[PDF] Livret de liaison 1ere-Terminale pour la spécialité mathématique.

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ǯȂ Vizille

Livret de liaison 1ere-Terminale pour la spécialité mathématique.

Les mathématiques sont une construction dont chaque étape est importante : afin de pouvoir comprendre et assimiler les

nouvelles connaissances de terminale, il est indispensable de maîtriser le programme de 1ère.

Vous trouverez donc dans ce livret des exercices qui vous aideront à préparer votre entrée en terminale.

Un corrigé est proposé à partir de la page 5 de ce document. ǯ sur le second degré, les suites numériques. la dérivation et la fonction exponentielle.

" En travaillant assidûment il faut peu de chose pour changer le médiocre en bon et le bon en excellent ».

Gustave FLAUBERT

Un contrôle de connaissance de 1 heure constitué dǯexercices semblables à ceux proposés dans ce livret aura lieu

la deuxième semaine de la rentrée. ǯ ? En plus de vos cours de 1ère, nous vous proposons aussi quelques vidéos pouvant vous

ǯ pour faire les exercices de ce livret.

SECOND DEGRE.

Savoir :

résoudre une équation du second degré » :

étudier le signe ǯ :

étudier la position relative de 2 courbes :

Exercice 1 Savoir résoudre une équation du second degré (ǯ).

1. Niveau 1 : Résoudre les équations suivantes

a) ʹ 2.

Niveau 2.

a) ǯെݔ;൅ʹݔ൅ͺ Exercice 2 Résoudre un problème de degré 2.

Déterminer trois nombres entiers consécutifs, sachant que la somme des carrés de ces nombres est égale à 1 877.

Exercice 3 Savoir étudier ǯʹ (trinôme). Exercice 4 Savoir étudier la position relative de deux courbes.

On considère les fonctions ݂ et ݃

dé fin ie s s Etudier la position relative des courbes ܥ௙ et ܥ 2

DERIVATION & APPLICATIONS

Savoir :

dériver une fonction : lire graphiquement un nombre dérivé : Exercice 5 Savoir dériver une fonction et étudier ses variations

Dans chacun des cas ci-dessous, où ݂ est une fonction définie et dérivable sur Թ, calculer la fonction dérivée de ݂ et

établir le tableau de variation de ݂ sur Թ. Exercice 6 Savoir déterminer une équation de la tangente à une courbe

b) Vérifier votre résultat en traçant, sur votre calculatrice, la tangente T et la courbe ܥ

Exercice 7 Savoir lire un nombre dérivée et déterminer une équation de la tangente

à une courbe (bis)

On donne, ci-contre, la courbe ܥ

ses tangentes TA, TB et TC ǡǯ

ʹ, 1 et െͳ.

1. Déterminer graphiquement :

2. En déduire une équation de chacune des tangentes TA, TB et TC.

Exercice 8

PARTIE A

PARTIE B

Un fabricant envisage la production de boîtes pour emballer des clous en découpant deux bandes de même largeur dans une feuille de carton carrée de côté 30 cm. On note ݔ la mesure, en cm, de la largeur des bandes découpées.

1. Expliquer pourquoi les valeurs prises par ݔ ǯȐͲ ; 15[.

b) Vérifier que ܸ

3. Déterminer les dimensions de la boîte de volume maximal. Quel est ce volume maximal ?

3

SUITES NUMERIQUES

Savoir :

étudier une suite arithmétique :

étudier une suite géométrique :

suite avec Python.

1. Pour chacune de ces suites, calculer les quatre premiers termes.

2. On donne ci-dessous, le script ǯ terme de rang ݊ de chacune de

ces suites. Compléter cet algorithme : de raison ݎ ൌ 3.

1. Exprimer, pour tout ݊ א

3. Calculer S ൌ

de raison ݍ ൌ 2.

1. Exprimer, pour tout ݊ א

3. Calculer S ൌ

Exercice 12

la production augmentera chaque semaine de 10%.

