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Livret de liaison

Seconde - Sp

´ecialit´e math´ematiques, premi`ere g´en´erale

I.R.E.M. de Clermont-Ferrand

Groupe Aurillac - Lyc

´ee

Juin 2021

1

Table des mati`eres

1 Symboles?,?,?,∩4

2 Calcul num

´erique6

3 Calcul litt

´eral8

4

´Equations10

4.1´Equations du premier degr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.2 Autres

´equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 11

5 In

´equations de base13

6 In

´equations et tableaux de signes15

7 G

´eom´etrie17

8

´Equations de droites et syst`emes18

9 Vecteurs20

10 Fonctions22

11 Pourcentages et Statistiques25

12 Probabilit

´es27

13 Algorithmique29

14 Indications32

Groupe Aurillac - Lyc

´ee Page 2/32 I.R.E.M. de Clermont-Ferrand

IntroductionPour pouvoir faire un cursus scientifique avec des math´ematiques, il est n´ecessaire de maˆıtriser des notions de base, mais

aussi de d

´evelopper une motivation pour la recherche d"exercices dont la solution n"est pas trouv´ee en 5 minutes.

Ce livret de liaison de la seconde

`a la sp´ecialit´e de premi`ere g´en´erale propose des exercices pour s"entraˆıner et dont la

ma

ˆıtrise technique est n´ecessaire pour aborder la classe de premi`ere en toute s´er´enit´e (la technique sera bien sˆur revue

rapidement en classe avec le professeur).

Il contient aussi des probl

`emes`a chercher, ... comme un challenge! La r´esolution de ces probl`emes, un peu plus difficiles,

signal

´es par un ou plusieurs symboles✈, ne fait appel qu"`a des connaissances de la classe de seconde.

La ma

ˆıtrise de l"utilisation de la calculatrice et de logiciels (tableurs, g´eom´etrie dynamique, programmation, ...) est un

objectif `a atteindre le plus rapidement possible .

Bon courage

`a tous,

Les maths, c"est tout un monde

`a explorer ...

Les professeurs de math

´ematiques, auteurs du livret.

Il n"est pas pr´evu de compl´eter les exercices directementsur le livret (les espaces laiss´es dans certains exercicessont volontairement

insuffisants). Il faut travailler avec un cahier de recherche.

Groupe Aurillac - Lyc

´ee Page 3/32 I.R.E.M. de Clermont-Ferrand

1 Symboles?,?,?,∩

D´efinition 1: Les ensembles A et B sont deuxsous ensemblesde l"ensemble E si, et seulement si, tous les´el´ements

de A et de B sont dans l"ensemble E. On note : A?E et B?E et on lit : “A est inclus dans E".

Remarque: la notation est diff´erente lorsqu"on s"int´eresse`a un´el´ementxde cet ensemble : on emploie le symbole

?qui se lit “appartient`a".

Traduction: six?A, alorsx?E.

D

´efinition 2: L"ensemble not´e

A est l"ensemble de tous les´el´ements de l"ensemble E qui n"appartiennent pas`a l"ensemble A, on l"appelle lecompl´ementaire de A dans l"ensemble Eet on lit : “A barre". Traduction: soitxun´el´ement de E, six?A alorsx? A. D

´efinitions 3:

A?B est l"ensemble des´el´ements de E qui appartiennent`a Aou `a B ou aux deux`a la fois. On l"appellela r´eunion des deux ensemblesA et B et on lit : “A union B". A∩B est l"ensemble des´el´ements de E qui appartiennent`a Aet `a B (`a la fois). On l"appellel"intersection des deux ensemblesA et B et on lit : “A inter B".

Traduction: Soitxun´el´ement de E, six?Aet

x?B alorsx?A∩B. Soitxun´el´ement de E, six?Aoux?B alors x?A?B. Remarque: si A∩B=∅, alors on dit que les deux ensembles sont disjoints.

Pr´erequis

Exercice 1

Le tableau ci-dessous donne le nombre de chˆomeurs (en milliers) selon le sexe et l"ˆage en 2012 (source : INSEE, enquˆete

Emploi 2012).

Femmes (F)Hommes (H)Ensemble

15 ans ou plus (C)1 3611 4512 811

15-24 ans (C1)297361658

25-49 ans (C2)8128161 628

50-64 ans (C3)250272522

65 ans ou plus (C4)224

Champ : France m´etropolitaine, population des m´enages, personnes de 15 ans ou plus (ˆage courant).

1.Combien d"´el´ements poss`ede l"ensemble F?

2.Concr`etement, dans cet exemple, l"ensemble de tous les´el´ements´etudi´es est l"ensemble de tous les ....

