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Acculturation institutionnelle du chercheur, de l'enseignant et des élèves de 1 re secondaire présentant des difficultés d'apprentissage dans la conception et la gestion de situations-problèmes impliquant des nombres rationnels Par

Geneviève Lessard

Département de didactique

Faculté des sciences de l"éducation

Thèse présentée à la Facultés supérieures et postdoctorales En vue de l"obtention du grade de Philosophiae Doctor (Ph.D.)

En sciences de l"éducation

Option didactique

Août, 2010

± Geneviève Lessard, 2010

Université de Montréal

Faculté des études supérieures

ii iii

Cette thèse intitulée :

Acculturation institutionnelle du chercheur, de l'enseignant et des élèves de 1 re secondaire présentant des difficultés d'apprentissage dans la conception et la gestion de situations-problèmes impliquant des nombres rationnels présentée par :

Geneviève Lessard

A été évaluée par un jury composé des personnes suivantes :

France Caron, présidente rapporteure

Gisèle Lemoyne, directrice de recherche

Louise Poirier, memebre du jury

Laurent Theis, examinateur externe

Représentant du doyen de la FES

iv v

RÉSUMÉ

Mots-Clés (max 10): didactique des mathématiques, enseignement des nombres rationnels, enseignement secondaire, difficultés d"apprentissage, démarche écologique Notre recherche s"intéresse à la transformation des rapports aux nombres rationnels d"élèves de 1 re secondaire présentant des difficultés d"apprentissage. Comme le montrent plusieurs recherches, le défi majeur auquel sont confrontés les enseignants, ainsi que les chercheurs, est de ne pas s"enliser dans le cercle vicieux d"une réduction des enjeux de l"apprentissage des nombres rationnels et des possibilités d"apprentissage de

l"élève en difficultés d"apprentissage, cet élève n"ayant pas ainsi la chance de mettre à

l"épreuve ses connaissances, d"oser s"engager dans une démarche de construction de connaissances et d"apprécier les effets de son engagement cognitif. Afin de relever ce défi, nous avons misé sur l"intégration harmonieuse de situations problèmes. Il nous a semblé que, dans une démarche d"acculturation, l"approche écologique soit tout indiquée pour penser une "dé-transposition/re- transposition didactique» (Antibi et Brousseau, 2000) et reconstruire une mémoire porteuse d"espoirs (Brousseau et Centeno, 1998). Notre recherche vise à: 1) caractériser la progression des démarches d"acculturation institutionnelle de l"enseignant, du chercheur et des élèves et leurs effets sur les processus d"élaboration et de gestion des situations d"enseignement; 2) préciser l"évolution des connaissances, des habitus et des rapports des élèves aux rationnels. Notre intégration en classe, d"une durée de 6 mois, nous a permis d"apprécier les effets du processus d"acculturation. Nous avons noté des changements importants dans la

topogénèse et la chronogénèse des savoirs (Mercier, 1995); alors qu"à notre entrée,

l"enseignante adoptait la démarche suivante, soit effectuer un exposé des savoirs et des démarches que les élèves devaient consigner dans leurs notes de cours, afin de pouvoir par la suite s"y référer pour effectuer des exercices et résoudre des problèmes, elle modifiait progressivement cette démarche en proposant des problèmes qui pouvaient permettre aux élèves de coordonner diverses connaissances et de construire ainsi des savoirs auxquels ils pouvaient faire référence dans la construction de leurs notes de cours vi qu"ils pouvaient par la suite consulter pour effectuer divers exercices. Nous avons

également pu apprécier les effets de l"intégration de diverses représentations des nombres

rationnels sur l"avancée du temps didactique (Mercier, 1995) et la transformation des rapports et habitus des élèves aux nombres rationnels (Bourdieu, 1980). Ces changements se sont manifestés, entre autres, par : a) un investissement important lors de situations complexes; b) l"adoption de pratiques mathématiques plus attentives aux données

numériques et aux relations entre ces données; c) l"apparition de conduites " inusitées »

[ex. coordination de divers registres sémiotiques, exploitation de compositions additives/multiplicatives et d"écritures non conventionnelles]. De telles conduites sont

similaires à celles observées dans plusieurs recherches effectuées auprès d"une population

d"élèves qui ne présentent pas de difficultés d"apprentissage (Moss et Case, 1999). Les résultats de notre recherche soutiennent donc l"importance indéniable de considérer les élèves en difficultés comme étant mathématiquement compétents, comme le soulignent Empson (2003) et Houssart (2002). Il nous semble enfin important de souligner que le travail sur la représentation des nombres rationnels a constitué une niche particulièrement fertile, pour un travail fondamental sur les nombres rationnels, travail qui puisse permettre aux élèves de poursuivre plus harmonieusement leurs apprentissages, les nombres rationnels étant des objets de savoir incontournables. vii

