[PDF] Oraux Centrale avec Python Exercice 1. Pour n ? 1

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informatique commune

Oraux Centrale avec PythonLes questions précédées d"une étoile sont celles qui font appel à l"outil informatique.

Arithmétique et algèbre générale

Exercice 1Pourn>1, on note(n) le nombre d"entiers premiers inférieurs ou égaux àn. a)?Écrire une fonctionprime(n)qui renvoieTruesinest premier etFalsesinon. b)?Écrire une fonctionpi(n)qui renvoie(n).

c)?Afficher les valeurs den(n)pourn2 f101;102;:::;106g. En déduire une conjecture de la limite den(n).

d)On suppose savoir que pour toutn>2,(n)62ln2nlnn. Confirmer la conjecture de la question précédente.

On note (E

k) l"équationn=k(n) d"inconnuen, aveck2Q. e)Montrer que toute solution de (Ek) est inférieure ou égale à 22k. f)?Trouver automatiquement les solutions de (E11=2).

g)On étudie maintenant(Ek)pourk2N,k>2. On poseFk=nn>2n6k(n)o. Montrer queFkest fini et que son plus

grand élément est solution de (Ek).

Exercice 2

Dans ce sujet,ndésigne un entier strictement positif. On rappelle que l"indicatrice d"Euler den, notée'(n), est le nombre

d"entiersk2~0;n1premiers avecn. a)Calculer'(1),'(10) et'(p) pourppremier. b)?

Expliquer pourquoi l"algorithme suivant fonctionne en exhibant un invariant de boucle, c"est-à-dire une propriété

P(i) qui est vérifiée à chaque étape de la boucle principale.defpremAvec(n):

Renvoie

la liste des entiers 0 k n premiers avec n ifn == 1: return[0] table = [0] + [1foriinrange (1,n)] obje ctif fi nal t able i 1 ss i pgc d n i 1 foriinrange (2, n//2 + 1): iftable[i] == 1andn % i == 0: forkinrange (1, (n1)//i + 1): table[k*i] = 0 return[iforiinrange (1,n)iftable[i] == 1]c)?

Écrire une fonction Pythonphi(n)qui renvoie l"indicatrice d"Euler de l"entiernreprésenté par l"objet Python nommé

nen utilisant la fonctionpremAvec.

d)?Calculer'(102481) et'(1024)'(81). Que conjecturez-vous? Tester votre conjecture avec d"autres exemples.

e)Démontrer cette conjecture.

Exercice 3

Pourn>1on noteEn=~0;n1etSnle groupe des permutations deEn. En Python, une permutation2Enest représentée par la liste [(0);:::;(n1)]. Pourx2En, lapériodedexpour2Snest le plus petit entierp>1 tel quep(x) =x. On le note Per(;x). L"ordred"une permutationest le plus petit entierp>1 tel quep= Id.

a)Justifier l"existence de Per(;x) et montrer qu"elle est plus petite quen. Préciser l"ordre deen fonction des Per(;x).

b)?Écrire une fonction Python qui renvoie la période d"un élémentxpour une permutation. c)?

Écrire une fonction Python qui renvoie la liste des périodes, pour une permutation, des éléments deEn. Application :

= [3;6;7;0;2;1;8;5;4;9]. d)Soit2Sn. On définit une relationRsurEnpar :xRy() 9k2Zy=k(x). Montrer queRest une relation d"équivalence. On appelleorbited"un élémentx2Ensa classe d"équivalence; on la note (x). e)Montrer que (x) =nx;(x);:::;p1(x)ooùp= Per(;x). f)?Écrire une fonction Python qui renvoie la liste des orbites d"une permutation. Exercice 4On noteAl"ensemble des polynômes réels à coefficients dansf0;1g. a)Soient P et Q dansA. Montrer que P(2) = Q(2) si et seulement si P = Q. b)Soitn2Z. Montrer qu"il existe P2Atel quen= P(2). c)?Écrire une fonction Python de variable d"entréenet calculant P. d)Donner P pourn= 2015.

