[PDF] Introduction à la programmation sous Scilab : TP auto-correctifs I

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Introduction à la programmation

sous Scilab : TP auto-correctifs ILicence de Physique à distance

Table des matières

I Prise en main de scilab

1 a) Organisation du travail 1 b) Première utilisation de Scilab 1 c) Premier exemple de script Scilab 2 d) Premier exemple de fonction Scilab 3 e) Faire des tests dans Scilab 4 f) Aide en ligne et démos Scilab 4

II Vecteurs et matrices (I)

6 a) Construction de vecteurs 6 b) Construction de matrices 7 c) Extration de sous-matrices 8

IIIGraphiques

9 a) Utilisations de plot 9 b) Un exemple : l"application logistique 9

I Prise en main de scilab 1

I Prise en main de scilab

a) Organisation du travail

L"objectif de cette série d"exercices est de vous permettre d"acquérir les bases du logiciel de calcul

scientifique Scilab, qui vous seront indispensables pour les TP et Devoirs Numériques, notam- ment en LP341 et LP342. Commencez par créer un dossier (nommé par exemple "SCILAB»)

où seront stockés vos fichiers et données. Chaque exercice demandant une exécution devra faire

l"objet d"un script sous forme d"un fichier texte nommé par exemple "NOM-exo1.sce» (pour l"exercice 1). Il est important, et très fortement recommandé, de commenter les script par des lignes (tout ce qui suit un//) qui vous permettront en suite de retrouver plus facilement le

sens des opérations programmées et de comprendre le script sans besoin de revenir en arrière.

D"autre part vous serez peut-être amené à demander conseil à vos enseignants et à leur envoyer

vos script : il faudra donc bien noter votre nom et l"exercice concerné. Le format conseillé d"un

script est le suivant ://NOM prenom - Exercice 1 - Introduction SCILAB // Commentaires generaux // Commentaires generaux ... code ... // commentaire de la ligne ... code ... //Commentaires generaux ... code ... ... code ... Ces exercices auto-correctifs ne sont pas corrigés (ni notés) par vos enseignants, mais vous

disposez d"un corrigé détaillé pour chaque exercice, qui vous permettra d"évaluer et corriger

votre travail vous même. Mais il est important d"essayer avant de regarder la solution! b) Première utilisation de Scilab Lancer Scilab, soit en cliquant sur l"icone correspondante, soit en executant la commande scilab

dans un terminal, selon les environnements. Une fois lancé, le logiciel se présente sous la forme

d"une fenêtre de commande possédant une barre de menu. L"exercice suivant permet de dé- couvrir la première utilisation possible de Scilab, en tant que calculatrice scientifique. Pour le moment, vous pouvez taper les commandes directement dans la fenêtre Scilab, mais rien n"empêche de les écrire dans un script, tout de suite ou bien dans un deuxième moment, pour pouvoir les garder et les commenter. Exercice 1: Tapez successivement les lignes suivantes, appelées instructions ou commandes,

dans la fenêtre de commande à la suite de la flèche-->(en appuyant sur la touche Enter/Entrée

valider la commande et changer de ligne).a=5+6 sqrt(12) //Avez-vous compris ce que fait sqrt ? (1+%i)^3 //Avez-vous compris ce que représente %i ? // A quoi sert le symbole ^ ? 2 a=[1,2,3], b=[1 2 3] //Que sont a et b ? cos(a) \\ c=[-1;2;1;-3] //Notez la différence entre ; et ,

A=[1,-1,3,4;-1,2,7,8;0,2,-4,-2]

d=exp(A) e=A*c // Notez que cette opération est effectivement //autorisée par les dimensions de A et c. Comme vous le voyez, nous avons rajouté des signes de commentaires (//) avant de mettre quelques questions additionnelles. Ce genre de commentaires peuvent être utilisés dans votre

script (par exemple pour mettre la réponse à la question posée!) : ils n"auront aucun effet sur

l"exécution de la commande. Essayer par exemple de taper : sqrt(12) //la fonction sqrt est... c) Premier exemple de script Scilab

Afin d"exécuter une suite d"instructions plus longue ou plus complexe, il est préférable d"écrire

celles-ci dans un fichier plutôt que de les taper dans la fenêtre de commande comme précédem-

ment. On parle dans ce cas de l"écriture d"un script. Il est ensuite possible d"exécuter ce script

en utilisant la commandeexecaccessible

soit a vecla barre de men ude la fenêtre principale (à partir du men uprinc ipal: File→File

operations→Exec);-soit en tapan texec nom_du_scriptdans la fenêtre de commande.