3. Exprimer ݑ௡ en fonction de n.

4. Calculer la production totale des 20 premiers semaines.

5. ǯdépassé 150 000 unités.

Elle a donc écrit les deux fonctions Python ci-dessous. La première donne la somme des ݊ premiers termes de

totale sera supérieure ou égale à 150 000. 4

FONCTION EXPONENTIELLE

revoir les propriétés de exp :

étudier une fonction avec exp :

Exercice 13 Savoir utiliser les propriétés algébriques de la fonction exponentielle. Ici, ݔ désigne un réel quelconque. Simplifier au maximum les expressions suivantes. Exercice 14 Savoir résoudre une équation où apparaît la fonction exponentielle.

Résoudre dans Թ :

Exercice 15 Savoir étudier une fonction où apparaît la fonction exponentielle. On considère les trois fonctions f, g et h définies sur Թ par :

Pour chacune de ces fonctions, on demande :

a) ǯdérivée en fonction de x. c) de construire le tableau de variations de la fonction.

d) de vérifier le tableau de variations en traçant la courbe de la fonction sur la calculatrice.

Le taux d'alcoolémie (en grammes par litre de sang) d'un homme de 70 kg après absorption de deux verres d'alcool à

l'instant ݔൌͲ est donné, en fonction du temps ݔ (en heures), par la fonction ݂ définie sur ܫ

b) Etablir le tableau de variation de ݂ sur ܫ c) En déduire le nombre de minutes au bout duquel le taux d'alcool est maximal. 5 Corrigé du livret de liaison 1ère ื Tle - Mathématiques

SECOND DEGRE.

Exercice 1 Savoir résoudre une équation du second degré ǯ

1. Niveau 1

a) ʹ

ȟ ൐ 0, donc ǯ :

ȟ ൌ 0, donc ǯ une solution (double) réelle : ݔ଴ൌെܾ Remarque On pouvait aussi remarquer que le calcul de ȟ ǯ :

2. Niveau 2

a) െݔ;൅ʹݔ൅ͺ ൌ 0 ฻ A ൌ 0 et B ് 0 ฻ ݔ ൌ 4 ou ݔൌെʹ et ݔ്െʹ Finalement, ǯെ࢞;൅૛࢞൅ૡ ૛࢞൅૝ൌ૙ admet une seule solution dans Թ : 4. Par suite, ͵ݔସ൅ݔଷെͳ͸ݔ;െͷݔ൅ͷൌͲ

฻ ݔ;െͷൌͲ ou͵ݔ;൅ݔെͳൌͲ

െݔ;൅ʹݔ൅ͺൌͲ est une équation de degré 2 ȟ ൐ Ͳǡǯ2 solutions réelles distinctes : ͵ݔ;൅ݔെͳൌͲ est une équation de degré 2 ȟ ൐ Ͳǡǯ2 solutions réelles distinctes : 6 Exercice 2 Résoudre un problème de degré 2

Soit ݊ un entier quelconque. ݊ െ 1 , ݊ et ݊൅ͳ sont alors trois entiers consécutifs.

Savoir que la somme des carrés de ces nombres est égale à 1 877 équivaut à : ฻ ݊ൌെʹͷou݊ൌʹͷ

Les trois entiers consécutifs dont la somme des carrés est égale à 1 877 sont : െ૛૟ ǡെ૛૞ǡെ૛૝ ou 24 , 25 , 26.

Remarque En considérant les entiers consécutifs ݊, ݊൅ͳ et ݊൅ʹǡǯ :

ȟ ൐ 0, donc ǯadmet deux solutions réelles distinctes :

On retrouve les deux triplets െ૛૟ ǡെ૛૞ǡെ૛૝ ou 24 , 25 , 26.

