[PDF] spécialité mathématiques Préparer ma rentrée en Première

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Introduction

d"année.

Quelquesconseilsd"organisation:

?Echelonnervotretravailsurousemaines(r). quel"onsaitconcernantlesujetabordé. pouryretrouverunexercicedumêmetype. Bon courage aux futurs spécialistes et bonnes vacances!

Mise en route

1 Symboles

Définition 1 :Les ensemblesAetBsont deux sous ensembles de l"ensembleEsi, et seulement si, tous les élèments deAet deBsont dans l"ensembleE. On note :A?EetB?Eet on lit "Aest inclus dansE».

Remarque :La notation est différente lorsqu"on s"intéresse à un élémentxde cet ensemble : on

emploie le symbole?qui se lit appartient.

Six?Aalorsx?E.

Définition 2 :L"ensemble noté

Aest l"ensemble de tous les éléments de l"ensembleEqui n"appar- tiennent pas à l"ensembleA, on l"apelle lecomplémentaire deAdans l"ensembleEet on lit "A barre ».

Soitxun élément deE, six /?Aalorsx?

A.

Définition 3 :A?Best l"ensemble des éléments deEqui appartiennent àAouàBou au deux à

la fois. On l"appellela réunion des deux ensemblesAetBet on lit "AunionB».

A∩Best l"ensemble des éléments deEqui appartiennent à la fois àAetàB. On l"appellel"inter-

section des deux ensemblesAetBet on lit "AinterB». Soitxun élément deE, six?Aetx?Balorsx?A∩B. six?Aetx /?Balorsx?A?B. six?Aetx?Balorsx?A?B. Remarque :SiA∩B=∅, alors on dit que les deux ensemblesAetBsontdisjoints.

Outils

Exercice no1

Le tableau ci-dessous donne le nombre de chômeurs (en milliers) selon le sexe et l"âge en 2012

Femmes (F)Hommes (H)Ensemble

15 ans ou plus (C)1 3611 4512 812

15 - 24 ans (C1)297361658

25 - 49 ans (C2)8128161 628

50 - 64 ans (C3)250272522

65 ans ou plus (C4)224

source : INSEE, enquête Emploi 2012

Champ : France métropolitaine, population des ménages, personnes de 15 ans ou plus (âge courant).

1.Combien d"éléments possède l"ensembleF?

2.Concrètement, dans cet exemple, l"ensembleCde tous les éléments étudiés est l"ensemble de tous les ...

Combien d"éléments possède-t-il?

3.H∩C2est l"ensemble des .... Combien d"éléments cet ensemble possède-t-il?

4.F?C3est l"ensemble des .... Combien d"éléments cet ensemble possède-t-il?

5. Fest l"ensemble des .... Combien d"éléments cet ensemble possède-t-il? 6. C1est l"ensemble des .... Combien d"éléments cet ensemble possède-t-il?

Exercice n

o2

Recopier et compléter les pointillés :

5···Q.

2.Soitxun nombre compris entre 1 et 2, mais différent de 2, alorsx···[1;2[et[1;2[···R

3.[1;13[∩[0;2[=···

4.Les deux intervalles[1;3]et[4;+∞[sont ....

Mise en route

MATHS SPÉCIALITÉPRÉPARER SA RENTRÉE EN PREMIERE

5.L"ensemble de tous les nombres réels qui ne sont pas strictement supérieurs à 4 est l"intervalle ....

6.Soitxun nombre réel. Six /?[1;3[alorsx? ···.

7.Le complémentaire de l"ensemble[1;3[dansRest donc ....

8.Le complémentaire de l"ensemble des réelsxtels quex >1est l"intervalle ....

Mise en route3

MATHS SPÉCIALITÉPRÉPARER SA RENTRÉE EN PREMIERE

2 Calcul numérique

?Règles de calculs sur les fractions et les puissances. ?Racine carrée d"un nombre réel positif et règles de calculs.

Prérequis

?Sommea b+cb=a+cb?les fractions doivent avoir le même dénominateur. ?Produita b×cd=a×cb×d?On mulutiplie numérateurs et dénominateurs entre eux. ?Quotienta b÷cd=ab×dc?diviser c"est multiplier par l"inverse.

