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29 sept. 2021 ... Centrale-Supélec. Ce ... À cet effet le jury invite les futurs candidats à s'entrainer à l'exercice de l'exposé oral
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Jun 4 2014 2 Exercices d'oraux type Mines-Centrale. 10. 3 Exercices d'oraux type X-ENS. 20. 4 Corrigé des exercices. 23. 4.1 Exercices type CCP .
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Jun 6 2015 Pour la préparation à l'oral de Centrale-Supélec (TP ou simulation)
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Rapport du jury 2010 - Filière MP
Déjà nous avons fait beaucoup et le concours Centrale-Supélec sert quelquefois de référence. Les épreuves de TP. (SPCFA et S2I) et de Maths 2 à l'oral sont
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Oct 31 2017 Cette nouvelle organisation pour l'oral a été très délicate à mettre en ... qui rendaient l'exercice de contraction et de reformulation ...
Oraux Centrale avec Python
Exercice 1. Pour n ? 1 on note ?(n) le nombre d'entiers premiers inférieurs ou égaux à n. a). ?. Écrire une fonction prime(n) qui renvoie True si n est
Rapport du jury Filière MP 2019
Après la préparation la durée maximale de l'oral est également de trente minutes. Page 100. Concours Centrale-Supélec 2019 filière MP. Physique-chimie. O–29.
Rapport du jury Filière PC 2018
Oct 31 2017 La résolution complète de l'exercice n'est en aucun cas un objectif. Page 86. Concours Centrale-Supélec 2018 filière PC. Mathématiques. O–22.
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Centrale (Velut Dijon) 1) Que peut-on dire de la limite en +1 d’une fonction f: R+! R intégrable ? 2) Soit f: R+! R décroissante et intégrable Montrer que f(x) = o(1=x) quand x! +1 3) Soit f: [1;+1[! [1;+1[ continue croissante Montrer que si x7! 1 xln(f(x)) est intégrable alors x7! 1 f(x) l’est aussi Exercice 17 CCP (Velut Dijon)
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Exercices d’oraux Exercice 1 Soit A2M n(IR) et B= A A 0 n 0 n 1 Diagonaliser 1 1 0 0 2 On revient au cas g en eral On suppose que A est diagonalisable Montrer que B est aussi diagonalisable Quelles sont ses valeurs propres? Exercice 2 Pour n2IN et x2IR on pose I n (x) = Z x 0 dt ch t 1 Montrer que I nest bien d e nie 2 Montrer
BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2021 avec corrigés
Les deux exercices proposés portent sur des domaines di érents Ce document contient les 112 exercices de la banque pour la session 2019 : 58 exercices d'analyse ( exercice 1 à exercice 58) 36 exercices d'algèbre (exercice 59 à exercice 94) 18 exercices de probabilités (exercice 95 à exercice 112)
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Recueil des exercices tombés aux oraux Frédéric Zwolska Lycée Mimard Année scolaire 2014-2017 25 août 2018 1 Exercice 27 Granger Centrale 2 2016
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Exercice 8 (Centrale) Soient Xet Y deux variables al eatoires ind ependantes suivant des lois de Poisson de param etre D eterminer la loi de maxfX;Yg On pose Z= max(X;Y) Comme Z= 1 2 (jX Yj+ X+ Y); les th eor emes de stabilit e (par combinaison lin eaire et par composition par une fonction