ABSTRACT

Keywords (max 10): Mathematics education, teaching rational numbers, grade seven students, learning disabilities, ecological approach Our research looks at how grade seven students with learning disabilities deal with rational numbers. Several studies have shown the biggest hurdle facing teachers and researchers is to avoid getting into the vicious cycle of minimizing the issues related to learning rational numbers and learning opportunities of students with a learning disability, which results in students not having the chance to test their knowledge, not taking the risk of becoming involved in their knowledge construction process and not appreciating the impact of their cognitive engagements. In order to address this challenge, we integrated complex situations. Taking an acculturation approach, we found the ecological model to be a fitting tool to consider a "dé-transposition/ré-transportation didactique" (Antibi and Brousseau, 2000) and to rebuild a hope-filled memory (Brousseau et Centeno, 1998). The aim of our research was to: 1) characterize changes in the institutional acculturation processes of the teacher, the researcher and the students as well as their effects on developing and managing teaching situations and 2) identify changes in students" knowledge of, habits related to and relationship with rational numbers. Our own six-month classroom integration allowed us to appreciate the effects of the acculturation process. We noted significant changes in the topogenesis and chronogenesis of knowledge (Mercier, 1995). Initially, the teacher used the following approach: she presented the material and the steps the students would need to do; the students took notes they would then refer to when doing exercises and solving problems. The teacher would subsequently modify this approach by presenting problems that would allow students to bring together the different knowledge they had acquired, thus reconstructing the knowledge they could refer to when making course notes. The students could refer to these notes when completing subsequent exercises. We were also able to observe the effects of integrating various representations of rational numbers on the viii advancement of didactical timelines (Mercier, 1995) as well as the changes in students" relationship with and habits related to rational numbers (Bourdieu, 1980). These changes manifested themselves in several ways: a) a noticeable effort during complex situations; b) the use of mathematical methods that took into account the numerical data sets and the relationship between these sets of data; c) the appearance of "unusual" behaviours [e.g. coordination of different semiotic registers, using additive/multiplicative operations and non-conventional writing]. Similar behaviours have been observed in several studies conducted on students who did not show signs of learning disabilities (Moss et Case,

1999). Our findings support the obvious importance of considering students with learning

disabilities as being mathematically competent, as highlighted by Empson (2003) and Houssart (2002). We feel it is important to note that work done on the representation of rational numbers provided a particularly fertile niche for work on rational numbers, an essential element of knowledge, that would allow students to experience a more harmonious learning process. ix

TABLEDESMATIÈRES

Résumé ......................................................................................................................................... v

Abstract ..................................................................................................................................... vii

Tables des matières ................................................................................................................ ix

Liste des tableaux ................................................................................................................. xiii

Liste des figures .....................................................................................................................xvi

Remerciements ................................................................................................................... xviii

Introduction ............................................................................................................................ 20

Chapitre I. Problématique .................................................................................................. 22

1.1. Contextes socioȃéducatif et didactique de notre recherche sur l"enseignement

auprès d"élèves du 1 er cycle du secondaire présentant des difficultés

d"apprentissage. ............................................................................................................................... 23

1.2. Les défis que soulève l"enseignement aux élèves présentant des difficultés

d"apprentissage, particulièrement lorsqu"ils sont en 1 re secondaire. .......................... 28 1.3. Les enjeux mathématiques et curriculaires associés à l"enseignement/ apprentissage des nombres rationnels : objets riches, problématiques et

incontournables ............................................................................................................................... 37

Synthèse : Le cercle vicieux qui emprisonne les élèves en difficultés dans un

rapport problématique aux nombres rationnels ................................................................. 42

1.4. Repenser l"enseignement des nombres rationnels auprès des élèves en

difficultés d"apprentissage ........................................................................................................... 43

1.5. Objectif général de la recherche ........................................................................................ 58

x

Chapitre II. Cadre conceptuel ............................................................................................ 60

2.1. La construction des nombres rationnels ........................................................................ 61

2.2. Les rapports problématiques des élèves aux nombres rationnels ....................... 68

2.3 Les dispositifs didactiques pour la construction, ou la reȃconstruction, de

rapports plus adéquats aux nombres rationnels ............................................................... 116

