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Bibliographie sommaire MNCS
Cours exercices corrigés et illustrations en MATLAB et Octave
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Calcul Scientifique: Cours exercices corrigés et illustrations en Matlab et Octave Author : Alfio Quarteroni Publisher : Springer Science & Business Media 2011 pages : 360 pages N° Class : 510/37 Ce livre constitue une introduction au Calcul Scientifique Son objectif est de présenter des
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Calcul Scienti?que Cours exercices corrigés et illustrations en Matlab et Octave 2006 XII 319 p Broché ISBN: 978-88-470-0487-0 S Guerre-Delabrière et M Postel «Méthodes d’approximation Equations différentielles Applications Scilab» Ellipses Paris 2004 Cours d’Analyse Numérique Chapitre 3 : Résolution Numérique des
MA261 Introduction au calcul scienti?que - ENSTA Paris
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Corrigé des exercices de familiarisation avec Matlab
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MATLAB estdistribuéparlasociétéTheMathWorks(voirlesite www mathworks com) SonnomvientdeMATrixLABoratorycarila étéinitialementdéveloppépourlecalculmatriciel Octave aussi connu sous le nom de GNU Octave (voir le site www octave org)estunlogicieldistribuégratuitement Vouspouvez leredistribueret/oulemodi?erselonlestermesdelalicenceGNUGe-
Quelle est la différence entre MATLAB et Octave?
- Présentation de Matlab 1 Présentation générale. Matlab est à la fois un logiciel de calcul et un langage de programmation haut niveau. C’est un logiciel payant, dont il existe deux équivalents gratuits – Octave est un logiciel qui utilise le langage de matlab et peut donc utiliser les fonctions écrites en matlab.
Comment utiliser octave en tant que calculatrice scienti ?
- Le logiciel une fois lance, se presente sous la forme d'une fen^etre de commande possedant unebarre de menu. L'exercice 1 permet de decouvrir la premiere utilisation possible d'Octave, en tantque calculatrice scientifque. Exercice 1. Taper successivement les lignes suivantes, appelees aussi instructions, dans la fen^etrede commande.
Comment écrit-On des fonctions Octave ?
- Une autre astuce importante quand on écrit des fonctions Octave est d'éviter de redimensionner les matrices inutilement. Le manuel lui-même stipule que si vous construisez une seule matrice résultante à partir d'une série de calculs, il faut définir la taille de la matrice résultante d'abord, puis y insérer des valeurs.
Quels sont les algorithmes de MATLAB?
- Introduction Matlab a une série d’algorithmes déjà implémentés pour trouver les racines ( root, fzero ), les moindres carrés (lsqcurvefit, lsqlin …), la solution de systèmes d’équations (fsolve,fzero ) et la minimisation, en une et plusieurs dimensions.
Introduction au calcul scientifique1
MA261. Introduction au calcul scientifique
Corrig´e 1 : Introduction `a Matlab.
Exercice 1Soient les vecteurs colonnes et la matrice suivants ?u 1=(( 1 2 3)) , ?u2=(( -5 2 1)) , ?u3=(( -1 -3 7)) , A=(( 2 3 4 7 6 52 8 7))
1.Structures Matlab
(a) Entrer ces donn´ees sous Matlab. (b) Calculer?u1+ 3?u2-?u3/5. (c) Calculer le produit scalaire entre les vecteurs?u1et?u2. (d) Calculer le produitA?u1.2.Commandes MatlabTrouver les commandes Matlab permettant de :
(a) calculer??u1?2,??u2?1,??u3?∞; (b) d´eterminer les dimensions de la matriceA, en extraire le nombre de colonnes; (c) calculer le d´eterminant et l"inverse deA.3.R´esolution de syst`emes lin´eairesProposer deux m´ethodes permettant de r´esoudre le probl`emeA?x=?u1, et d´eterminer
les commandes Matlab associ´ees.Corrig´e 1Taper en ligne :
u1 = [ 1 ; 2 ; 3 ] u2 = [ -5 ; 2 ; 1 ] u3 = [ -1 ; -3 ; 7 ]A = [ 2 3 4 ; 7 6 5 ; 2 8 7 ]
u1+3*u2-u3/5 u1"*u2 A*u1 norm(u1,2) norm(u2,1) norm(u3,inf) size(A) size(A,2) det(A) inv(A) x = inv(A)*u1 x = A\u1 Exercice 2Soient la matrice et les vecteurs colonnes suivants A=((5/8-1/4 1/8
1/4 0 1/4
1/8-1/4 5/8))
,?b=(( 1 -1 1)) ,?u1=(( 5 2 -4)) On d´efinit, pourn≥1, la suite de vecteurs?un+1=A?un+?b.Introduction au calcul scientifique2
1. Construire une fonctionsuite.mcalculant les premiers termes de la suite?un. Cette
fonction aura comme arguments d"entr´ee les donn´ees suivantes : la matriceA, le second membre?b, le terme initial?u1, et le nombre de termes voulusnbit.2. Repr´esenter graphiquement l"´evolution de chacune descomposantes.