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Exercices d’oraux Consignes : •L’oral comporte deux questions dont une de spécialité pour le candidats concernés •L’épreuve est constituée d’une préparation d’une vingtaine de minutes suivie d’un en-tretien de même durée •Vous pouvez utiliser votre calculatrice et du brouillon
Oraux 2016 - Solutions - PSI Fabert
L'épreuve maths 1 dure 30mn sans préparation l'épreuve maths 2 dure 30mn avec préparation de 30 mn avec usage de Python L'une et l'autre ont pour coe cient 12/100 la section 3 contient des sujets Mines-Ponts et écoles du même groupe la section 4 contient des sujets X-ENS Les exercices plus di ciles sont indiquées par une ou deux **
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Exercice 2 : On a tracé les symétriques du quadrilatère n°1 par trois symétries centrales distinctes En observant la figure et/ou en utilisant du papier calque compléter les phrases ci-dessous Dans la symétrie de centre R le quadrilatère n°1 se transforme en le quadrilatère n° Les quadrilatères n°1 et n°3 sont
Recueil des exercices tombés aux oraux
Frédéric Zwolska
Lycée Mimard
Année scolaire 2014-2017
25 août 2018
1 TABLE DES MATIÈRES 1 FONCTIONS PREMIÈRE ANNÉETable des matières
1 Fonctions première année2
2 Sommes finies, polynômes et nombres complexes première année 4
3 Espaces vectoriels6
4 Applications linéaires7
5 Probabiltiés générales18
6 Suites et séries numériques22
7 Espaces vectoriels normés35
8 Réduction d"endomorphisme36
9 Variables aléatoires discrètes62
10 Lois usuelles infinies73
11 Intégrales généralisées77
12 Espaces préhilbertiens réels84
13 Suites de fonctions90
14 Séries de fonctions94
15 Séries entières102
16 Fonctions génératrices et approximations 120
17 Fonctions vectorielles et arcs paramétrés 122
18 Calcul différentiel124
19 Isométries, endomorphismes symétriques 129
20 Intégrales à paramètres139
21 Équations et systèmes différentiels 148
22 Informatique pure156
1 Fonctions première année
Exercice 1. Mines-Ponts PSI 2017
Exercice 2. Mines-Ponts PSI 2017
Trouver les fonctionsf???+→?de classeC1telles que?x???+,f′?1x ?=-f(x)2Exercice 3. Mines-Ponts PSI 2017
Calculer une primitive dex↦?2+tan2(x).
2/1621 FONCTIONS PREMIÈRE ANNÉE
Exercice 4. Mines-Ponts PSI 2017
CalculerI=?ln(2)
0(sh(x))2(ch(x))3dx.
Exercice 5. Granger Mines-Ponts 2016
1.S oita>0. Montrer que?x??,?!y??tel que?y
xet2dt=a.On notef(x)cette valeury.
2.É tudierf(variations).
Exercice 6. BEOS 2016 Mines Ponts PSI 143
Résoudre dansRl"équation suivante : arctan(x-1)+arctanx+arctan(x+1)=¼2Exercice 7. BEOS 2016 Mines Ponts PSI 144
Calculer,?n?N?,n
k=0k3?n k?.Exercice 8. Mines-Ponts PSI 2015
1. S oitPun polynôme tel queP(X2)=P(X-1)P(X). Montrer que les éventuelles racines dePsont de mo- dule 1. 2.T rouvert ousles Pvérifiant cette relation.
Exercice 9. Mines-Ponts PSI 2015
Soitf?[a,b]→R, avecf(a)=f(b)=0,f′(a)>0 etf′(b)>0. Montrer qu"il existec?]a,b[tel quef′(c)<0 et
f(c)=0.Exercice 10. RMS 2016 IMT PSI n°146
Montrer à l"aide de l"inégalité des accroissements finis que : ?x??+,x1+x2⩽arctan(x)⩽x.Exercice 11. CCP 2018 T"Kint
Soitf?x↦x+ln(1+x)
1.M ontrerqu efest une bijection sur son ensemble de définitionDdans un intervalle à préciser.
2.S oitg=f-1. Montrer quegest de classeC∞surD.
3.C alculerg(0)etg′(0).