Vous disposez un éditeur de texte nommé Scipad ou SciNotes. Pour ouvrir l"éditeur, cliquez sur

le bouton approprié, ou aller dans le menuApplications, ou encore taperedit. Exercice 2: Cet exercice propose un premier exemple d"écriture et d"exécution d"un script.

Ouvrez l"éditeur de texte et créez un fichier que vous enregistrerez dans votre dossier sous le

nomessai1.scecontenant le texte suivant :A=rand(4,4); b=ones(4,1); x=inv(A)*b; s=A*x-b; x,s Rappelons que l"on peut aussi exécuter le script à partir de la fenêtre de commande par : exec("essai1.sce").

1)Quelle est la signification des fonctionsrand()etones()? Ces fonctions sont issues de la

bibliothèque Scilab.

2)Exécuter le script. Commenter les résultats obtenus.

NB : vous devez choisir vous-même les noms de vos scripts Scilab. Les noms ne doivent pas comporter d"espaces, d"opérateurs mathématiques (+ - / *), ou de signes spéciaux (: ! ; , etc). Par contre, le "underscore»_est autorisé. Dans tous les cas, vous n"oublierez pas de préciser l"extension qui est.sce(ou.scipour les fonctions). d) Premier exemple de fonction Scilab 3 d) Premier exemple de fonction Scilab Il est également possible de construire avec Scilab de nouvelles fonctions mathématiques, en complément de celles existantes (commesqrt(12)que l"on a vu, ouinv(A)par exemple pour calculer l"inverse d"une matrice). Ces fonctions peuvent prendre divers types d"arguments

(scalaire, matrice, etc.) et peuvent réaliser des opérations mathématiques plus ou moins com-

plexes. L"exercice suivant propose un premier exemple d"écriture et de chargement d"une fonc- tion.

Exercice 3:

Ouvrir l"éditeur Scipad et recopiez ce script :n=12; c=1; for i=1:n c=c*i; end Sauvez le fichier sous le nomtiti.sceet exécutez-le. Tapez ensuitecet Enter/Entrée pour afficher la valeur de la variablec.

1)Que calculent ces quelques lignes de programme?

2)Est-ce important d"initialisercà la valeur 1?

Modifiez votre script pour englober ces quelques lignes dans une fonction qu"on appellera toto, prenant comme argumentn, et renvoyant la valeur dec:function c=toto(n) c=1; for i=1:n c=c*i; end endfunction Enregistrer la fonction sous le nomtoto.sci. Dans la fenêtre Scilab, appeler la fonction.

3)Que se passe-t-il? Taper maintenanttoto(4)(outoto(5)...). Que réalise la fonction que

vous venez de créer? Quelle fonction bien connue reconnaît-on?

4)Essayez avectoto(-5). Que remarquez-vous? (On s"occupera de cette question dans la

section suivante). Pour le moment, un autre exercice simple sur les fonctions : Exercice 4: Programmer la fonctionf(x) =x2en utilisant la méthode vue dans l"exercice précedent. Tester le résultat. 4 e) Faire des tests dans Scilab Pour effectuer un test, qui conditionnera l"exécution d"une ou plusieurs commande(s) si le test est vrai, on utilise les commandesif,elseif,else,end. Pour exécuter une ou plusieurs instruction(s) tant que le test est vrai, on utilise les commandeswhile,end. Dans tous ces cas,

il faut utiliser une variable booléene, c"est-à-dire une variable qui ne peut que être égale qu"à

vraie (Tou1) ou fausse (Fou0). Un test de comparaison crée une variable Bouléenne de valeur TouF. Par exemple, taper :1 < 0.5. Quelle est la réponse?

Les instructions conditionnées au test sont effectuées si le test est vrai, et ne sont pas effectuées

si le test est faux. Par exemple, on écrira : if valtest<0.5 instructions 1 else instructions 2 end Ici, l"expressionvaltest<0.5est une variable booléenne : sivaltestest inférieure à 0.5, cette variable booléenne vautT, et le programme exécutera les instructions 1. Sivaltestest

supérieure ou égale à 0.5, la variable booléennevaltest<0.5vaut 0 et le programme exécutera

alors les instructions 2. L"exercice suivant propose d"ajouter un test à la fonctiontotodéfinie précédemment pour s"assurer que la variablenest un entier positif. Exercice 5: Un test pour voir si un nombrenest un entier est de regarder si ce nombre est

égal ou non à sa partie entièreint(n). On veut s"assurer que le nombrenest un entier positif.