Algèbre linéaire

Exercice 5Poura;b2Non introduit la matrice suivante : M(a;b) = 3a2b6a+6b+3 ab2a+3b+1! a)?

On notee(a;b)le réelj12joù1et2sont les valeurs propres complexes deM(a;b). Écrire en Python une fonction

ecartqui, étant donnés deux entiersaetbrenvoie une valeur approchée décimale à 102près dee(a;b).

b)?

SoientAetBdeux variables aléatoires indépendantes, à valeurs dansN, de même loi géométriqueG(p)avecp2]0;1[.

Écrire en Python une fonctionhasardqui, étant donnép, réalise la simulation de 500 valeurs(a;b)du couple de variables

aléatoires (A;B) et renvoie le nombre de fois oùecart(a, b)est supérieur ou égal à 101.

c)?Pourp=1100 ;2100 ;:::;99100 , relier les points de coordonnéesp;hasard(p)500 d)?Sur le même graphe, tracer la courbe de la fonctionp7!22p+p22ppourpdans]0;1[. e)Montrer que la matrice M(a;b) est semblable à a+1 1 0b! . À quelle condition est-elle diagonalisable? f)Calculer la probabilité de l"événement " M(a;b) est diagonalisable ».

Exercice 6Soitn>1 un entier etaun réel non nul. On considère la matrice carrée d"ordrenà coefficients réels :

A n;a=0

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB@0 1=a00

a0 1=a::::::

0a::::::0

:::::::::0 1=a 00a01

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCA:

a)?Écrire une fonction Python qui, étant donnés un entiern>1 et un réelanon nul renvoie la matrice An;a.

b)?Donner des valeurs approchées décimales des valeurs propres de An;apour 36n68 etadansf2;1;1;2;3g.

c)?Soit (Pn)n>1la suite de polynômes définie par : P

1= X P2= X218n2N;Pn+2= XPn+1Pn

Calculer les coefficients de P3;:::;P8, puis donner des valeurs approchées des racines de ces polynômes.

d)Conjecturer un lien entre Pnet An;aet le démontrer. e)Les matrices An;asont-elles inversibles? diagonalisables? f)Trouver un segment deRcontenant toutes les valeurs propres de An;apourn2Neta2R.

Analyse

Exercice 7Pourn2N, on considère le développement en base 2 den:n= knX k=0" k;n

2koùknest dansN, les"n;kdansf0;1get"kn;n= 1.

On pose L(n) = 2knet S(n) =k

nX k=0" k;n. On fixe enfin>0. a)?Définir les fonctions L et S en Python.

b)?Ecrire en Python une fonction d"argument (N;) calculant la somme partielle à l"ordre N de la sérieX1L(n)S(n).

c) Soit(an)n>1une suite décroissante d"éléments deR+. PourndansN, soitbn= 2na2n. Montrer que X a n converge si et seulement siX b nconverge. d)Pour quelles valeurs dela sérieX1L(n)S(n)converge-t-elle?

Exercice 8Pourn2Netx>0 on pose Pn(x) =n1X

k=0(nx)kk!etfn(x) = enxPn(x).

a)?Écrire en Python une fonctionP(n, x)qui renvoie la valeur de Pn(x). Vérifier que P7(0;1) = 2;0137348.

b)?

Tracer le graphe de la restriction defnà[0;2]pour quelques valeurs den. Conjecturer un résultat relatif à la

convergence de la suite de fonctions (fn)n>0. c)

Soitn2Netx2[0;1]. Montrer que, pour(k;n)2N2aveck>n,nkn6k!n!. En déduire que061fn(x)6enx(nx)nn!(1x).

Étudier la convergence simple de (fn)n>1sur[0;1[. d)

Soientn2Netx >1. Montrer que l"applicationk7!(nx)kk!est croissante sur~0;n1, puis quefn(x)6nenx(nx)nn!.

