentielle!!!

Il y a d"autres équations différentielles vérifiées parf.En effet, on a aussi avecy(x) =f(x),(e

x+ 1)y(x) =ex,ce qui en dérivant donne (e x+ 1)y?(x) +exy(x) =ex

Doncfest solution de

(e x+ 1)y?+y=ex

On a également

f ?(x) =f(x)2e-x

1. LES BASIQUESCHAPITRE 7. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

doncfest solution de y ?ex-y2= 0

Enfin, puisquef(x) =e

x×11 +ex,en dérivant on obtientf?(x) =ex×-e x (1 +ex)2+f(x) =-f2(x) +f(x).Ceci montre quefest solution de y ?+y2+y= 0 Pour résumerfest solution des équations différentielles suivantes : (e x+ 1)y?-y= 0 (e x+ 1)y?+y=ex y?ex-y2= 0 y ?+y2+y= 0

Exercice 7.2La fonctionfest dérivable et

f ?(x) =?e x 1 +x2 =e x(x-1)2 (1 +x2)2 d"où ?1 +x

2?f?(x) =e

x

1 +x2(x-1)2= (x-1)2(f(x)-1)

Une équation différentielle vérifiée parfest 1 +x

2?y?-(x-1)2y=-(x-1)2

Exercice 7.3Les fonctionsa(x) = 1 +x2, b(x) =xetc(x) =⎷1 +x2sont continues surR. La fonctionane s"annule pas, on se place donc surI=R. La solution de l"équation homogène esty(x) =K 1exp? -?x

1+x2dx?

=K1exp? -12ln?1 +x 2?? =K1⎷1 +x2. On cherche une solution particullière par variation de la constante. On pose doncy(x) =K(x) ⎷1 +x2,alorsy(x)solution si et seulement si ?1 +x

2?×K?(x)⎷1 +x2=⎷1 +x2??K?(x) = 1.Une solution particulière est doncyp(x) =x⎷1 +x2.

Les solutions surRsont

y(x) =x+K

1⎷1 +x2

Exercice 7.4Les fonctionsa(x) =|1-x|, b(x) =xetc(x) =xsont continues surR.a(x) = 0?x= 1,on se place donc soit surI

1= ]-∞,1[soit surI2= ]1,+∞[.

SurI

1,l"équation devient(1-x)y?+xy=x.La solution de l"équation homogène esty(x) =C1exp?

-?x

1-xdx?

C 1exp? -?x-1+1

1-xdx?

=C1exp(x+ ln|1-x|) =C1(1-x)ex.Une solution particulière évidente esty= 1.

Ainsi la solution générale surI

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