Pour cela, vous allez modifier la fonctiontotoprécédente, de sorte que sinest négatif oun n"est pas entier, la fonctiontotorenvoie la valeur 0, et sinon,totorenvoie la valeur calculée dec. Modifier la fonctiontoto.scepuis tester celle-ci sur différentes valeurs en entrée. f) Aide en ligne et démos Scilab La prise en main du logiciel passe aussi par la découverte de l"aide en ligne dont le recours sera ensuite constant. Cette aide, presque exclusivement en anglais, est accessible à partir de l"optionHelpdu menu ou en tapant la commandehelp. Elle se présente sous la forme d"une liste de fichiers d"aide pour chaque instruction disponible sous Scilab. Pour effectuer une recherche par mot clé dans l"index (par exemple, trouver la fonction qui retourne le cosinus hyperbolique), on peut taperapropos cosinedans la fenêtre de commande (et découvrir que la fonction s"appellecosh). Au contraire, lorsqu"une instruction est connue (par exemplerand), il est possible d"accéder directement à l"aide sur celle-ci entapanthelp randsur la ligne de commande. Exercice 6: On veut écrire de plusieurs manières un script qui calcule la somme desnpremiers entiers :1 + 2 + 3 + 4 + ... + n

1)Ecrire un script qui permet le calcul de la somme à l"aide d"une bouclefor.

2)Même question avec une bouclewhile.

3)Ecrire une fonctionsommetheoriquequi renvoie la formule mathématiquen*(n+1)/2.

4)Cette formule coïncide-t-elle avec la somme desnpremiers entiers?

II Vecteurs et matrices (I) 5

II Vecteurs et matrices (I)

Dans cette partie, l"accent est mis sur les différentes possibilités de construction et de manipu-

lation de vecteurs et de matrices. a) Construction de vecteurs On dispose de différentes possibilités de construire un vecteur (appelévpar la suite) : Lorsque la taille du v ecteurest conn ueet est p etite,on p eutécrire directemen tle v ecteur, par exemplev=[1,2]pour un vecteur ligne etv=[1;2]pour un vecteur colonne. Lorsque les v aleursdu v ecteursuiv entune progression arithmétique, en écriv antpar exemple v=2:0.1:4. Dans cet exemple,2est le premier terme de la suite et0.1sa raison (par défaut,

la raison est égale à un). Le dernier paramètre (ici4) ne fait pas toujours partie de la suite,

comme dans l"exemplev=2:0.3:4(essayer!). En utilisan tune b ouclefor. Par exemple, la bouclefor k=1:4, v(k)=k*k; end crée un vecteurvde dimension 4. Remarque : Il est recommandé d"initialiser les vecteurs de grande dimension (avec l"instruction zerosouones, par exemple) pour économiser les temps de réallocation de la mémoire vive lors de calculs longs. En initialisan tvcomme un vecteur vide :v=[], puis en utilisant une boucle for pour "con- caténer» de nouveaux éléments àv:for k=1:4, v=[v,k*k]; end En effectuan tdes fonctions scilab comme rand,zeros, ouone:u=rand(3,1); v=ones(3,1); En effectuan tdes op érationsde somme, de m ultiplicatione tde division matric ielleà partir de vecteurs déjà définies : En utilisan tla fonction linspace. Voir l"aide de cette commande. On accède à un élément du vecteurude dimensionnparu(k)oùkest un entier compris entre 1etn. On peut également accéder à une partie d"un tableauuen utilisant un tableau d"indice. Par exemple, on accède aux éléments 5 à 10 du tableauuen tapant :u(5:10) Exercice 7: Tapez les instructions suivantes et en commenter les résultats : n=5, u=rand(n,1), u(3), u(2:n-1), u($), u", length(u) 6 Exercice 8: Construire le vecteur ligne de taillenqui comporte les carrés desnpremiers nombres entiers. (choisirn=8par exemple). Exercice 9: Construire un vecteur de taille 10 dont la composanteiest égale à(-1)i. b) Construction de matrices Les vecteurs étant pour Scilab des cas particuliers de matrices de taillen×1ou1×n, il est

naturel que la construction d"une matriceAs"effectue de manière similaire à celle d"un vecteur,

en l"occurrence : Lor squela taille de la matrice est conn ueet p etite,en écriv antpar exemple A=[1,2,3; 3,4,5] pour une matrice de taille2×3;