Etudier la convergence simple de (fn)n>1sur]1;+1[. e)

Pourn2N, soitun=enn1X

k=0n kk!. Montrer les relationsun= 1en+1X k=nn kk!, puis12un=ennnn!(an+bncn)où on pose, pour (n;k)2N2,n;k=nknn!k!,an=+1X k=2n n;k,bn=2n1X k=n n;k,cn=n1X k=0 n;k. f)Avec les notations précédentes, montrer que sik>2n,n;k612 k2n+1, et en déduire la limite de (un)n>1.

Probabilités

Exercice 9

Un pion se trouve à l"instant 0 sur la case 0 d"un parcours linéaire dont les cases sont numérotées par les entiers consécutifs.

À chaque étape, il avance d"un nombre strictement positif aléatoire de cases. Pourn2Non noteYnle nombre de cases

dont il avance à laneétape. Ainsi,Sn=Y1++Ynest sa position à l"instantn, avecS0= 0par convention. On suppose

que les variables (Yn)n2Nsuivent toutes la même loi de probabilité et sont indépendantes. On note par conséquent :

8i2N; fi= P(Yn=i) etf:t7!+1X

k=0f ktk respectivement la loi et la fonction génératrice de Y n. Par hypothèse,fine dépend pas den, etf0= 0. a)?

Dans cette question et la suivante, on suppose queY11suit une loi de Bernoulli de paramètrepet on choisit un

entierk2N.

Écrire en Python une fonction prenant en argument les paramètrespetket simulant l"expérience jusqu"à ce que le pion

dépasse (au sens large) la positionk. La fonction renverra 1 si le point a atterri sur la caseket 0 s"il l"a dépassée sans s"y

arrêter.

b)?Pour un entierkassez grand et des valeurs depde votre choix, calculer sur une centaine d"essais la proportion de

tentatives pour lesquelles le pion atteint la positionkexactement. Comparer avec 1=E(Y1).

Pour tout entierk, on noteEk=

+1[ n=0 (Sn=k)etuk=P(Ek). Ainsi,ukest la probabilité que le pion passe par la caseklors de son parcours. c)Soit 16j6k. Prouver que P(Ek\(Y1=j)) =fjukj. d)En déduire queuk=fku0+fk1u1++f1uk1. On noteula fonction génératrice de la suite (uk)k>0.u:t7!+1X k=0u ktk. e)Justifier queuest bien définie sur]1;1[et que pour toutt2]1;1[,u(t) =11f(t). f)

En déduire l"expression deu, celle deuken fonction deket enfin la limite de cette suite lorsquektend vers+1dans

les deux cas suivants : Y

1suis une loi géométrique de paramètrep;

Y

11 suit la loi de Bernoulli de paramètrep.

Déterminer par ailleurs E(Y

1) dans les deux cas. Que remarque-t-on?

Exercice 10

Aux cinq sommets d"un pentagone sont postés des joueurs de discoplane. Au début du jeu, deux des joueurs, voisins

immédiats, ont entre les mains un discoplane. Ils envoient le discoplane à l"un de leurs deux voisins immédiats, et les

receveurs font de même à l"étape suivante. Le jeu s"arrête lorsque les deux discoplanes sont entre les mains d"un même

joueur. On note T la variable aléatoire qui numérote l"étape à laquelle le jeu s"arrête.

a)?Estimer numériquement E(T). b)

Soitn>0. On noteanla probabilité que les deux discoplanes soient entre les mains de voisins immédiats à l"étapen,

etbnla probabilité que les deux discoplanes soient entre les mains de joueurs différents et non voisins immédiats. On

pose A(z) =+1X n=0a nznet B(z) =+1X n=0b nzn. Exprimer+1X n=1P(T =n)znà l"aide de A(z) et B(z) puis en déduire la valeur de E(T). c)Généraliser au polygone à 2p+1 côtés.quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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