Quel est le nom donn

´e`a cet ensemble dans le tableau? Combien d"´el´ements poss`ede-t-il? Quel symbole peut-on mettre entre l"ensemble F et l"ensemble C?

3.H∩C2est l"ensemble des .... Combien d"´el´ements cet ensemble poss`ede-t-il?

4.F?C3est l"ensemble des .... Combien d"´el´ements cet ensemble poss`ede-t-il?

5. F est l"ensemble des .... Combien d"´el´ements cet ensemble poss`ede-t-il? 6. C1est l"ensemble des .... Combien d"´el´ements cet ensemble poss`ede-t-il?

Exercice 2

Recopier et compl

´eter les pointill´es :

1.3...N;-3,1...N;N...R;⎷

5...Q.

2.Soitxun nombre compris entre 1 et 2, mais diff´erent de 2, alorsx...[1;2[ et [1;2[...R.

3.]1,1;1,2]...[1;2]??si 1,1< x <1,2 alors 1< x <2.

4.Six?[1;3[ etx?[0;2[, alorsx?[1;3[∩[0;2[, donc [1;3[∩[0;2[=....

5.Six?[1;3[ oux?[0;2[, alorsx?[1;3[?[0;2[, donc [1;3[?[0;2[=....

6.Les deux intervalles [1;3] et ]4;+∞[ sont ....

7.L"ensemble de tous les nombres r´eels qui ne sont pas strictement sup´erieurs`a 4 est l"intervalle ....

8.Soitxun nombre r´eel, six?[1;3[, alorsx?.... Le compl´ementaire de l"ensemble [1;3[ dansRest donc ....

9.Le compl´ementaire de l"ensemble des r´eelsxtels quex >-1 est ....

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´ee Page 4/32 I.R.E.M. de Clermont-Ferrand

Exercice 3

1.Soit (O,I,J) un rep`ere du plan, D1la droite d"´equationy= 2x+1 et D2la droite d"´equationy=-x+3

a.Justifier que le point A(-1;-1) appartient`a D1. On peut´ecrire : A...D1. b.De mˆeme A?D2car .... c.D´eterminer D1∩D2.

2.Dans l"espace, on consid`ere le cube ci-dessous. Recopier et compl´eter les pointill´es.

a.F...(EGB). b.(FG)...(FBC). c.(EHB)∩(ABD) =.... d.(EHB)∩(FG) =.... e.(HD)∩(ABC) =....

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´ee Page 5/32 I.R.E.M. de Clermont-Ferrand

2 Calcul num´erique

☞Maˆıtriser les r`egles de calcul sur les fractions, les puissances et les racines carr´ees.

☞Connaˆıtre la d´efinition de la valeur absolue.

Pr´erequis

Exercice 4

Simplifier au maximum l"´ecriture des nombres suivants : 1.A=3

5-210×78

2.B= 5×13

20

3.C =3-4

9 37-14

4.D =23+56

7 2

5.E =5

4-74×78

6.F =?

3 4-56? ×3 2

Exercice 5

Effectuer les calculs suivants :

1.A= 24×2-3

2.B=34

3-7

3.C =(-4)2

(-4)6

4.D =5-2×5-756

5.E =(5-2×3)4

(2-3)5

6.F =12×104×5×106

15×103×2×102

Exercice 6

1.

´Ecrire sous la formea⎷

b: A=

18 B=⎷200 C=⎷125 D = 3⎷2-4⎷8+2⎷18 E=⎷12+3⎷3-⎷75

2.

´Ecrire le nombre2

⎷6sans radical au d´enominateur.

Exercice 7

1.Calculer et simplifier au maximum :

A =

2-⎷3????B=|2×3-7|C=|π-3|

2.Compl´eter les pointill´es :

|x-3|?2??x?[1;...] |x-5|?1??x?[...;...] |x+1|?2??x?[;...]

3.R´esoudre les´equations suivantes :

a.|x-4|= 7b.|x-2|= 0|x+2|= 3d.|x-5|=-1

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´ee Page 6/32 I.R.E.M. de Clermont-Ferrand

Exercice 8✈

1.D´emontrer les´egalit´es suivantes :

a. 1 ⎷7=⎷ 7

7b.12-⎷3= 2+⎷3c.1⎷7+1=⎷

7-1 6 2. ´Ecrire les nombres suivants sans radical au d´enominateur : A = 3 ⎷5+1B=1⎷2+⎷3

Exercice 9✈

Simplifier au maximum l"

´ecriture des nombres suivants :

A= 2+3 4?

×12+34-3

7-89

89-37B=129+8

7+6 5+4

3+21+1

C = 1-1 2??

1-13??

1-14??

1-15??

1-16??

1-17??