4. M ontrerqu egadmet un développement limité à l"ordre 3 en 0. 5.D éterminerc ed éveloppementl imité.
Exercice 12. CCP 2017 Peltier et OdlT 2016 CCP PSI n°205 I 1.M ontrerqu epour t outn⩾3, l"équation ex=nxadmet deux solutionsxnetyntelles que 0⩽xn S oitu nnombr er éel"strictement positif. Montrer qu"à partir d"un certain rang,yn⩽(1+")ln(n). É tablir,pou rt outn???, la relation :Q′n=(2bX-a)Qn-1. Puis, à l"aide de cette relation et de la formule de Soitfune fonction continue de?dans?. On suppose quefest contractante (c"est-à-direa-lipschitzienne avec O nsu pposemain tenantq ue,p ourtout x??,P(x)-P′′(x)⩾0. Montrer queP(x)⩾0 pour toutx??. SoitPun polynôme de degrénà coefficients réels(ai)0⩽i⩽ndeux à deux distincts. n°610.54 recueilli par Guillaume Haberer en 2015. Ajout de la deuxième question. Voir aussi livre de Legay, exer- M ontrerque ,p ourt outPappartenant àR[X], il existe un unique polynômeQappartenant àR[X]tel que SoitM?M3(?)une matrice nilpotente etp??son indice de nilpotence (i.e.le plus.petit entier naturelptel queÉ tudierla mon otoniedes suites (xn)et(yn).
3. E ndéduir equ "ellesa dmettentu nel imiteà d éterminer. 4. M ontrerqu exn≂n→+∞1n
5. T rouverunéquivalentdexn-1n
etendéduireundéveloppementasymptotique àdeuxtermesdexnen+∞. 3/162 2 SOMMES FINIES, POLYNÔMES ET NOMBRES COMPLEXES PREMIÈRE ANNÉE
6. Exercice 13. RMS 2016 CCP PSI n°145
Résoudre l"équation arcsin(x)+arcsin?⎷1-x2?=¼2 Exercice 14. RMS 2016 CCP PSI n°149
Soient(a,b)??2aveca0t1+cos2(t)dt.
Exercice 15. ENSAM PSI 2017
On veut montrer que¼est irrationnel. On suppose par l"absurde que¼=ab avec(a,b)?(??)2. 1. M ontrerqu epour t outq??,qn=on→+∞(n!).
2. S oit,p ourn??,Qn(X)=1n!Xn(bX-a)netIn=?¼
0Qn(x)sin(x)dx.
Montrer que la suite(In)tend vers 0.
3. M ontrerqu eQ(k)
n(0)??etQ(k) n(¼)??pour toutk??etn??. 5. M ontrerqu e?n??,In??et conclure.
Exercice 16. RMS 2016 ENSEA PSI n°144
Résoudre l"équation 3
x+4x=5xdans?. Exercice 17. Navale PSI 2017
Exercice 18. St Cyr PSI 2017
1. T rouverun exemp lede f onctioncon tinuemais pa sde classe C1sur?0;1]. 2. S oitk??. Trouver un exemple de fonction de classeCkmais pasCk+1sur?0;1]. Exercice 19. ICNA PSI 2017
Soitfune fonction continue et bijective de?0;1]dans lui même, telle que : f -1soit continue et?x??0;1],f(2x-f(x))=x. 1. C alculerf(0 etf(1).fest-elle croissante ou décroissante? 2. O nsu pposequ "ilexi steu nréel x0dans?0;1]tel quef(x0)≠x0, et on pose?n???,xn=f(xn-1). Pour tout entier natureln, calculerxn-x0et en déduiref. 2 Sommes finies, polynômes et nombres complexes première année
Exercice 20. Mines-Ponts PSI 2017
Calculer un équivalent, quandntend vers+∞, debn=n k=1(-1)k⎷k. 4/162 2 SOMMES FINIES, POLYNÔMES ET NOMBRES COMPLEXES PREMIÈRE ANNÉE
Exercice 21. Mines-Ponts PSI 2017
Soitn???. On poseP(X)=1+2X+3X2+⋯+(n-1)Xn-2+nXn-1+(n-1)Xn+⋯+2X2n-3+X2n-2. Trouver les racines dePet le factoriser dans?[X].