Exercice 3 Savoir dǯʹ

ݔ െλ ʹ 5 ൅λ Exercice 4 Savoir étudier la position relative de deux courbes ݔ െλ Ͳǡͷ 1 ൅λ

CONCLUSION

7

DERIVATION & APPLICATIONS

Exercice 5 Savoir dériver une fonction et étudier ses variations

Pour tout réel ݔ א

Tableau de variation de ࢌ sur Թ

Tableau de variation de ࢌ sur Թ

signe de ͺݔ െ െ ൅ ൅ variation de ݂ variation de ݂ 2 ଷ et ଵ (coefficient de ݔ²) sauf entre ses racines. 8 Exercice 6 Savoir déterminer une équation de la tangente à une courbe a) Une équation de la tangente à la courbe ܥ b) A la calculatrice, ǯ-contre, il semble bien que la Exercice 7 Savoir lire graphiquement un nombre dérivé.

Exercice 8

Tableau de variations de ࢌ sur Թ

PARTIE B

1. ݔ désigne la mesure, en cm, de la largeur des bandes découpées, donc ࢞ ൐ 0.

La mesure en cm3 du volume de la boîte est : ܄

3. La fonction étant la restriction de la fonction ݂ ǯȐͲ ; 15[, ǯ la partie A, le volume ܄

maximal pour ࢞ ൌ 5 .

Les dimensions de la boîte de volume maximal sont donc 20 cm, 10 cm et 5 cm et le volume maximal est égal à

ݔ െλ ͷ 15 ൅λ variation de ݂ 1 000 0 9

SUITES NUMERIQUES

Exercice 9

remplacer ݊ ǯexpression donnée : terme précédent : récurrence définissant la suite.

Exercice 10

1. Pour tout entier naturel ݊, ݑ௡ൌݑ଴൅݊ݎൌૡ൅૜࢔.

3. S ൌ

ʹ Pour tout ݊ א

ൌ 4 233

Remarque ǯ :

Soit ici, S ൌͷͳൈͺ൅ͳͷͺ

ʹ ൌ 4 233

Exercice 11

1. Pour tout entier naturel ݊, ݑ௡ൌݑ଴ൈݍ௡ൌ૜ൈ૛࢔.

3. S ൌ

ͳെʹ Pour tout ݊ א

ൌ3 069 Remarque ǯݍ ് 1 peut aussi être déterminée Soit ici, S ൌ͵ൈͳെʹͳͲ

ͳെʹ ൌ 3 069

10

Exercice 12

Au bout de 20 semaines, ǯproduit environ 114550 alarmes.

5. Pour compléter le script de la fonction ࢙࢕࢓࢓ࢋ, on commence par définir la suite ݑ ǯ

relation qui permet de calculer la nouvelle somme : indique ݊ൌʹ͵, ce qui semble correct car :

ǯͳͷͲͲͲͲla 23e semaine.

FONCTION EXPONENTIELLE

Exercice 13 Savoir utiliser les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.

Dans cet exercice, on

formules suivantes : 11 Exercice 14 Savoir résoudre une équation où apparaît la fonction exponentielle. d) On reconnaît une " équation produit nul » donc : ǯǯsur Թ car la fonction exponentielle est une fonction à valeurs strictement positives. Exercice 15 Savoir étudier une fonction où apparaît la fonction exponentielle. c) Ainsi, le tableau de variations de la fonction ݂ est :

Pour tout réel ݔ, ݁௫െͳൌͲ֞݁௫ൌͳ֞ݔൌͲ et ݁௫െͳ൐Ͳ֞݁௫൐ͳ֞

c) Ainsi, le tableau de variations de la fonction ݃ est : 12 a) ݄ൌ௨ ௩ donc ݄ᇱൌ௨ᇲ௩ି௨௩ᇲ c) Ainsi, le tableau de variations de la fonction ݄ est : Le taux d'alcoolémie d'un homme est donné par la fonction ݂ définie sur ܫ (La dérivée de ݔ฽݁௔௫ା௕ est ݔ฽ܽ b) Pour tout réel ݔ dans ܫ Ainsi, le tableau de variations de la fonction f est :

c) Le taux est donc maximal au bout de 0,8 heures 'est-à-dire au bout de 48 min ( ar 0, 8 × 60 = 48)

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