1-18??

1-19??

1-110?

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´ee Page 7/32 I.R.E.M. de Clermont-Ferrand

3 Calcul litt´eral

☞Maˆıtriser les identit´es remarquables, les priorit´es de d´eveloppements. ☞Rep´erer ou mettre en´evidence un facteur commun pour factoriser. ☞Mettre en´evidencea2-b2pour factoriser. ☞R´eduire des fractions au mˆeme d´enominateur.

Pr´erequis

Exercice 10

D´eveloppe les expressions suivantes :

Exemple guid´e :

A = 2(3x-1)2-(5x+3)(2-3x)

A = 2(...x2-...+1)-(10x-...+...-...)

A = 18x2-...+...-10x+...-...+...

A =...

A toi de jouer :B= (2x-9)(3-2x)+5(2x+1)2C= 4(x-6)2-3(5x+3)(5x-3)

Exercice 11

Factorise les expressions suivantes :

Exemple guid´e :

A = 6x+3+4(2x+1)2

A =...(2x+1)+4(2x+1)2

A = (2x+1)(...+4(...))

A = (2x+1)(...+8x+...)

A = (...)(...)

A toi de jouer :

B= 2(5x-1)2+10x-2

C = (x2-4)+(x+2)2

Exemple guid´e :

A= 36x2-(5x+1)2

A= (...)2-(5x+1)2

A= ((6x)+(...))((6x)+(...))

A= (6x...)(6x...)

A= (...)(...)

A toi de jouer :

B= (4x-3)2-25x2

C = 49-(5x+2)2

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´ee Page 8/32 I.R.E.M. de Clermont-Ferrand

Exercice 12´Ecrire sous la forme d"une seule fraction :Exemple guid´e :

A = 4+

3 x+2(cette expression existe si, et seulement si,x+2?...(valeur interdite pour A)) A =

4×(...+...)

x+2+3x+2 A = x+2+3x+2 A = x+2

A toi de jouer :B=2x

3x-1-5 C =42x+6-3x-5.

Exercice 13✈

ABCD est un carr

´e de cˆot´e 6 cm. I est le milieu de [AD]. M est un point de [BC] et N un point de [CD] tels que BM = CN =x.

Exprimer l"aire du triangle IMN en fonction dex.

A× D× C ×B ×M N× I Groupe Aurillac - Lyc´ee Page 9/32 I.R.E.M. de Clermont-Ferrand

4´Equations

☞Maˆıtriser le d´eveloppement et la factorisation d"une expression math´ematique.

☞Maˆıtriser les trois identit´es remarquables vues au coll`ege que ce soit pour d´evelopper une expression ou la

factoriser.

☞Maˆıtriser les fonctions de calculs de la calculatrice. En particulier le calcul fractionnaire.

Pr´erequis

4.1´Equations du premier degr´e

R`egle: On ne modifie pas une´egalit´e en effectuant la mˆeme op´eration de chaque cˆot´e de cette´egalit´e.

On proc

`ede de la mani`ere suivante :

1On commence par regrouper les quantit´es contenant desxd"un mˆeme cˆot´e de l"´egalit´e.

2Une fois que l"on a obtenu une´equation de la formeax=baveca?0, il suffit de diviser chaque cˆot´e de l"´egalit´e para

pour obtenir la valeur dex.

Un premier exemple r´esolu:

On cherche

`a r´esoudre l"´equation

2x-3 = 7x+5

On retire 7xde chaque cˆot´e de l"´egalit´e.

2x-3-7x=??7x+5-??7x

-5x-3 = 5

On ajoute 3 de chaque c

ˆot´e.

-5x-?3+?3 = 5+3 -5x= 8 On calcule alorsxen divisant chaque cˆot´e par-5. ?-5x ??-5=8-5 x=-8 5 On

´ecrit alors le r´esultat sous la forme

S =? -8 5?

NB : On peut remplacer l"

´ecriture de la solution

par la phrase :

La solution de l"

´equation est-8

5.

Un second exemple "presque" r´esolu:

On cherche

`a r´esoudre l"´equation

7-2x=-6x+4

On ajoute 6xde chaque cˆot´e de l"´egalit´e.

7-2x+6x=-6x+4 ......

7+4x= 4

On retire 7 de chaque c

ˆot´e.

7+4x...... = 4 ......

4x= ......

On calcule alorsxen divisant chaque cˆot´e par 4. 4x ?4=-34 x=-3 4 On

´ecrit alors le r´esultat sous la forme

S =? -3 4?

NB : On peut remplacer l"

´ecriture de la solution

par la phrase :

La solution de l"

´equation est-3

4.