Exercice 22. Mines-Ponts PSI 2017
1. M ontrer,p ourt outen tiern???, l"existence et l"unicité d"un polynômePntel quePn?X+1X ?=Xn+1X n. 2. D écomposeren élément ssimples la fr actionr ationnelle 1P n. Exercice 23. Mines-Ponts PSI 2017
Soitn⩾2, calculer⌊
n3 k=0?n 3k?. Exercice 24. Mines-Ponts PSI 2017
Soitn⩾2, calculer⌊
n2 k=0?n 2k?(-3)k.
Exercice 25. Mines-Ponts PSI 2015
Résoudre surCl"équation 1+2z+2z2+⋯+2zn-1+zn=0. Exercice 26. Mines-Ponts PSI 2015
Poura??etn???, résoudre dans?:?1-iz1+iz?n
=1+ia1-ia. Exercice 27. Granger Centrale 2 2016
SoitFnla suite définie parF0=0,F1=1, et?k??,Fk+2=Fk+1+Fk. Soit?n??,n⩾2,Gn=⌊
n2 k=1?3+2cos?2k¼n+1??. 1. É crireFksur Python.
2.?k?[[2;20]], comparerGketFk+1. (on doit les trouver égaux)
3. M ontrerqu eGk=⌊
n2 k=1?1+4cos2?k¼n+1??. 4. M ontrerqu "ile xisteu npoly nômeUntel que?n??,sin((n+1)t)=sin(t)Un(cos(t)). (aide donnée dans l"énoncé : on pourra utiliserV0=1,V1=2X,Vk+2=2XVk+1-Vk) 5. M ontrerqu e?Un?i2
??=Fk+1. 6. M ontrerqu e?Un?i2
??=4⌊n2 n2 k=1?14 +cos2?k¼n+1??. 7. E ndéduir equ e?k??,k⩾2,Fk+1=Gk.
Exercice 28. Petites Mines PSI 2015
Soitfl"application qui à tout nombre complexezappartenant à?∖{i}associef(z)=z+iz-i. 1. M ontrerqu efest une bijection de?∖{i}sur?∖{1}. 2. D éterminerf(?)etf(U∖{i})(Udésigne l"ensemble des nombres complexes de module1). 5/162 3 ESPACES VECTORIELS
Exercice 29. ENSAM PSI 2015
SoitPun polynôme de?[X]scindé dans?[X]et dont toutes les racines sont simples. On poseQ=XP. Montrer queQ′est scindé dans?[X]et n"a que des racines simples. Exercice 30. RMS 2016 ENSAM PSI n°79
SoitPun polynôme à coefficients réels.
1. O nsu pposequ e,p ourt outx??,P(x)+P′(x)⩾0. Montrer queP(x)⩾0 pour toutx??. 2. Peut-on dire queP(x)⩾0 pour toutx???
Exercice 31. TPE PSI 2017
Déterminer la limite, lorsquentend vers+∞, den k=1nk 2e-nk Exercice 32. ENSEA-ENSIIE 2015PSI BEOS 2014-15
Trouver tous les polynômesPdeR[X]vérifiantP(X2)=P(X)P(X+1). Exercice 33. St Cyr PSI 2017
SoitP=X3+X+1. On note®,¯,°les racines complexes deP. 1. C alculer®+¯+°,®2+¯2+°2,®3+¯3+°3. 2. E nexp loitantl ad ivisioneu clidienned up olynômeQ=X4parP, calculer®4+¯4+°4. 3 Espaces vectoriels
Exercice 34. Mines-Ponts PSI 2017
Exercice 35. début Mines-Ponts
1.F=??a b
-b a?,(a,b)??2?est-il un espace vectoriel? 2. Do nnerun sous- espacev ectorielsupp lémentaired eFdansM2(?). Exercice 36. Mines-Ponts 2015
SoitEetFdeux?espace vectoriel . Soitu?L(E,F)etv?L(F,E). On suppose quev○uest bijectif. Montrer que Im(u)?ker(v)=F.
