[PDF] Médiatrice cercle circonscrit et médiane dun triangle





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Médiatrices dun triangle

À la suite d'un premier travail d'approche réalisé en classe avec les élèves sur les propriétés des médiatrices d'un triangle on peut utiliser ce fichier 



Médiatrices des côtés dun triangle et cercle circonscrit

Médiatrices des côtés d'un triangle et cercle circonscrit. Définitions et propriétés. Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par les 



TRIANGLE RECTANGLE CERCLE

http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/pdf/4e_trianglerectange_cercle_mediane.pdf



COMMENT DEMONTRER……………………

Propriété : Si une droite est la médiatrice d'un segment alors elle est médiane du triangle alors elle coupe le côté opposé à ce sommet en son milieu.



1 Médiatrice

Le point P intersection de la hauteur issue de E et de la droite (ST)



Médiatrice cercle circonscrit et médiane dun triangle

Si un point est sur la médiatrice d'un segment alors il est équidistant1 des extrémités de ce segment. Illustration. Données. Propriété. Conclusion.



CHAPITRE : TRIANGLES

Exemple : Dans le triangle ABC on a a < b + c b < a + c c < a + b. III. Médiatrice et cercle circonscrit au triangle a) Propriété directe : Si un point est 



Cours médiatrice _Prof_

4) Propriété 2 : Les médiatrices des côtés d'un triangle sont concourantes. Ce point de concours est le centre du cercle circonscrit à ce triangle 



Chapitre 11– Médiatrices et axes de symétrie I – Définition et

Propriété : La bissectrice d'un angle est l'axe de symétrie de cet angle. Propriété : Dans un triangle équilatéral les médiatrices sont les bissectrices des 



_COURS ELEVE Droites remarquables

Propriété : Il y a trois médiatrices dans un triangle qui sont concourantes en un point appelé le centre du cercle circonscrit au triangle. A. B. C. M. 3. M. 1.



I- les médiatrices - AlloSchool

Définition 1 : La médiatrice d'un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement en son milieu Propriété 1: Propriété 2: Si un point est équidistant aux extrémités d'un segment alors ce point appartient à la médiatrice de ce Définition 2 : La médiatrice d’un triangle est la médiatrice de l’un de ses côtés



LES MÉDIATRICES ET LES HAUTEURS - Formimaths

Exercice 1: Construire les trois médiatrices dans chaque triangle Exercice 2 : Un trésor a été caché il se trouve à égale distance des villes de Winterfell Braavos et Port Réal Trouver l'emplacement du trésor



Tria ngle (2) : Hauteurs et Médiatrices

Définition : La MÉDIATRICE d’un segment est LA droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu Coller ici Définition : Dans un triangle la HAUTEUR issue d’un sommet est LA droite passant par ce sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé ngle (2) : Hauteurs et Médiatrices



Exemplede réalisation 008 Médiatricesd'untriangle

Thèmeabordé Droites remarquables du triangle Médiatrices d'un segment Niveau Collège – CAP Prérequis Définition de la médiatrice d'un segment Objectif Illustrer une propriété Réalisationtechnique Difficulté : Vue(s) : Graphique Algèbre Tableur Cas 3D Fichier(s) trg_mediatrices ggb QRCode http://url univ-irem fr/er1 2 Capturesd

Comment calculer la médiatrice d'un triangle ?

Une médiatrice d'un triangle est une droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est perpendiculaire à ce côté. Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un... Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on ajoute les distances à zéro et le résultat est du même signe que les deux nombres.

Quelle est la médiatrice d'un segment ?

On appelle médiatrice d'un segment la droite perpendiculaire à ce segment et passant par le milieu de ce segment. Les médiatrices d'un triangle sont toujours concourantes ; Leur point d'intersection est le centre du cercle circonscrit ; La médiatrice d'un segment est l'ensemble de points équidistant des extrémités du segment.

Comment sont concourantes les médiatrices des côtés d'un triangle ?

Propriété 3: Les médiatrices des côtés d'un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle à ce triangle O le Centre du cercle circonscrit au triangle ABC Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l’hypoténuse

Qu'est-ce que la médiane d'un triangle ?

Dans un triangle, on appelle médiane une droite qui passe par un sommet et pas le milieu du côté opposé. • Les médianes d'un triangles sont concourantes. • Leur point de... Dans un triangle rectangle, on appelle hauteur une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Dans la figure, on dit que P est le pied de la...

Médiatrice cercle circonscrit et médiane dun triangle 3 emeGeometrie2015/2016Mediatrice, cercle circonscrit et mediane

1 Mediatrice d'un segment

2

2 Cercle circonscrit a un triangle

4

3 Mediane d'un triangle

6 ?Geometrie :triangles, cercles, angles 1 3 lairea ce segmenten son milieu.AB I()RemarqueLe milieu d'un segment est toujours situe sur la mediatrice de celui-ci.

???????1(Tracer la mediatrice d'un segment a la regle et a l'equerre).Pour tracer la mediatrice d'un segment avec la regle et l'equerre, il faut :

1. P lacerle milieude ce segment.2.T racerla perpendiculairea ce segment passant par le milieu.

Illustration??????

?????1(Equidistance).Si un point est sur la mediatrice d'un segment, alors il estequidistant1des extremites de cesegment.