2.4. Opérationnalisation des résultats issus de la recherche dans une perspective

écologique ........................................................................................................................................ 181

2.5 Objectifs spécifiques de la recherche .............................................................................. 186

Chapitre III. Méthodologie ................................................................................................ 188

3.1. Dispositifs d"acculturation institutionnelle de notre démarche de recherche

.............................................................................................................................................................. 191

3.2. Processus de collecte, de construction, d"analyse et d"interprétation des

données de notre recherche ...................................................................................................... 211

Chapitre IV. Présentation et analyses des résultats de la recherche ................ 217

4.1. Aperçu des dispositifs sur l"enseignement des rationnels et de l"ancrage

progressif de la participation des chercheures à la conception de ces dispositifs 218

4.2. Présentation des situations d"enseignement des nombres rationnels et analyse

des conduites des élèves et des interactions didactiques .............................................. 226

xi xii

4.3. Synthèse des résultats de notre recherche ................................................................. 555

CONCLUSION .......................................................................................................................... 579

5.1. Bilan de la recherche ............................................................................................................ 580

5.2.

Limites de la recherche ................................................................................................... 589

5.3. Retombées de notre thèse dans les domaines de la recherche et de la

pédagogique et pistes de réflexion ......................................................................................... 590

Bibliographie ........................................................................................................................ 592

ANNEXES ................................................................................................................................. 609

xiii

LISTE DES TABLEAUX

Tableau I : Les rapports problématiques liés plus spécifiquement à la représentation

des fractions .................................................................................................... 71

Tableau II: Les rapports problématiques liés plus spécifiquement à la

représentation de nombres décimaux ........................................................... 75

Tableau III: Les rapports problématiques liés plus spécifiquement à la

représentation de nombres rationnels .......................................................... 77

Tableau IV: Les rapports problématiques liés plus spécifiquement à la comparaison

et la sériation de nombres rationnels ............................................................ 78

Tableau V: Les rapports problématiques liées plus spécifiquement à la densité des

nombres rationnels ......................................................................................... 83

Tableau VI: Les rapports problématiques liés à l'addition et la soustraction de

fractions ........................................................................................................... 84

Tableau VII: Les rapports problématiques liés à l'addition et la soustraction de

nombres décimaux .......................................................................................... 87

Tableau VIII: Les rapports problématiques liés à la multiplication de fractions .... 88 Tableau IX: Les rapports problématiques liés à la multiplication de nombres

décimaux .......................................................................................................... 91

Tableau X: Les rapports problématiques liés à la division de fractions .................... 92

Tableau XI: Les rapports problématiques liés à la division de nombres décimaux . 94 Tableau XII: Les rapports problématiques liés à la résolution de problèmes additifs

.......................................................................................................................... 97

Tableau XIII: Les rapports problématiques liés à la résolution de problèmes multiplicatifs impliquant un opérateur scalaire ........................................ 101 Tableau XIV: Les rapports problématiques liés à la résolution de problèmes multiplicatifs impliquant un produit de mesures ...................................... 102 Tableau XV: Les rapports problématiques liés à la résolution de problèmes multiplicatifs d'isomorphisme de mesures (proportionnalité) ................. 104

Tableau XVI: Tâche d'évaluation conçue par Moseley (2005) ................................. 162

Tableau XVII: Objets de l'enseignement des nombres rationnels qui ont été traités lors de la présence des chercheures dans la classe de mathématiques .... 219 Tableau XVIII: Démarches des élèves dans la recherche du prix du bouquet D ... 246 Tableau XIX: Propositions des élèves et réponses de l'enseignante lors des tâches d'identification des nombres 6,53 et 13,417 .............................................. 264

Tableau XX: Représentations du nombre ½ .............................................................. 267

Tableau XXI: Représentations des nombres 0,3 et 3/5 .............................................. 268

Tableau XXII: Résultats des élèves lors de la résolution de la première partie du problème, dans laquelle le nombre de gâteaux dans une boîte était de 17,5

........................................................................................................................ 278

Tableau XXIII: Résultats des élèves lors de la résolution de la seconde partie du problème (2a), dans laquelle le nombre de gâteaux dans une boîte était de

1,75 ................................................................................................................. 283

xiv Tableau XXIV: Résultats des élèves lors de la résolution de la seconde partie du problème (2b, dans laquelle le nombre de gâteaux dans une boîte était de

