[PDF] Oraux : exercices de probabilit s - pagesperso-orangefr

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PC, LyceeJoffre, 2021-2022Oraux : exercices de probabilites.Exercice 1 (Mines) SoitXune variable aleatoire suivant une loi geometrique de parametrep2]0;1[. CalculerE(1X

Le theoreme de transfert donne, gr^ace ap2]0;1[ :

E 1X =+1X k=11k

P(X=k) =+1X

k=11k p(1p)k1 p1p+1X k=11k (1p)k=p1pln(1(1p)) =plnp1p

Exercice 2 (Mines)

SoientXetYdeux variables aleatoires independantes suivant une loi geometrique de parametre p. On poseZ= maxfX;Yg. Determiner l'esperance deZ. On calcule d'abord la fonction de repartition deX. La reunion disjointe (X6n) = t nk=1(X=k) donne, en notantq= 1p:

P(X6n) =nX

k=1P(X=k) =nX k=1p(1p)k1=p1(1p)n1(1p) = 1qn: CommeZ= max(X;Y), on a (Z6n) = (X6n)\(Y6n) et commeXetY sont independantes, on a :

P(Z6n) =P(X6n)P(Y6n) =P(X6n)2= (1qn)2:

Ensuite la reunion disjointe (Z6n1)t(Z=n) = (Z6n) donneP(Z6 n1) +P(Z=n) =P(Z6n) puis :

P(Z=n) =P(Z6n)P(Z6n1) = (1qn)2(1qn1)2

=f(1qn) + (1qn1)g f(1qn)(1qn1)g = (2qn1(1 +q))qn1(1q) =pqn1(2qn1qn): On ne reconna^t pas de loi usuelle. L'esperance deZest donnee par

E(Z) =+1X

n=1P(Z>n) =+1X n=1(1P(Z6n1)) =+1X n=1(1FZ(n1)) +1X n=1(1(1qn1)2) =+1X n=0(1(1qn)2) =+1X n=0q

2n(2 +qn)

= 2 +1X n=0q

2n++1X

n=0q

3n=21q2+11q3

1

Exercice 3 (Mines)

SoientXetYdeux variables aleatoires independantes suivant une loi geometriqueG(p). On pose

U=jXYjetV= minfX;Yg.

1. Determiner la loi de (U;V).

2. En deduire les lois deUet deV.

3. Les variables aleatoiresUetVsont-elles independantes?

Pour commencer,U(

) =NetV( ) =N.

1. Pouri= 0 etj>1 on aP(U= 0;V=j) =P[(X=j)\(Y=j)] =P(X=

j)P(Y=j) par independance et nalement

P(U= 0;V=j) =p2(1p)2j2

Ensuite pouri>1 etj>1 :

(U=i;V=j) = (X=j)\(Y=i+j)G(X=i+j)\(Y=j) La reunion est bien disjointe sii>1 car alorsX(!) ne peut valoirjeti+ja la fois. Alors :

P(U=i;V=j) =P[(X=j)\(Y=i+j)] +P[(X=i+j)\(Y=j)]

=P(X=j)P(Y=i+j) +P(X=i+j)P(Y=j) par independance =p(1p)j1p(1p)i+j1+p(1p)i+j1p(1p)j1 = 2p2(1p)i+2j2

2. On en deduit les lois marginales.

Loi deU. Sii>1 :

P(U=i) =+1X

j=1P(U=i;V=j) =+1X j=12p2(1p)i+2j2= 2p2(1p)i+1X j=1(1p)2(j1) = 2p2(1p)i11(1p)2=2p(1p)i2p et aussi

P(U= 0) =+1X

j=1P(U= 0;V=j) =+1X j=1p

2(1p)2j2=p211(1p)2=p2p:

Loi deV. Sij>1 :

P(V=j) =P(U= 0;V=j) ++1X

i=1P(U=i;V=j) =p2(1p)2j2++1X i=12p2(1p)i+2j2 =p2(1p)2j2+ 2p2(1p)2j1+1X i=1(1p)i1 =p2(1p)2j2+ 2p2(1p)2j111(1p)=p2(1p)2j2+ 2p(1p)2j1 =p(p+ 2(1p))(1p)2j2=p(2p)(1p)2j2: 2 Si on noteq= 1p, alorsp(p+ 2(1p)) =p(2p) = 1(1p)2= 1q2 et

P(V=j) = (1q2)q2j2=r(1r)j1avecr= 1q2=p(2p):

On reconna^t la loi geometrique de parametrer= 1q2:

V ,! G(1q2):

3. Oui, il sut de verier l'egaliteP((U;V) = (i;j)) =P(U=i)P(V=j) en

distinguant le casi>1 du casi= 0.

Exercice 4 (Mines)

Mots-cles : loi de Pascal, somme de lois geometriques independantes SoientXetYdeux variables aleatoires independantes suivant des lois geometriques de para- metreset. Determiner la loi deX+Y. La fonction generatrice d'une variable aleatoireUsuivant la loiG(p) est donnee par (on a poseq= 1p) : 8x2 1p ;1p ; G

U(t) =pt1qt

On posep= max(;),= 1et = 1, de sorte que =. Par

independance, pour toutt2]1p ;1p [, on a G

X+Y(t) =GX(t)GY(t) =t1tt1t

On distingue ensuite deux cas.