IllustrationDonnees Propriete ConclusionAB

IM()? ()est la mediatrice de[AB]

M?()?AB

IM()AM=BM

D emonstration:[Repose sur le theoreme de Pythagore] On s'appuie sur les donnees de l'illustration precedente. Montrons queMA=MB. Etape1 :Le triangle MIAest rectangle enI; appliquons le theoreme theoreme de Pythagore : MA

2=MI2+IA2doncMA=⎷MI

2+IA21. equidistant=≪situe a la m^eme (equi-) distance (-distant)≫

2 3 Etape2 :On fait de m ^emea vecle triangle MIBrectangle enI: MB

2=MI2+IB2doncMB=⎷MI

2+IB2 Etape3 :Or, comme Iest le milieu de[AB]par construction de la mediatrice, alorsIA=IB; ainsi

MB=⎷MI

2+IB2devientMB=⎷MI

2+IA2=MA.

mediatrice(). Demontrer que le trianglePABest isocele et preciser son sommet principal.

?????2(Reciproque).Si un point estequidistantdes extremites d'un segment, alors il est situe sur la mediatrice de cesegment.

RemarqueCette propriete est lareciproquede la propriete precedente : c'est-a-dire, qu'elle fonctionne

dans l' ≪autre sens≫, comme le montre l'illustration suivante.

Illustration Propriete reciproque

Donnees Propriete ConclusionABM

AM=BM?AB

I()M

M?()ou()est la mediatrice du segment

[AB] D emonstration:[Utilise les losange] On reprend les donnees de l'illustration precedente. On construit

Nle symetrique deMpar rapport a la droite(AB).

Etape1 :Comme la sym etrieaxiale conserv eles longueurs et N, alors?MA=NA

MB=NB.

Etape2 :Mais on sait aussi q ueMA=MB(d'apres les informations initiales) donc le quadrilatereMANB est un losange car il a 4 c^otes de m^eme longueur. Etape3 :Comme MANBest un losange, alors ses diagonales sont mediatrices l'une de l'autre; en parti- culier,(MN)est la mediatrice de[AB].

Cest un cercle de centreOet[AB]est une corde2deC.

1.

Justie rque OA=OB.

2. Qu edire alors de la m ediatricedu segmen t[AB]et du point

O? Justier.OBC

A

2. corde d'un cercle :segment qui joint deux points situessurle cercle. En particulier, un diametre d'un cercle est ue

corde de ce cercle, au contraire du rayon. 3 3

???????2(Tracer la mediatrice d'un segment avec le compas).Pour tracer la mediatrice d'un segment avec le compas, il faut

1.

P ointersur l'une des extr emitespuis trac erun arc de cercle(derayon superieur a la moitie dusegment)de chaque c^ote du segment susamment grand2.Repeterl'etape precedente avec l'autre extremite du segment de maniere a obtenir deux couplesd'arcs de cercle secants.

3. T racerla dro itepassan tpar les deux p ointscr ees.

Illustration2 Cercle circonscrit a un triangle

Illustration

La droite(d)est la mediatrice du c^ote[AB]et elle est une mediatrice du triangleABC.C B

A(d)??????

?????3(Concourance des mediatrices).Dans un triangle, les trois mediatrices sontconcourantes3. IllustrationOest le point de concours des trois mediatrices du triangleABC.C B Aad Oe

3. droites concourantes :droites qui se coupenten m^eme un point. Ce point commun est lepoint de concoursde droites.

4 3 emonstration:[Repose sur les proprietes d'equidistance de la mediatrice]ABCest un triangle non aplati et on note (A), mediatrice de[BC],(B), mediatrice de[AC],(C), mediatrice de[AB]. On suppose que(A)et(B)sont secantes en un pointOet l'objectif est de demontrer queO?(C). Etape1 :O?(A)doncOest equidistant de extremites du segment[BC], c'est-a-dire :OB=OC. Etape2 :O?(B)doncOest equidistant de extremites du segment[AC], c'est-a-dire :OA=OC.

Etape3 :Comme ?OC=OB; (Etape1)

OC=OA; (Etape2), alorsOB=OA.

Etape4 :Comme OB=OA, alorsOest equidistant des pointsAetB, ce qui signie queOappartient a la mediatrice du segment[AB], c'est-a-direO?(C).

Illustration

Le triangleABCest iciinscrit dansle cercleCcar ses sommets sont sur le cercle. On peut tout aussi bien dire que le cercleC estcirconscrit autriangleABC.OBC AC

?????4(Point de concours des mediatrices d'un triangle).Le point de concours des mediatrices d'un triangle est lecentre du cercle circonscritau triangle.

Remarque3 points non alignes appartiennent donc toujours a un cercle : le cercle circonscrit au triangle

qu'ils forment. D emonstration:[admise]◻ IllustrationCest le cercle circonscrit au triangleABC. Son centreOest le point de concours des trois mediatrices du triangle.C B Aad Oe C avec les instruments de geometrie. On prendra des dimensions au choix pour le triangle. 5 3 IllustrationLa droite(D)est la mediane du triangleABCissue du sommentC,relative au c^ote[AB].C B

A(D)??????

?????5(Concourance des medianes, centre de gravite).Les trois medianes d'un triangle sontconcourrantesen un point appelecentre de gravitedutriangle.

IllustrationLe pointGest le centre de gravite du triangleABCC B Ad e fG RemarqueLe centre de gravite d'un triangle est toujours situe a l'interieur du triangle. 1. (a) Construire le triangle GUSveriant :GU=9;5 cm,US=7 cm etGS=4 cm. (b) T racerles m edianesde ce triangle issues des som metsGetS. Ces deux medianes se coupent au point que l'on nommeraZ. 2. (c) Que repr esentele p ointZpour le triangleGUS? Justier. (d) Que repr esentela dro ite(ZU)pour le triangleGUS? Justier. (e) La droite (ZU)coupe-t-elle le c^ote[GS]en son milieu? Justier. 6quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37
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