Exercice 37. Mines-Ponts 2015
Exercice 38. début Centrale 2015
Montrer sue l"ensemble§des suites réellesu=(un)qui vérifient : ?n⩾3,un=2un-1+(n-2)un-2n est un espace vectoriel. 6/162 4 APPLICATIONS LINÉAIRES
Exercice 39. Centrale 2015
SoitEun?espace vectoriel de dimensionnetvun vecteur non nul deE. Soit(x1,x2,⋯,xn)??n. Montrer qu"il existe une base deEdans laquelleva pour coordonnées(x1,x2,⋯,xn). On pourra procéder par récurrence sur n.
Exercice 40. CCP 2015
SoitJ=⎛
⎝0 0 1 1 0 0 0 1 0⎞
1. M ontrerqu ele commuta ntC(J)défini par :C(J)=?A?M3(?),AJ=JA?est un espace vectoriel et en donner une base. 2. E xiste-t-ilune inc lusionent reles ensem blesC(J)etD(J)=?Y?M3(?),Y2=J?? DéterminerD(J). Exercice 41. CCP 2015
SoitEun?espace vectoriel de dimension finie etuun endomorphisme deEtel queu3=13 (u2+u+IdE). On note?[u]l"ensemble?v?L(E),?n??,?(a0,a1,⋯an)??n+1,v=a0IdE+a1u+a2u2+⋯anun?. 1. M ontrerqu e?[u]est un espace vectoriel.
2. M ontrerqu e
?u2,u,IdE?est une famille génératrice de?[u]. Exercice 42. CCP 2014
Soientn?N?eta?C.
1. M ontrerqu esi (Pk)0⩽k⩽nest une base deCn[X], alors(Pk(X+a))0⩽k⩽naussi. 2. S oita≠b. Montrer que((X-a)k(X-b)n-k)0⩽k⩽nest une base deCn[X]. Exercice 43. BEOS 2016 ENSAM PSI 18
SoitPun polynôme de degré 3.
SoitF=(P,XP,P′,XP′,X2P′)un système deR4[X]etDson déterminant. 1. M ontrerqu eD=0 si, et seulement si, il existeU?R1[X]etV?R2[X]tels quePU=P′V. 2. M ontrerqu eD=0 si, et seulement si,Padmet une racine multiple. 3. C alculerDpourP=aX2+bX+c.
4 Applications linéaires
Exercice 44. X-ESPCI 2015
1. P(X)=Q(X)-Q(X-1)etQ(0)=0.
2. C aspar ticulier: P(X)=Xn, il existe alors un uniqueQnappartenant àR[X]tel queXn=Qn(X)-Qn(X-1) etQn(0)=0. Montrer queQ′n(X)=Q′n(0)+nQn-1(X). Exercice 45. Mines-Ponts PSI 2017
SoitAetBdeux matrices deM3(?)telles que det(A)=det(B)=det(A-B)=det(A+B)=0. Montrer que?(x,y)??2, det(xA+yB)=0.
7/162 4 APPLICATIONS LINÉAIRES
Exercice 46. Mines-Ponts PSI 2017
On définit, pourn??,n⩾2 etx??:Dn(x)=?
x 22!
x1⋱ ? ? ⋱ ⋱ ⋱0 x22! x1 x nn!⋯ ⋯x22! x? Exercice 47. Mines-Ponts PSI 2017
SoitA?M3(?)une matrice non nulle telle queA2=0.
Déterminer la dimension deCA=?M?M3(?),AM=MA?.
Exercice 48. Mines-Ponts PSI 2017
M ontrerqu ep⩽3.
2. O nsu pposequ ep=3. Montrer queMest semblable à la matrice⎛ ⎝0 1 0 0 0 1 0 0 0⎞
3. O nsu pposequ ep=2. Montrer queMest semblable à la matrice⎛ ⎝0 0 1 0 0 0 0 0 0⎞
4. S oitA?M3(?). Montrer queAest semblable à-Asi et seulement si det(A)=tr(A)=0. Exercice 49. Mines-Ponts PSI 2017
1. S oitAetBdeux matrices deMn(?)nilpotentes ett??.
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