Les parametresetsont distincts. Alors

G

X+Y(t) =t

11t11t

=t+1X n=0(nn)tn=+1X n=2n1n1)tn:

On en deduit queP(Z= 0) =P(Z= 1) = 0 et que

8n>2; P(Z=n) =n1n1=n2X

k=0 kn2k: Les parametresetsont egaux. Alors, gr^ace au theoreme de derivation terme a terme des sommes de series entieres sur leur intervalle ouvert de convergence, G

X+Y(t) =2t2(1t)2=2

t2ddt 11t =2 t2+1X n=0nntn1 =2+1X n=1nn1tn+1=2+1X n=2(n1)n2tn:

On en deduit queP(Z= 0) =P(Z= 1) = 0 et que

8n>2; P(Z=n) = (n1)2n2:

On dit alors queZsuite une loi de Pascal de parametre. 3 On retrouve l'expression du second cas par passage a la limite quand!dans le premier cas.

Exercice 5 (Mines)

Soit (Xn)n>1une suite de variables aleatoires independantes, identiquement distribuees, suivant une loi de Bernoulli de parametrep2]0;1[. SoientN= minfn2N; Xn= 1getY=XN+1+ +X2N.

1. Determiner la loi deN.

2. Determiner la loi deY.

1. Le cours arme queNsuit la loi geometrique de parametrep:

8n2N; P(N=n) =p(1p)n1:

2. Il est clair que l'image deYestN. On calcule sa loi en utilisant le systeme complet

d'evenements (N=n)n2N, et l'independance de toutes les variables etudiees :

P(Y=k) =+1X

n=1P(Y=k;N=n) =+1X n=1P(Xn+1++X2n=k;N=n) +1X n=1P(Xn+1++X2n=k)P(N=n): Comme (Xn)n>1est une suite de variables aleatoires independantes, identique- ment distribuees, suivant une loi de Bernoulli de parametrep2]0;1[, le cours arme que la somme denquelconques d'entre elles suit une loi binomiale de parametres (n;p). Comme 1(1p)2=p(2p), on en deduit que

P(Y= 0) =+1X

n=1(1p)np(1p)n1=p+1X n=1(1p)2n1 =p1p1(1p)2=1p2p

Pourk2N, on a

P(Y=k) =+1X

n=1 n k p k(1p)nkp(1p)n1=pk+1+1X n=k n k (1p)2nk1 pk+1(1p)k1k!+1X n=kn(n1)(nk+ 1)(1p)2nk:

Si l'on posef:t2]1;1[7!11t=+1X

n=0t n, le theoreme de derivation terme a terme des sommes de series entieres sur leur intervalle ouvert de convergence montre que

8t2]1;1[; f(k)(t) =k!(1t)k+1=+1X

n=kn(n1)(nk+ 1)tnk: Comme 1(1p)2=p(2p), on en deduit que, pour toutk2N,

P(Y=k) =pk+1(1p)k1(1(1p)2)k+1=(1p)k1(2p)k+1

4

Exercice 6 (Mines)

SoitXune variable aleatoire reelle discrete suivant une loi de Poisson de parametre. Quelle est la probabilite queXsoit un entier pair? Comme l'evenement"Xest un entier pair»est la reunion disjointe des (X= 2n) pourn2N, on obtient par-additivite

P(X22N) =+1X

n=0P(X= 2n) =+1X n=0e

2n(2n)!= ech ():

Exercice 7 (CCP)

SoientXune variable aleatoire suivant une loi de Poisson de parametreetY=X2+ 1.

1. Determiner l'esperance deY.

2. Quelle est la probabilite que 2X < Y?

3. Comparer les probabilites queXsoit paire et queXsoit impaire.

1. Par le theoreme de transfert,

E(Y) =+1X

n=0(n2+ 1)enn!= e+1X n=0(n(n1) +n+ 1)nn!=2++ 1:

2. On a (2X < Y) = ((X1)2>0) = (X6= 1), doncP(2X < Y) = 1P(X=

1) = 1e.

3. On trouve

P(Xest pair) =+1X

n=0P(X= 2n) =+1X n=0e

2n(2n)!= ech=12

(1 + e2)

P(Xest impair) = 1P(Xest pair) =12

(1e2)< P(Xest pair):

Exercice 8 (Centrale)

SoientXetYdeux variables aleatoires independantes suivant des lois de Poisson de parametre . Determiner la loi de maxfX;Yg.

On poseZ= max(X;Y). Comme

Z=12 (jXYj+X+Y); les theoremes de stabilite (par combinaison lineaire et par composition par une fonction quelconque) montrent queZest encore une variable aleatoire discrete. CommeXet Yont pour imageNet qu'elles sont independantes, l'image deZest donnee par Z( ) =N: 5 On utilise ensuite les fonctions de repartition. CommeXetYsuivent la m^eme loi P(), leurs fonctions de repartition sont egales et valent, enn2N: F

X(n) =FY(n) =P(X6n) =nX

k=0P(X=k) = enX k=0 kk! Par suite, comme (Z6n) = (X6n)\(Y6n) on obtient, par independance deX etY: F

Z(n) =P(Z6n) =P(Y6n)P(Z6n) =FX(n)FY(n) = e2

nX k=0 kk!! 2 Il sut ensuite d'ecrire la reunion disjointe (Z6n) = (Z=n)t(Z6n1) pour obtenir

P(Z=n) =FZ(n)FZ(n1) = e22

4 nX k=0 kk!! 2 n1X k=0 kk!! 23
5 = e 2nn!" nn!+ 2n1X k=0 kk!#

Exercice 9

SoientX ,! P() etY ,! P(), independantes. On poseZ=X+Y.

1. Determiner la loi deZ.

2. Pourk2Netn2N, calculerP(X=kjZ=n).

3. En deduire la loi deXsachant (Z=n).

1. Pourn2IN;(Z=n) =tnk=0(X=k;Y=nk) donc (reunion disjointe et

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