En initialisan tAà la matrice nulle (ou à la matrice identité aveceye) puis en effectuant une

double boucle sur les indices avec des affectations du typeA(i,j)=2; En initialisan tAà un vecteur ligne (ou colonne) puis en concaténant dans une boucle chaque nouvelle ligne (ou colonne) avec des affectations du typeA=[A;v](respectivementA=[A,v]). A noter que cette méthode s"étend à la concaténation entre matrices; En effectuan tdes op érationsde somme, de m ultiplicatione tde division matric ielleà partir de matrices déjà définies : u=rand(3,2); v=rand(3,2); 2*u-3*v, u*v" En effec tuantdes op érationscomp osantepar comp osante(utiliser les op érations.*,./ou .^) à partir de vecteurs ou matrices déjà définis : u.*v, u./v, u.^v Remarque : si on veut construire le vecteur1/vil faut utiliser la commandeId./vou bien v^(-1). (Sur les versions récentes,1./vmarche aussi.)

On accède à un élément de la matriceAde dimensionm×n, c"est-à-dire àmlignes etncolonnes,

parA(i,j)oùiest une entier compris entre 1 etmetjest un entier compris entre 1 etn. Exercice 10: Reconstruire le vecteur ligne de taillenqui comporte les carrés desnpremiers nombres entiers sans utiliser de boucle cette fois. Exercice 11: Tapez les instructions suivantes et en commenter les résultats : m=5; n=4; for i=1:m for j=1:n

A(i,j)=i-j;

end end

A, size(A), length(A),

u=A(3,:), size(u) v=A(:), size(v), length(v) Exercice 12: Construire la matrice de taille9×9dont tous les éléments sont nuls sauf les

éléments du "centre»(i, j) = {4, 5, 6}×{4, 5, 6}et les éléments du "bord »,i ={1, 9}

ouj = {1, 9}, qui tous valent 1. c) Extration de sous-matrices 7

Exercice 13:

1)Construire sans effectuer de boucle la matrice10×10donnant les résultats de la table de

multiplication de 1 à 10.

2)Construire une matrice de taillem×ndont la composante(i, j)est égale àu(i)v(j)où

uest un vecteur de taillemetvun vecteur de taillenque vous choisirez. Exercice 14: Tapez les instructions suivantes et en commenter les résultats : u=ones(1,5);v=rand(u);

A=[u;2*u;-u], A=[A; v],

B=v"*u, C=B(2:4,3:4)

Exercice 15: A partir des vecteursu=[0,0.25,0.5,1]etv=(0:10)/10, construire une ma- triceXde taille4×10dont la ligneiest formée deu(i)et une matriceYdont la colonnej est formée dev(j). c) Extration de sous-matrices Il est possible d"extraire facilement avec Scilab une sous matrice d"une matrice quelconque simplement en construisant le vecteur formé par les indices de lignes et celui formé par les indices de colonnes à sélectionner. Par exemple, l"instructionB=A(1:2:5,1:3)extraira de la matrice A les lignes 1,3 et 5 et les colonnes 1,2 et 3 pour former une matrice3×3. Ainsi une matrice5×5formée de 1 sur ses colonnes impaires s"écrit :

A=zeros(5,5); A(:,[1,3,5])=1

et une matrice6×6formée de 2 blocs carrés de3×3ne contenant que des 1 :

A=zeros(6,6); A(1:3,1:3)=1; A(4:6,4:6)=1

Exercice 16: Tester ces extractions.

8

III Graphiques

a) Utilisations de plot

Scilab permet d"effectuer des représentations graphiques évoluées de courbes, de surfaces, de

lignes de niveau à partir de données matricielles. Les instructions correspondantes (plot, plot3d,contour, etc.) possèdent une syntaxe très proche (détaillée dans l"aide deplot). On peut ajouter ou modifier un certain nombre de paramètres du graphique. les couleurs et ou les sym boles,a vecdes notations du genre plot(x,y,"+r")(pour avoir des croix en couleur rouge); sp écifierle titre du graphe et les lab elsdes axes a vecxtitle;

Utiliser une éc hellelogaritmique ;

T racerdes histog rammes...