175 .................................................................................................................. 285

Tableau XXV: Comparaison du taux de réussite dans la recherche du contenu de

150 et 15 boîtes lorsque le nombre de gâteaux par boîtes varie de 17,5; 1,75

et 175 .............................................................................................................. 288

Tableau XXVI: Comparaison du taux de réussite dans la recherche du contenu de ½ boîte et 0,5 boîte lorsque le nombre de gâteaux par boîte varie : 17,5; 1,75;

175 .................................................................................................................. 289

Tableau XXVII: Appréciation des résultats et solutions des élèves à l'activité 1a . 293

Tableau XXVIII: Appréciation des résultats et solutions des élèves à l'activité 1b 301

Tableau XXIX:Appréciation des conduites des élèves lors de la réalisation de calculs impliquant des nombres rationnels ............................................................. 340 Tableau XXX:Appréciation des conduites des élèves lors de la réalisation des tâches sur les représentations des nombres rationnels ......................................... 345 Tableau XXXI:Appréciation des conduites des élèves lors de la réalisation des tâches sur la comparaison de nombres rationnels ..................................... 349 Tableau XXXII:Choix de la première situation-problème et appréciation des

conduites des élèves lors de la réalisation de celle-ci. ................................ 354

Tableau XXXIII: Appréciation des résultats des élèves au regard de la situation-

problème choisie ........................................................................................... 356

Tableau XXXIV:Appréciation des résultats des élèves ............................................. 357

Tableau XXXV: Résultat de sériation des nombres 3/7; 5/9; ½; 255/510; 0,500001;

7/35; 171/340; 0,76; 3/8; 6 /11; 7/8; 21% ; 251/504; 8/9 ............................. 362

Tableau XXXVI:. Sériation des nombres 5/12; 0,50001; 7/12; 141/24; 2/3; 7/10 et 5/6

obtenu par chacune des équipes .................................................................. 369

Tableau XXXVII: Fractions retenues pour chacun des partages et des représentations des tablettes de chocolat montrant les différents partages

........................................................................................................................ 378

Tableau XXXVIII: Stratégies retenues pour chacun des partages et des représentations des tablettes de chocolat ................................................... 380 Tableau XXXIX : Résultats obtenus par les différentes équipes aux trois questions

posées ............................................................................................................. 396

Tableau XL:Mesures obtenues par les différentes équipes, en fonction du nombre de

feuilles ............................................................................................................ 407

Tableau XLI: les types de feuilles jugés identiques par les élèves ............................ 408

Tableau XLII: résultats obtenus par les différentes équipes dans la création et la

sériation de 5 nombres rationnels ............................................................... 443

Tableau XLIII: Résultats des répartitions d'une collection de timbre et du jardin 462 Tableau XLIV: appréciation globales des conduites des élèves dans la tâche Angus

........................................................................................................................ 474

Tableau XLV: Résultats des élèves dans une situation de proportionnalité simple 494 Tableau XLVI: Résultats des élèves au problème de répartition de l'aire d'un

Drapeau ......................................................................................................... 509

Tableau XLVII: Sériation des nombres: 0,50001; 6/7; 180/240; 7/35; 6/11; 11/6; -

415/830; -0,25; 0,76; 3/7; 8/9 et 20% ........................................................... 512

xv

Tableau XLVIII: Choix et sériation de nombres rationnels ..................................... 520

Tableau XLIX: Appréciation des conduites des élèves lors du traitement des questions portant sur la représentation, la comparaison et la sériation de

nombres rationnels ....................................................................................... 535

Tableau L: Appréciation des conduites des élèves lors de la résolution des problèmes

........................................................................................................................ 542

Tableau LI: Résultats de l'ensemble des élèves à l'examen final ............................ 554

Tableau LII: Évolution des connaissances et des rapports des élèves à la représentation des nombres rationnels ....................................................... 563 Tableau LIII: L'évolution des démarches de résolution de problèmes multiplicatifs

et des procédés de multiplication ................................................................ 569

Tableau LIV: Évolution des démarches de résolution de problèmes additifs et des

procédés de d'addition ................................................................................. 573

Tableau LV : Manifestation de l'acculturation dans la modification de la topogénèse

et de la chronogénèse .................................................................................... 584

xvi

LISTEDESFIGURES

Figure 1: Comparaison de l'organisation d'une même leçon dans une classe d'élèves doubleurs (CD) et dans une classe d'élèves réguliers (CR) ........................ 30 Figure 2: Synthèse du programme d'enseignement des nombres rationnels au 3e

cycle du primaire ............................................................................................ 51