Qu"observe-t-on?
3. Soient
?u 1b=(( 2 1 0)) ,Ab=(( 5 6 3 -1 5-11 2 0))
Observe-t-on le mˆeme comportement si on remplace?u1par?u1b? Que se passe-t-il si on remplaceAparAb(quel que soit le terme initial)? Corrig´e 2Dans le fichiersuite.m, cr´eer la fonction : function u = suite(A,u1,b,nb_it) u = zeros(3,nb_it+1); u(:,1) = u1; for k = 1:nb_it u(:,k+1) = A*u(:,k)+b; endPuis, taper en ligne :
A = [ 5/8 -1/4 1/8 ; 1/4 0 1/4 ; 1/8 -1/4 5/8 ]
b = [ 1 ; -1 ; 1 ] u1 = [ 5 ; 2 ; -4 ] u = suite(A,u1,b,30); Pour ´etudier le comportement des it´er´es, taper en ligne : hold on plot(u(1,:),"g") plot(u(2,:),"r") plot(u(3,:),"y") hold offLes it´erations convergent visuellement vers((
10/3 2/310/3))
u1b = [ 2 ; 1 ; 0 ]; ub = suite(A,u1b,b,30); hold on plot(ub(1,:),"g") plot(ub(2,:),"r") plot(ub(3,:),"y") hold offLes it´erations convergent visuellement vers
10/3 2/310/3))
Introduction au calcul scientifique3
Ab = [ 5 6 3 ; -1 5 -1 ; 1 2 0 ]
Pour les deux termes initiaux?u1et?u1b, la suite diverge. Pour des it´erations du type?un+1=A?un+?b, il y a convergence si, et seulement si, le rayon spectral deAest strictement inf´erieur `a un. On rappelle que si (λi(A))isont les valeurs propres deA(dansC), alors on a par d´efinitionρ(A) = maxi|λi(A)|.
Or, on trouveρ(A) = 1/2 etρ(Ab)≈5.9.
Exercice 3SoitA?Rn×n. On introduit le vecteurpAL(resp.pAC), appartenant `aRn, des indices des colonnes (resp. des lignes) du premier coefficient non nul de chaque ligne (resp. de chaque colonne). Par convention, si tous les coefficients d"une ligne (resp. d"une colonne) sont nuls, le nombre report´e estn+ 1. Par exemple, pour la matriceA=((((5 6 3 00 5-1 0
0 0 0 0
0 0-1 4))))
?R4×4,on apAL=((((1253)))) etpAC=((((1114)))) Les profils en lignePALet en colonnePACpeuvent alors se d´efinir comme ´etant : P P Leur utilit´e premi`ere est d"´eviter de stocker les composantes nulles en d´ebut de chaque ligne ou colonne. 1. ´Ecrire une fonction qui pour toute matrice calcule son profilligne et colonne, i.e. renvoie les vecteurspALetpAC. Aide : utiliser la fonction Matlab retournant le minimum d"un ensemble.2. Comment pourrait-on simplement am´eliorer les profils enligne et en colonne?