Remarques:

☞Bien sˆur, il est possible de faire plusieurs´etapes en mˆeme temps si on a bien compris la d´emarche.

☞On peut aussi se rappeler que pour´eliminer une op´eration, il faut utiliser l"op´eration inverse.

☞Toujours donner un r´esultat exact. La calculatrice peut vousˆetre utile ici.

Exercice 14

R

´esoudre les´equations suivantes. On prendra soin d"´ecrire le r´esultat sous la forme la plus simple possible.

a) 2x+6 = 7x-5 b)-3x-5 = 7x+1 c) 4x+1 =-2x+8 d) 0,5x-1,5 = 2x+1 e) 2,6x+3 =-3-xf) 4,5x+1 = 3,5x-2

Groupe Aurillac - Lyc

´ee Page 10/32 I.R.E.M. de Clermont-Ferrand

Exercice 15Terminons avec quelques exemples "concrets" d"utilisation des´equations.

1.Bob a obtenu 10 sur 20 au premier devoir de maths de Mr Squarepants qui compte avec un coefficient 2 et obtenu 15

sur 20 au devoir maison qui a suivi qui compte lui coefficient 1. Quelle note doit-il obtenir au prochain devoir surveill ´e (de coefficient 2) pour avoir 14 de moyenne ce trimestre? a.Si on appellexla note obtenue au dernier devoir.

Montrer que l"

´enonc´e revient`a r´esoudre l"´equation 2x+2×10+15 = 5×14. b.R´esoudre l"´equation et donner la note que doit avoir Bob.

2.Le p´erim`etre d"un triangle isoc`ele mesure 87 cm. Sa base mesure 21 cmde moinsque chacun des deux autres cˆot´es.

Sauras-tu calculer la longueur des trois c

ˆot´es de ce triangle? (On pourra noterxla longueur d"un cˆot´e autre que la base)

3.Certains historiens racontent que sur la tombe de Diophante(un c´el`ebre math´ematicien qui a v´ecu`a Alexandrie entre

le 2 eet le 3esi`ecle de notre`ere), on pouvait lire le texte suivant :

Passant, ci-g

ˆıt Diophante! R´esous cette´enigme et tu connaˆıtras la dur´ee de sa vie.

Sa douce enfance fit le sixi

`eme de sa vie.

Puis, apr

`es un douzi`eme de sa vie, son menton s"est couvert de barbe. Apr `es un septi`eme encore, il se marie.

Cinq ann

´ees passent, et la naissance d"un fils le comble de joie. Le sort voulu que la vie du fils soit deux fois plus courte que celle du p`ere. Apr `es la mort de son enfant, le vieillard v´ecu encore quatre ann´ees.

Sauras-tu me dire combien d"ann

´ees Diophante a-t-il v´ecu?

4.2 Autres

´equations

A la fin de votre ann´ee de seconde, vous disposez de trois fac¸ons de r´esoudre une´equation.

— Si l"

´equation est du premier degr´e (C"est`a dire qu"elle ne comporte aucune puissance dex, ni de fraction comportant

des termes enxau d´enominateur), il suffit de d´evelopper, si besoin, chaque membre de l"´equation et d"isoler les

diff´erents termes enxd"un mˆeme cˆot´e de l"´egalit´e (voir exercices pr´ec´edents).

— Sil"

´equation comportedes puissances dex(et qu"il n"est paspossible "d"´eliminer" celles-ci parun simple d´eveloppement),

il faut tenter de factoriser l"expression afin de se ramener `a la r´esolution d"une´equation produit.

— Si l"

´equation comporte des fractions rationnelles (C"est`a dire des fractions comportant desxau d´enominateur). Il

conviendra tout d"abord de d ´eterminer l"ensemble des valeurs interdites (celles qui donnent un ou des d´enominateurs egaux`a 0)

Puis, il faudra transformer l"

´ecriture de mani`ere`a se ramener`a l"´egalit´e de deux fractions. On pourra alors utiliser la

r

`egle des produits en croix ou la mise au mˆeme d´enominateur afin de se ramener`a l"un des deux cas pr´ec´edents.

Trois exemples "concrets"

Cas d"une´equation du premier

degr ´eCas d"une´equation-produitCas d"une´equation rationnelle 3

4(2x-3)+3x= 5x-23(5-9x)81x2-16 = (9x-4)(2x-3)x+1 =9x+1

D´evelopper et se ramener`a :Reconnaˆıtre une identit´e remarquable et se ramener `a :D´eterminer les´eventuelles valeurs interdites -132x=-1312(9x-4)(9x+4)-(9x-4)(2x-3) = 0

Montrer que l"on peut se

ramener `a : (x+1)2= 9

Montrer alors que

S = ?1 6?quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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