Outils

Exercice no3

Sans utiliser la calculatrice, écrire sous la formeabaveca?Zetb?Nle plus petit possible. 1.D=1

2-13+14;2.E=23-34+ 3?45-56?

3.F=3 2-75 2

5×43+ 1.

Exercice n

o4

Calculer sans calculatrice.

1.A=327-329

328

2.B=?25?×4-5

8;3.C=3-6×55

(52)3×3-5;

4.D=82×9-5

3-11×28;5.E=31505+ 31505+ 31505

31506.

Exemples - Opérations avec des radicaux

G=⎷49

G=⎷

72

G= 7H=⎷

14⎷56

H=? 14 56
H=? 1 3

H=⎷

1⎷3=1⎷3I=⎷

48 +⎷12

I=?

3×42+?3×22

I= 4⎷

3 + 2⎷3

I = 6⎷ 3

Exercice n

o5 Sans utiliser la calculatrice, écrire sous la formea⎷baveca?Zetb?Nle plus petit possible.

1.J=⎷

48;

2.K=⎷

36 + 64;3.L= 5⎷

98⎷25.

Mise en route4

MATHS SPÉCIALITÉPRÉPARER SA RENTRÉE EN PREMIERE

Utilisation de l"expression conjuguée

L"expression conjuguée de3 +⎷

5est3-⎷5.

On utilise l"expression conjuguée pour écrire un quotient sans radical au dénominateur. N=2

3 +⎷5N=23 +⎷5×3-⎷

5

3-⎷5

N=2×?3-⎷

5??3 +⎷5??3-⎷5?

N=2×?3-⎷

5?

32+⎷52N=2×?3-⎷

5? 14

N=2×?3-⎷

5?

2×7

N=3-⎷

5 7

Exercice n

o6 Ecrire sans radical au dénominateur et simplifier les expressions suivantes. 1.A=3 ⎷5 + 1;

2.B=-2

⎷7-2;3.C=1 +⎷ 5

3-⎷5;4.D=6-⎷

2

4-⎷2.

Exercice n

o7 Soitfla fonction définie surR\ {-1}parf(x) = 2x-3 +1x+ 1.

1.Montrer que, pour toutx?=-1, on af(x) =2x2-x-2

x+ 1.

2.Effectuer les calculs d"image suivants.On donnera le résultat sous la forme la plus simple possible.

a.f?2 3? b.f?⎷5? ;c.f?⎷3-1?

Exercice n

o8 ?Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

1.Le nombreφ=1 +⎷

5

2est appelé lenombre d"or. Montrer queφ2-φ-1 = 0.

2.Montrer que, pour toutndeN,1

⎷n+⎷n+ 1=⎷n+ 1-⎷n.

Exercice n

o9 ?Démontrer que pour tout entier natureln, on a2n+ 2n= 2n+1.

Mise en route5

MATHS SPÉCIALITÉPRÉPARER SA RENTRÉE EN PREMIERE

3 Calcul littéral

?Maîtriser les identités remarquables et les priorités de développements. ?Repérer ou mettre en évidence un facteur commun pour factoriser. ?Mettre en évidence une identité remarquable pour factoriser. ?Réduire des fractions au même dénominateur.

Prérequis

Identités remarquables

?(a+b)2=a2+ 2ab+b2; ?(a-b)2=a2-2ab+b2; ?(a+b)(a-b) =a2-b2

Outils

Exercice no10

Exemple guidé - Développer des expressions

Recopie et complète les pointillés.

A= 2(3x-1)2-(5x+ 3)(2-3x)

A= 2(···x2- ···+ 1)-(10x- ···+··· - ···) A= 18x2- ···+ 1-10x+··· - ···+···doncA=··· En utilisant la même méthode, développe les expressions suivantes : B= (2x-9)(3-2x) + 5(2x+ 1)2C= 4(x-6)2-3(5x+ 3)(5x-3)

Exercice n

o11

Exemple guidé - Factoriser des expressions

Recopie et complète les pointillés.