3. Que peut-on dire des profils des matrices sym´etriques et sym´etriques d´efinies-positives?
Modifier en cons´equence votre fonction.
Corrig´e 31. DansProfil.m, cr´eer la fonctionProfil: function [pL,pC] = Profil(A)N = size(A,1);
pL = zeros(N,1); pC = zeros(N,1); for I = 1:N pL(I) = min(find(A(I,:))); pC(I) = min(find(A(:,I))); end En sortie, les vecteurs colonnespLetpCcontiennent les valeurs depALetpACavec la correspondancepL(I) = 0??(pAL)i=n+1 (resp.pC(I) = 0??(pAC)i=n+1.)Introduction au calcul scientifique4
2. Il suffit de d´efinir deux vecteursqAL(resp.qAC) des indices des colonnes (resp. des
lignes) du dernier coefficient non nul de chaque ligne (resp. de chaque colonne), avec un nombre report´e´egal `a 0 si tous les coefficients sont nuls. Les profils correspondants sont : P P3. Lorsqu"une matriceAest sym´etrique, on a toujourspAL=pAC: il suffit d"introduire
un unique vecteurpA. Si de plus, la matrice est d´efinie-positive, on remarque queAi,i= (A?ei,?ei)>0, et Par ailleurs, siAest sym´etrique d´efinie-positive, on peut utiliser la factorisation de Cholesky pour r´esoudre les syst`emes lin´eaires du typeA?x=?b. Dans un premier temps, on calcule la matrice triangulaire inf´erieureLtelle que A=LLT. Dans un second temps, on r´esout successivementL?y=?betLT?x=?ypar un algorithme de descente-remont´ee. Bien sˆur, pour une matriceLtriangulaire inf´erieure, on sait quei,j= 0 d`es que j > i. Leprofil optimis´ed"une telle matrice est donc P Et, pour conclure, si on d´efinit leprofil optimis´ed"une matrice SDP comme ´etant : Pson int´erˆet principal est d"ˆetre conserv´e par la factorisation de Cholesky! En d"autres
termes, on a la propri´et´e :PLopt=PAopt. Dans le fichierProfSDP.m, cr´e´er la fonctionProfSDP: function p = ProfSPD(A) % On suppose que A est SPD.N = size(A,1);
p = zeros(N,1); for I = 1:N p(I) = min(find(A(:,I))); end En sortie, le vecteur colonnepcontient les valeurs dep. Exercice 41.´Ecrire une fonction MatlabGenereMatriceg´en´erant une matrice d"ordre quelconque avec des ´el´ements al´eatoires. 2. ´Ecrire une fonction MatlabGenereSystemeconstruisant des syst`emes lin´eaires al´eatoires, et les r´esolvant (lorsque c"est possible). Corrig´e 41. Dans le fichierGenereMatrice.m, cr´eer la fonction : function A = GenereMatrice(m,n,Amax)A = Amax*rand(m,n);
Introduction au calcul scientifique5
Aest une matriceRm×n, dont les ´el´ements sont compris entre 0 etAmax. On peut aussi utiliserrandnpour avoir des ´el´ements n´egatifs, ousprandetsprandnlorsque metnsont tr`es grands.2. Dans le fichierGenereSysteme.m, cr´eer la fonction :
function [A,b,x,msg] = GenereSysteme(m,Amax,bmax)A = GenereMatrice(m,m,Amax);
b = bmax*rand(m,1); if det(A)~=0 x = A\b; msg = "ok"; else x = 0; msg = "pas de solution"; endMise en oeuvre informatique `a l"aide de Matlab
1.Points `a retenir:
- Lancement de Matlab. - Commandeshelpetlookfor; utilisation de lanotice. - Cr´eation d"un r´epertoire pour ranger les fichiers Matlab. - Ecriture d"une fonctionxxxet sauvegarde dans un fichierxxx.m.quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20[PDF] exercices corrigés fifo lifo cmup pdf
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