Figure 3: Synthèse du programme d'enseignement des nombres rationnels au 1er

cycle du secondaire ......................................................................................... 52

Figure 4 : Analyse écologique de la multiplication des décimaux dans le programme

de 6e année de l'école française ..................................................................... 55

Figure 5 : Référentiel sur l'enseignement des nombres rationnels ............................. 56

Figure 7 : Aperçu de l'organisation du dossier "J'ai un rêve" (Guay, Hamel et

Lemay, 2005, p. 255b) .................................................................................. 198

Figure 8: Problème additif de transformation de mesures ....................................... 200

Figure 6 : Tableau synthèse de la méthodologie de recherche .................................... 26

xvii xviii

REMERCIEMENTS

À tous ceux qui m"ont soutenue pendant ces nombreuses années de labeur sans ne plus en demander l"échéance, mes sincères remerciements. À débuter par cette grande dame, Gisèle Lemoyne, qui a su dépasser toute attente qu"une étudiante puisse avoir à l"égard d"une directrice de thèse. Son bagage intellectuel, son

humilité, sa générosité, son support et sa disponibilité déconcertante m"ont permis de

bénéficier de ses qualités humaines et intellectuelles. Par conséquent, elle demeurera pour

moi une source d"inspiration intarissable. J"ose espérer que le respect voué au milieu scolaire soit aussi tangible dans cette thèse que ma reconnaissance envers les élèves, l"enseignante et l"École Vanguard secondaire francophone, tous grands complices et vecteurs indispensables de cette thèse. L"aboutissement de cette thèse n"aurait pu être imaginable sans les encouragements et le soutien inconditionnels de ma famille : ma mère, Andrée, mon père, Gérald, ma sœur, Marie-Claude, mes neveux, Hubert et Sacha et mon copain Alexandre. Je souhaite aussi exprimer ma gratitude à Nicole Gaboury, celle pour qui la science pratique de la résolution de problèmes et de l"écoute active n"a pas de secret. L"achèvement de ce travail est également empreint des conseils, mais surtout de l"amitié de deux formidables femmes Mélanie et Carole. Enfin, je tiens à souligner l"aide indispensable du Conseil de recherche en sciences humaines du Canada (CRSH), du Fonds québécois de la recherche sur la société et la culture (FQRSC) et l"Université de Montréal qui m"ont octroyé des bourses pour la durée de mes études. xix 20

INTRODUCTION

Les difficultés d"apprentissage retiennent l"attention de la noosphère 1

éducative.

Et pour cause! Les élèves, qui, au même titre que leurs camarades de classe, devraient réussir, méritent que l"on s"intéresse à la dynamique d"enseignement/apprentissage afin

de leur permettre d"accéder à une instruction " de qualité », cet intérêt profitant par le fait

même à tous les élèves. Ce n"est donc pas par hasard qu"un nombre important de chercheurs se sont préoccupés et se préoccupent toujours de l"enseignement et l"apprentissage d"un objet mathématique incontournable et fort problématique, c"est-à-dire les nombres rationnels. Notre projet s"inscrit dans la continuité des recherches en didactique visant à soutenir le

travail d"élèves en difficultés d"apprentissage en mathématiques, plus précisément,

d"élèves de 1 re secondaire. C"est dans ce contexte que nous présenterons, au premier chapitre, la problématique de notre recherche; nous traiterons plus spécifiquement du contexte de

notre étude, de même que des défis que soulève l"enseignement aux élèves présentant des

difficultés, soit la dynamique du fonctionnement didactique et les adaptations nécessaires. Puis, nous traiterons, plus particulièrement, des nombres rationnels, objet incontournable et problématique dans l"enseignement au 1 er cycle du secondaire. Ensuite, nous aborderons la nécessité de repenser l"enseignement des mathématiques, notamment celui

des rationnels, auprès des élèves en difficultés d"apprentissage. Enfin, nous présenterons

notre objectif général de recherche. Le deuxième chapitre, le cadre conceptuel, consacrera une place prépondérante à la transformation des rapports problématiques des élèves aux nombres rationnels, laquelle sera amorcée par une rétrospective des recherches qui ont permis de préciser l"objet " nombre rationnel ». Les recherches qui ont permis d"identifier les rapports 1quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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