A= 6x+ 3 + 4(2x+ 1)2

A=···(2x+ 1) + 4(2x+ 1)(···)

A= (2x+ 1)(···+ 4(···))

A= (2x+ 1)(···+ 8x+···)doncA= (···)(···) En utilisant la même méthode, factorise les expressions suivantes :

B= 2(5x-1)2+ 10x-2C= (x2-4)-(x+ 2)2

Mise en route6

MATHS SPÉCIALITÉPRÉPARER SA RENTRÉE EN PREMIERE

Exercice no12

Exemple guidé - Factoriser des expressions

Recopie et complète les pointillés.

A= 36x2-(5x+ 1)2

A= (···)2-(5x+ 1)2

A= ((6x) + (···))((6x)-(···))

A= (6x···)(6x···)doncA= (···)(···) En utilisant la même méthode, factorise les expressions suivantes :

B= (4x-3)2-25x2C= 49-(5x+ 2)2

Exercice n

o13 Exemple guidé - Ecrire sous forme d"une seule fraction.

Recopie et complète les pointillés.

A= 4 +3

x+ 2

A=4×(···+···)

x+ 2+3x+ 2

A=···+···

x+ 2+3x+ 2doncA=···+···x+ 2

En utilisant la même méthode, écris sous la forme d"une seule fraction les expressions suivantes :

B=2x

3x-1-5C=42x+ 6-3x-5

Exercice n

o14 Soitxla largeur d"un rectangle. Elle est égale à sa longueur moins 7.

1.Exprime le périmètre de ce rectangle en fonction dex.

2.Exprime l"aire de ce rectangle en fonction dex.

3.Calcule son périmètre et son aire six= 13cm.

Exercice n

o15 Une piscine propose deux formules pour le paiement des entrées. •Première formule : abonnement annuel de 20€, plus 2€par entrée;

•Deuxième formule : 5€par entrée.

1.Donne dans chacun des cas le prix payé en fonction dex.

2.Calcule le prix payé suivant les deux formules pour 4 entrées et pour 25 entrées.Dans chaque cas, quelle est la formule la plus avantageuse?

Exercice n

o16 ABCDest un carré de côté 6 cm.Iest le milieu de[AD]. M est un point de[BC]etNun point de[CD]tels queBM=CN=x.

Exprimer l"aire du triangleIMNen fonction dex.

AB C DM N I

Mise en route7

MATHS SPÉCIALITÉPRÉPARER SA RENTRÉE EN PREMIERE

4 Fonctions

?Notions de fonction, d"image, d"antécédent. ?Fonctions affines. ?Résolution d"équations.

Prérequis

Exercice no17

On considère la fonction affinefdéfinie surRparf(x) = 2x-3. Sa représentation graphique est donnée ci-contre.

1.Déterminer graphiquement l"image de 2 parf.

2.Retrouver ce résultat par le calcul.

3.Déterminer graphiquement l"antécédent parfde-0,5.

4.Retrouver ce résultat par le calcul.

1 2 3-10

-1 -2 -3 -41 23

Exercice no18

On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x2-6x-4. Sa représentation graphique est donnée ci-contre.

1. a.Déterminer graphiquement l"image parfde 5.

b.Retrouvre ce résultat par le calcul.

2.Déterminer graphiquement les antécédents de 0 parf.

3.Résoudre graphiquement l"équationf(x) =-4.

4.Dresser le tableau de variation de la fonctionf.

5.Dresser le tableau de signes de la fonctionf.

1 2 3 4 5 6-1-20

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -71

234567

Mise en route8

MATHS SPÉCIALITÉPRÉPARER SA RENTRÉE EN PREMIERE

Exercice no19

On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x3-x2-6x. Sa représentation graphique est donnée ci-contre.

1. a.Déterminer graphiquement l"image parfde-3

2. b.Retrouver ce résultat par le calcul.

2. a.Développer(x-3)(x+ 2).

b.En déduire l"expression factorisée def. c.Calculer les antécédents de 0 parf. d.Retrouver graphiquement les résultats.

3.Dresser le tableau de variation de la fonctionfpar lecture graphique.

4.En utilisant la factorisation def, dresser le tableau de signes def.

5. a.Déterminer graphiquement les antécédents de-6parf.

b.Factoriserx3-x2et-6x+ 6. c.?Résoudre algébriquement l"équationf(x) =-6.