Exercice 16: On veut tracer une fonction simple comme par exemplex(t) = sin(t)entre-2π

et2π, en faisant apparaître sur les axes les noms des variables, dans ce cas, par exemple,tetx.

1)Définir le vecteurtallant de-2πà2πavec un pas de 0.1.

2)En déduire le vecteurxégale àsin(t). Vérifier que ces deux vecteurs corréspondent bien à

ce qu"on veut tracer.

3)Tracerx(t)en rouge, ligne continue plus symboles, en utilisant la fonctionplot, puis nommer

les axes et donner un titre au plot par la commandextitle. Exercice 17: Tracer, sur un même graphe (il suffit de les tracer une après l"autre), les deux fonctionsx(t) = sin(t)/tety(t) = 1/tentre0.1et30, en deux couleurs différentes. Utiliser l"outil Zone de Zoomdans la fenêtre graphique pour agrandir la partie qui vous semble intéressante. b) Un exemple : l"application logistique

Dans cette partie de l"initiation, l"accent est mis sur les potentialités graphiques Scilab à travers

le problème de l"application logistique. Il s"agit d"un grand classique de la physique du chaos,

c"est un problème qui ne nécessite pas de connaissances particulières en méthodes numériques et

qui présente un certain aspect ludique, ce qui en fait un bon exemple d"une façon de procéder.

Exercice 18:Multiplication des insectes

Imaginons une population, par exemple, d"insectes, comportant à la générationp,zpindividus.

Si chaque individu donne lieu, en moyenne, àαinsectes à la génération suivante (par exemple

en pondantαoeufs, pour mourir ensuite), celle-ci comporterazp+1=αzpindividus. Évidem- ment, siα >1, la population d"insectes diverge exponentiellement, une perspective sans doute quelque peu effrayante mais qui ne tient pas compte des ressources disponibles, la nourriture en particulier : plus les insectes sont nombreux, plus les ressources deviennent rares pour chaque

insecte qui aura donc plus de difficultés à s"assurer une descendance. Le coefficientαdoit alors

décroître lorsque le nombre d"insectes augmente; on peut alors prendre l"expression linéairement

décroissante (c"est le plus simple) suivante : )(1) b) Un exemple : l"application logistique 9 lieu à une génération suivante... Cela donne : z ).(2) x p+1=rxp(1-xp),(3) ce qui constitue l"équation logistique. Il s"agit donc de déterminer comment se comportera la population d"insectes en fonction du paramètrer. Un programme permettant de simuler l"évolution temporelle de la population d"insectes peut avoir la forme suivante :n=1000; //nombre de génération de la population x=zeros(1:n); //initialisation r=2; x(1)=0.2; //condition initiale // évolution temporelle à l"aide d"une boucle for

1)Écrire la boucle temporelle manquante dans le script ci-dessus.

2)Représenter sur un graphique l"évolution de la population pourr= 2sur l"intervalle[0,50],

c"est-à- dire sur50générations. Pour cela, on utilisera l"aide Scilab et les arguments deplot.

3)Ajouter les graphes pourr= 3,r= 3.5etr= 4au graphe précédent.

4)Changer la couleur des courbes (rouge, bleu, etc.) ainsi que la style des tracés en mettant

des symboles+pour l"une des courbes, des pointillés pour une autre.

5)Donner un titre au graphe et des labels aux axes.

La commandescf(a)permet d"ouvrir une nouvelle fenêtre graphique de numéroa(par défaut, la première fenêtre qui s"ouvre avec la commande plot est de numéro 0). Lorsque plusieurs fenêtres sont ouvertes, cette commande permet de se placer dans la fenêtre numéroapour tracer (par défaut Scilab trace le graphe demandé dans la dernière fenêtre ouverte).

6)Tracer les graphes dans quatre fenêtres différentes, prendren=[950-1000]pour les trois

derniers graphes.

7) Les points fixesExiste-t-il des solutions stationnaires telles quexp+1=xp? Déterminez

les, et discutez leur validité.

8)Tracer la courbe qui donne la valeur du point fixe en fonction dervariant de 1 à 4 par pas

de 0.1.

9)A la vue du graphe tracé précédemment, que vaut le point fixe pourr= 2? Pouvait-on le

dire d"après le graphe tracé à l"exercice 1? Que se passe-t-il pourr= 3, 3.5 et 4?quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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