1 2 3 4-1-2-30

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -91 2345

Exercice no20

On considère les deux algorithmes donnés ci-dessous pour lesquels on saisit au départ une valeur pourx.

Algorithme 1Algorithme 2

a←x2 b← -6×x c←a+b+ 8

Aficherca←x-3

b ←a2 c←b-1

Aficherc

1.Programmer ces deux algorithmes en Python. Les tester sur quelques nombres.Vous pouvez utiliser l"applicationrepl.it. Elle vous permet de programmer en Python en ligne (sans rien

télécharger) et même sur votre téléphone.

2.Quelle conjecture pouvez-vous formuler? La démontrer.

3.Quel(s) nombre(s) doit-on saisir pour obtenir 48 comme résultat? (On attend une résolution algébrique.)

Exercice n

o21 On dispose d"un carré de métal de 10 cm de côté.

Pour fabriquer une boîte sans couvercle, on enlève à chaque coin un carré de côtéxcm et on relève les bords

pour obtenir un pavé droit.

1.Déterminer les valeurs dexpour lesquelles on peut fabriquer une boîte.

2.Exprimer le volumeV(x)de la boîte en fonction dex.

3.Utiliser la calculatrice pour déterminer le volume maximal et la valeur dexcorrespondante (on arrondira

au dixième).

Mise en route9

MATHS SPÉCIALITÉPRÉPARER SA RENTRÉE EN PREMIERE

Exercice no22

Une entreprise fabrique des cartes à puces électronique à l"aide d"une machine.

La fonctionfreprésente le coût d"utilisation de la machine en fonction de la quantitéxde cartes produites,

lorsquexest exprimé en centaines de cartes etf(x)en centaines d"euros. La courbeCreprésentative de la fonctionfest donnée ci-dessous.

1.Déterminer graphiquement le nombre de cartes à produire pour avoir un coût minimal d"utilisation dela machine. (Valeur approchée à la dizaine de cartes près)

2.Chaque carte fabriquée est vendue 1,50€.

Exprimer, en fonction dex, la recetteR(x)perçue pour la vente dexcentaines de cartes.

3.Représenter graphiquement la fonctionRainsi définie.

4.Exprimer en fonction dex, le bénéficeB(x)réalisé pour la fabrication et la vente dexcentaines de

cartes.

5.On dira que l"entreprise réalise un bénéfice siB(x)>0.

En utilisant le graphique, indiquer la quantité minimale qui doit figurer sur le carnet de commandes de

l"entreprise pour que celle-ci puisse réaliser un bénéfice. (Valeur approchée à la dizaine près)

0 1 2 3 4 5 6012345678

C

Mise en route10

MATHS SPÉCIALITÉPRÉPARER SA RENTRÉE EN PREMIERE

5 Equations

?Savoir développer et factoriser une expression. ?Connaître et savoir utiliser les identités remarquables. ?Résolution d"une équation du premier degré et d"une équation produit nul.

Prérequis

A la fin de votre année de seconde, vous savez résoudre trois types d"équation. ?Equation linéaire, (elle ne comporte aucune puissance dex, ni de fraction comportant des termes enxau dénominateur).

On se ramène à l"équationax=ben développant, si besoin, chaque membre de l"équation et

en isolant les différents termes enxd"un même côté de l"égalité. ?Equation produit nul. ?Equation comportant des puissances dex(qu"il n"est pas possible " d"éliminer » par un simple développement).

Il faut tenter de factoriser l"expression afin de se ramener à la résolution d"une équation produit

nul. ?Equation comportant des fractions rationnelles (C"est à dire des fractions avec desxau dénominateur). Il conviendra tout d"abord de déterminer l"ensemble des valeurs interdites (celles qui donnent un ou des dénominateurs égaux à 0)

Puis, il faudra transformer l"écriture de manière à se ramener à l"égalité de deux fractions. On

pourra alors utiliser l"égalité des produits en croix ou la mise au même dénominateur afin de

se ramener à l"un des deux cas précédents.

Outils

Exemple - Résolution d"une équation linéaire

3(2x-3) + 3x= 5x-2(5-9x)

Développer et se ramener à :

-14x=-1

Montrer alors queS=?1

quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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